专题8.3 实际问题与二元一次方程组-七年级数学人教版（下册）

第八章二元一次方程组8.3实际问题与二元一次方程组1．列二元一次方程组解应用题的一般步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么）；③找：找出应用题中的相等关系；④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组；⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值；⑥答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．【温馨提示】①列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的几个相等关系，正确地列出方程组．②设未知数时可直接设未知数，也可间接设未知数．③一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．④“审”和“找”两步可在草稿纸上进行，书面上主要写“设”“列”“解”和“答”四个步骤．⑤要根据应用题的实际意义检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去．⑥“设”“答”两步都要写清单位名称．⑦在列方程组时，要注意等号左、右两边单位的统一．2．列二元一次方程组应用题的常见类型的基本关系式（1）和差倍分问题较大量=较小量+多余量，总量=倍数×一份的量．（2）产品配套问题加工总量成比例．（3）速度问题路程=速度×时间（4）航速问题①顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速；②逆流（风）速度=静水（无风）中的速度-水（风）速．（5）工程问题工作量=工作效率×工作时间．（6）增长率问题原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的量．（7）浓度问题溶液质量×浓度=溶质质量．（8）银行利率问题免税利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数-本金×利率×期数×税率．（9）利润问题利润=售价-进价，利润率=×100%．（10）盈亏问题解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量．（11）数字问题解这类问题，要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及表示．（12）几何问题解这类问题要准确掌握有关几何图形的性质和周长、面积等计算公式．（13）年龄问题解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等这一特征．K—重点根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组K—难点正确找出问题中的等量关系K—易错找错等量关系一、行程问题1．相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离．2．追及问题：同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追者走的路程．【例1】某地地震后，全国各地都有不少人士参与抗震救灾，家住成都的王伟也参加了，他要在规定时间内由成都赶到雅安．如果他以50千米/小时的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以75千米/小时的高速行驶，则可提前24分钟到达．若设成都至雅安的路程为S，由成都到雅安的规定时间是t，则可得到方程组是A． B． C． D．【答案】C二、配套问题产品配套问题是指某件产品是由几个部件配套加工而成的，而部件的数量并不完全相同，在生产过程中，为了使每个部件生产的数量恰好符合组装所需，而不产生积压．各部件的数量不一定相等，但存在一定数量关系：【例2】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是A． B． C． D．【答案】D【解析】设用x张制作盒身，y张制作盒底，根据题意得：，故选C．三、几何图形问题对于图形问题的求解，要会通过对图形的观察比较、分析，发现隐含在图形中的数量关系，这是解决有关图形问题的关键．图形中隐含的数量关系有边长之间的关系、面积之间的关系，等等．【例3】如图，用10块相同的矩形墙砖并成一个矩形，设矩形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，依题意列方程组正确的是A． B．C． D．【答案】B【解析】根据图示可得，故选B．四、方案问题优化方案问题先要列举出所有可能的方案，再按题目要求分别求出每种方案的具体结果，进行比较，从中选择最优．【例4】已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．学-科网根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．【解析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，根据题意得：，解得：．答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．（2）由题意可得：3a+4b=31，∴b=．∵a，b均为整数，∴有、和三种情况．故共有三种租车方案，分别为：①A型车1辆，B型车7辆；②A型车5辆，B型车4辆；③A型车9辆，B型车1辆．1．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为A． B．C． D．2．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得-2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则A．x-y=20 B．x+y=20C．5x-2y=60 D．5x+2y=603．已知xb+5y3a和-3x2ay2-4b是同类项，那么a，b的值是A． B．C． D．4．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为A． B．C． D．5．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组A． B．C． D．6．甲、乙两人练习跑步，若乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可以追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，根据题意，下列选项中所列方程组正确的是A． B．C． D．7．某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为A．26万元，42万元 B．40万元，28万元C．28万元，40万元 D．42万元，26万元8．某校体操队和篮球队的人数之比是5:6，篮球队的人数与体操队的人数的3倍的和等于42人，若设体操队的人数是x人，篮球队的人数为y人，则可列方程组为A． B．C． D．9．一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，若设小瓶单价为x角，大瓶为y角，可列方程为A． B．C． D．10．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行．如果乙先走20千米，那么甲用1小时能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用15分钟就能追上乙，则甲的速度为__________千米/时．11．如果长方形的周长是20cm，长比宽多2cm．若设长方形的长为xcm，宽为ycm，则所列方程组为__________．12．一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住．某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么租房方案有几种？把每种方案都写出来．13．已知甲、乙两种商品的原价和为200元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提高10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。求甲、乙两种商品的原单价各是多少元．14．实践操作题某班学生植树，若每人植7棵树，则剩5棵树；若每人植8棵树，则有1人少植1棵树，问有多少名学生植树，有多少棵树．（1）假设有x名学生植树，有y棵树，请列出关于这个问题的二元一次方程组；（2）用列表的方法求出有多少名学生植树，有多少棵树．15．某校规划在一块长AD为18m、宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN=8∶9，问通道的宽是多少？16．目前节能灯在城市已基本普及，今年云南省面向县级及农村地区推广，为相应号召，某商场计划用3800元购进节能灯120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？学=科网（2）全部售完120只节能灯后，该商场获利润多少元？17．小强到体育用品商店购买羽毛球球拍和乒乓球球拍，已知购买1副羽毛球球拍和1副乒乓球球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，根据题意，下面所列方程组正确的是A． B．C． D．18．甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是A． B．C． D．19．如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量，则砝码A与砝码C的质量之比为A．1∶2 B．2∶1C．1∶3 D．3∶220．如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是A．16 B．44C．96 D．14021．一个两位数，个位上的数比十位上的数的2倍多1，若将十位数字与个位数字调换位置，则比原两位数的2倍还多2，则原两位数是__________．22．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？23．某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车的租金为每辆220元，60座客车的租金为每辆300元．（1）这批学生有多少人？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，且使每名学生都有座位，应该怎样租用才合算？24．（2018·福建）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是A． B．C． D．25．（2018·河南）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为A． B．C． D．26．（2018·新疆）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是A． B．C． D．27．（2018·温州）学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组A． B．C． D．28．（2018·深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有个，小房间有个.下列方程正确的是A． B．C． D．29．（2018·泰安）夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为A． B．C． D．30．（2018·龙东地区）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有A．4种 B．3种C．2种 D．1种31．（2018·东营）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为A．19 B．18C．16 D．1532．（2018·牡丹江）如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为A．35 B．45C．55 D．6533．（2018·遵义）现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则一牛一羊值金__________两．34．（2018·大连）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为__________．35．（2018·威海）用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为__________．36．（2018·株洲）小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为__________．37．（2018·黄冈）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子.A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．38．（2018·陇南）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．39．（2018·长沙）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？1．【答案】D【解析】根据平角和直角定义，得方程x+y=90，根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x=y+50．可列方程组为，故选C．2．【答案】C【解析】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，依题意得：5x-2y+（20-x-y）×0=60．故选C．5．【答案】B【解析】设甲数为x，乙数为y，由题意得：，故选B．6．【答案】A【解析】根据乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙，得方程5x-5y=10；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可以追上乙，得方程4x=4y+2y，联立方程组，故选A．7．【答案】D【解析】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元与y万元，则有，解这个二元一次方程组得，所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元与26万元．故选D．8．【答案】D【解析】根据题目中的相等关系：体操队和篮球队的人数之比是5:6，篮球队的人数与体操队的人数的3倍的和等于42人，可列方程组．故选D．9．【答案】A【解析】根据1个中瓶比2小瓶便宜2角可知中瓶价格为（2x−2）角，大、中、小各买1瓶，需9元6角可列方程x+（2x−2）+y=96即得3x+y=98，根据1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角可列方程y−（2x−2+x）=4即y−3x=2，联立后选A．故选A．10．【答案】25【解析】设甲的速度是x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据如果乙先走20km，那么甲1小时就能追上乙可以列出方程x=20+y，根据乙先走1小时，甲只用15分钟就能追上乙可以列出方程0.25x=（1+0.25）y，联立列方程组可得，解得．故答案为：25．11．【答案】【解析】设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意，得，故答案为：．12．【解析】设租二人间、三人间各x间、y间，则需租四人间（7-x-y）间．于是2x+3y+4（7-x-y）=20，即2x+y=8，此二元一次方程的正整数解为，此时7-x-y=0，1，2．但当x=1，y=6时，7-x-y=0，即只租了二人间和三人间，没有租四人间，不合题意，舍去．所以共有2种租房方案：方案一：租二人间、三人间、四人间各2间、4间、1间；方案二：租二人间、三人间、四人间各3间、2间、2间．13．【解析】，解得．答：甲、乙两种商品的原单价各是50元、150元．14．【解析】（1）根据题意，得．（2）根据方程组及x，y都是正整数的特点，可列表如下：x1234567y=7x+512192633404754y=8x-17152331394755显然x=6，y=47满足这个方程组，即方程组的解是，答：有6名学生植树，有47棵树．15．【解析】设通道的宽是xm，AM=8ym，因为AM∶AN=8∶9，所以AN=9ym，所以，解得，答：通道的宽是1m．16．【解析】（1）设商场购进甲种节能灯只，则购进乙种节能灯只，由题意得：，解得，答：甲、乙两种节能灯分别进80、40只．（2）由题意得：，答：全部售完120只节能灯后，该商场获利润1000元．17．【答案】B【解析】每幅羽毛球拍为x元，每幅乒乓球拍为y元，由题意得，，故选B．20．【答案】B【解析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：，解得：．故小长方形的长为8cm，宽为2cm，∴S阴影部分=S四边形ABCD-6×S小长方形=14×10-6×2×8=44（cm2）．故选B．21．【答案】25【解析】设个位数字为，十位数字为．由题意得，解得，则原两位数是，故答案为：25．22．【解析】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得，解得．答：分别需甲车型8辆，乙车型10辆．（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：，消去z得5x+2y=40，，因x，y是正整数，且不大于16，得y=5或10，由z是正整数，解得，有二种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．23．【解析】（1）设租用45座客车x辆，则租60座客车x-1辆．根据题意，得45x+15=60（x-1），解得x=545x+15=240．答：这批学生是240人，原计划租用45座客车5辆．（2）220×（5+1）=1320（元），300×（5-1）=1200