2026版红对勾一轮复习讲与练高考数学第一章　1．2　常用逻辑用语

1．2常用逻辑用语1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词与存在量词的意义，能正确使用存在（或全称）量词对全称（或存在）量词命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qeq\o(⇒,/)pp是q的必要不充分条件peq\o(⇒,/)q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)教材拓展1．注意区分“A是B的充分不必要条件（A⇒B且Beq\o(⇒,/)A）”与“A的充分不必要条件是B（B⇒A且Aeq\o(⇒,/)B）”两者的不同．2．充要关系与集合基本关系之间的联系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．3．p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件．4．含有量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．5．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．6．命题p和¬p的真假性相反，当判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(√)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(4)命题“∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．(×)2．（人教A版必修第一册P30例4(1)改编）命题“∀x∈R，使得n≥x2”的否定形式是(C)A．∀x∈R，使得n<x2B．∀x∈R，使得n≤x2C．∃x∈R，使得n<x2D．∃x∈R，使得n≤x2解析：由命题的否定的定义，因为原命题是“∀x∈R，使得n≥x2”，因此其否定形式应该把全称量词∀改为存在量词∃，把n≥x2改为n<x2，所以命题“∀x∈R，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，使得n<x2”．故选C.3．（人教A版必修第一册P22习题1.4T2改编）“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：显然a2＋b2＝0，则a＝0，b＝0，有ab＝0，即a2＋b2＝0⇒ab＝0，而ab＝0，取a＝0，b＝1，a2＋b2≠0，则ab＝0不能推出a2＋b2＝0，所以“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的必要不充分条件．故选B.4．若“x＝1”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围为(－∞，1)．解析：∵“x＝1”是“x>a”的充分条件，∴x＝1⇒x>a，∴a<1，即实数a的取值范围为(－∞，1).考点1充分、必要条件的判断【例1】(1)（2024·天津滨海新区三模）已知a，b∈R，则“a>b”是“eq\r(a)(a－b)>0”的(D)A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【解析】当a<0时，显然eq\r(a)(a－b)>0不成立，即充分性不成立；当eq\r(a)(a－b)>0时，显然有eq\r(a)>0，则a>b一定成立，即必要性成立．所以“a>b”是“eq\r(a)(a－b)>0”的必要不充分条件．故选D.(2)（2024·天津卷）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C.(3)（多选）已知p：x2－4x<0，则p成立的一个充分不必要条件是(BD)A．－2<x<0 B．0<x<2C．0<x<4 D．1<x<3【解析】由x2－4x<0，解得0<x<4，设p：E＝{x|0<x<4}，p成立的一个充分不必要条件为集合F，则FE，所以0<x<2和1<x<3都是0<x<4的充分不必要条件．故选BD.充分、必要条件的两种常用判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．【对点训练1】(1)（2024·天津河北区二模）设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由|x－2|<1可得－1<x－2<1，解得1<x<3，所以由1<x<2推得出|x－2|<1，故充分性成立；由|x－2|<1推不出1<x<2，故必要性不成立．所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件．故选A.(2)（2024·天津红桥区一模）已知a，b∈R，则“a>b”是“a2024>b2024”的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝1，b＝－2时，a>b，a2024<b2024，当a＝－2，b＝1时，a2024>b2024，a<b，所以“a>b”是“a2024>b2024”的既不充分也不必要条件．故选D.考点2根据充分、必要条件求参数【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).(1)若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(0，3]；(2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为[9，＋∞）．【解析】(1)因为p是q的必要不充分条件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3，又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3].（2)因为p是q的充分不必要条件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，即实数m的取值范围为[9，＋∞）.由充分、必要条件求参数范围的策略(1)巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解，注意条件的等价变形．(2)端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意对取值区间端点值的检验，从而确定取舍．(3)考虑空集的情况．【对点训练2】(1)（2024·山东济南二模）已知A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是(D)A．a≤1 B．a≥1C．a≤2 D．a≥2解析：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，所以a≥2.故选D.(2)若“x>2m2－3”是“－1<x<4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(D)A．[－3，3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．[－1，1]解析：∵“x>2m2－3”是“－1<x<4”的必要不充分条件，∴(－1，4)是(2m2－3，＋∞)的真子集，因此2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.故选D.考点3全称量词与存在量词命题角度1含量词命题的否定及真假判断【例3】(1)（2024·山东青岛三模）已知命题p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx<x，则¬p为(D)A．∃x∉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx>xB．∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx>xC．∃x∉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≥xD．∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≥x【解析】命题p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx<x为全称量词命题，则¬p为∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≥x.故选D.(2)（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(B)A．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题【解析】对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B.命题角度2含量词命题的应用【例4】若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是(A)A．(－∞，4] B．（－∞，4)C．(－∞，－4) D．[－4，＋∞）【解析】因为“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，所以“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，即方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4，即实数a的取值范围是（－∞，4].故选A.含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明所有情况都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一种情况成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，可直接由命题的真假求参数的范围，也可利用等价命题求参数的范围．【对点训练3】(1)命题“∃x≥3，x2－2x＋3<0”的否定是(B)A．∀x≥3，x2－2x＋3<0B．∀x≥3，x2－2x＋3≥0C．∀x<3，x2－2x＋3≥0D．∃x<3，x2－2x＋3≥0解析：因为命题“∃x≥3，x2－2x＋3<0”为存在量词命题，所以其否定为“∀x≥3，x2－2x＋3≥0”．故选B.(2)若命题“∃x∈[－1，2]，使x2＋1>m”是真命题，则实数m的取值范围是(C)A．(－∞，1] B．（－∞，2)C．(－∞，5) D．(5，＋∞)解析：由题意知命题“∃x∈[－1，2]，使x2＋1>m”是真命题，所以m<(x2＋1)max，当且仅当x＝2时，有(x2＋1)max＝22＋1＝5，所以实数m的取值范围是(－∞，5).故选C.课时作业21．（5分）命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定为(B)A．∃x∈R，x2＋x＋1<0B．∃x∈R，x2＋x＋1≤0C．∀x∉R，x2＋x＋1≤0D．∀x∈R，x2＋x＋1<0解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题可知命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定为“∃x∈R，x2＋x＋1≤0”．故选B.2．（5分）（2024·广东梅州二模）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨，所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件．故选B.3．（5分）下列命题中的假命题是(B)A．∃x∈R，lgx＝0 B．∀x∈R，x2>0C．∃x∈R，tanx＝1 D．∀x∈R，3x>0解析：对于A，∃x∈R，lgx＝0，是真命题，如：lg1＝0；对于B，∀x∈R，x2>0，是假命题，如：02不大于0；对于C，∃x∈R，tanx＝1，是真命题，如：taneq\f(π,4)＝1；对于D，∀x∈R，3x>0，由指数函数的性质知道它是真命题．故选B.4．（5分）已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＝b＝0，则|a＋b|＝0，即充分性成立；若|a＋b|＝0，例如a＝1，b＝－1，满足条件，但a＝b＝0不成立，即必要性不成立．综上所述，“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的充分不必要条件．故选A.5．（5分）已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝－1，b＝4时，p不能推出q，当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p，所以p是q的既不充分也不必要条件．故选D.6．（5分）（2024·江西南昌三模）已知p：“x>2”，q：“x2－x－a>0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)) B．（－∞，2]C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) D．[2，＋∞）解析：若p是q的充分不必要条件，则x2－x－a>0在x>2时恒成立，即a<x2－x在x>2时恒成立，令f(x)＝x2－x，由二次函数性质得f(x)在(2，＋∞)上单调递增，则f(x)>f(2)＝2，可得a∈（－∞，2].故选B.7．（6分）（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(AD)A．p是q的充分条件B．p是s的必要条件C．r是q的必要不充分条件D．s是q的充要条件解析：由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，可得p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，对于A，由p⇒q，所以p是q的充分条件，所以A正确；对于B，由p⇒s，所以p是s的充分条件，所以B不正确；对于C，由r⇔q，所以r是q的充要条件，所以C不正确；对于D，由s⇔q，所以s是q的充要条件，所以D正确．故选AD.8．（6分）（多选）命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(CD)A．m>－2 B．m>－1C．m>0 D．m>1解析：由题意，存在x>0，使得mx2＋2x－1>0，即m>eq\f(1－2x,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\s\up12(2)－1，当eq\f(1,x)－1＝0，即x＝1时，eq\f(1－2x,x2)的最小值为－1，故m>－1.所以命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>－1}的真子集，结合选项可得，C和D项符合条件．故选CD.9．（5分）（2024·山东潍坊二模）已知命题p：∃x∈[－1，1]，x2>a，则¬p为∀x∈[－1，1]，x2≤a．解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可得¬p为∀x∈[－1，1]，x2≤a.10．（5分）方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是a<1．解析：x2－ax＋a－1＝0有一正一负根⇔a－1<0⇔a<1.11．（16分）已知命题p：∀x∈R，x2＋4x＋a＋1>0为真命题．(1)求实数a的取值集合A；(2)设B＝{x|2m<x<2＋m}为非空集合，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：(1)依题意，关于x的不等式x2＋4x＋a＋1>0在R上恒成立，于是得Δ＝16－4(a＋1)<0，解得a>3，所以实数a的取值集合A＝{a|a>3}．(2)因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B为A的真子集．又B＝{x|2m<x<2＋m}为非空集合，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m<2＋m，,2m≥3，))解得eq\f(3,2)≤m<2，所以实数m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).12．（16分）求证：等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2.证明：充分性：若a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2，则等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2显然对任意实数x恒成立，充分性成立；必要性：由于等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立，分别将x＝0，x＝1，x＝－1代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c1＝c2，,a1＋b1＋c1＝a2＋b2＋c2，,a1－b1＋c1＝a2－b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝a2，,b1＝b2，,c1＝c2，))必要性成立．故等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2.13．（5分）命题“∃x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是(A)A．a≥0 B．a≥1C．a≥2 D．