2024-2025学年青海省海南州高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年青海省海南州高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.AB+CE−A.BE B.AE C.−BE D.2.某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件.质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是(

)A.240 B.200 C.300 D.1003.已知两个单位向量a,b的夹角的余弦值为−13，则A.113 B.222 C.4.如图，△ABO的斜二测直观图是△A′B′O′，其中O′A′=O′B′=22,∠B′O′y′=90°，则△ABOA.1

B.2

C.4

D.85.某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高(单位：cm)，将得到的数据按[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为(

)A.56 B.52 C.48 D.446.在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时3千米的速度沿着北偏东15°的方向前进，队员乙以每小时4千米的速度沿着西北方向前进，2小时后，队员甲、乙之间的距离是(

)A.27千米 B.213千米 C.27.从1∼5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为(

)A.710 B.310 C.128.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1，D，E，F分别是棱AB，B1CA.55 B.35 C.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=(1+2i)(1−3i)，则下列结论正确的是(

)A.z的实部是−5 B.z的虚部为−1

C.|z|=26 D.10.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论错误的是(

)A.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

B.若m//α，n//α，则m//n

C.若α//γ，β//γ，则α//β

D.若α∩γ=m，β∩γ=n，m//n，则α//β11.已知非等腰三角形ABC的内角分别为A，B，C，若sin4A=sin4B，则下列结论可能正确的是(

)A.sinC=22 B.sinA=cosB C.cosC=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=5−7i，则z−=______．13.已知A，B为互斥事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.2，则P(A−B−14.某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切(不考虑巧克力圆台容器的厚度)，则该球形创意冰激凌的体积是______立方厘米．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润.甲分别随机抽测了A产地和B产地各6个玉菇甜瓜的重量(单位：g)，将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下：

第一组数据(A产地)：m 1194 1200 1201 1202 1210

第二组数据(B产地)：1192 1194 1199 n 1203 1209

已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第60百分位数和第二组数据的中位数相等．

(1)求m，n；

(2)请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由．16.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BB1，A1B1的中点．

(1)证明：C1G//平面CEF17.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDE中，AE=BE=13，AB=2AC=2BC=4，CD⊥AB，平面ACD⊥平面ABC．

(1)证明：CD⊥平面ABC．

(2)已知CD=3，平面ABC⊥平面ABE，F是线段AB的中点．

①证明：四边形CDEF18.(本小题17分)

甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为12,16,13，且每局比赛的结果相互独立．

(1)求比赛19.(本小题17分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m=(cosC,2b−c)，n=(a,−cosA)，且m⊥n．

(1)求A；

(2)若BD=2DC，|AD|=4，求△ABC面积的最大值；

(3)答案解析1.【答案】B

【解析】解：原式=AB+BC+CE=AC+CE2.【答案】B

【解析】解：由题意可得抽样比为：10000−600010000=25，

故B型号的零件被抽到的数量是：500×25=200．

3.【答案】D

【解析】解：已知向量a,b为单位向量，

则|a|=|b|=1，

又向量a,b的夹角的余弦值为−13，

则a⋅b=−4.【答案】D

【解析】解：根据题意，在直观图中，过B′作B′C′//O′A′交y′轴于点C′，可得∠B′C′O′=45°，

因为∠B′O′y′=90°，所以△O′B′C′为等腰直角三角形，所以O′B′=O′C′=22，

根据斜二测画法，可得原图△OAB，如图所示，

则OA=22，OC=42，

故原图△ABO的面积是S=12OA⋅OC=12×25.【答案】A

【解析】解：根据题意可知，10×(0.012+m+2m+0.040)=1，得m=0.016，

故估计人数为100×10×(0.016+0.040)=56．

故选：A．

利用频率和为1求参数，再估计身高低于170cm的人数．

本题考查了频率分布直方图，属于基础题．6.【答案】B

【解析】解：如图所示，设营地为点C，2小时后，队员甲所在地为点A，队员乙所在地为点B，

则在△ABC中，∠ACB=60°，BC=8，AC=6，

所以由余弦定理得：AB2=BC2+AC2−2BC⋅ACcos∠ACB=82+627.【答案】D

【解析】解：由题意，样本空间Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，包含10个样本点．

设事件A=“这两个数字之积大于8”，

则A={(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，包含4个样本点，

所以P(A)=410=25．

故选：D．

8.【答案】C

【解析】解：由题意直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1，D，E，F分别是棱AB，B1C1，CC1的中点，

可取棱A1C1的中点G，连接EG，AG，FG，

如图所示，

因为E，G分别是棱B1C1，A1C1的中点，所以EG/​/A1B1，EG=12A1B1．

由棱柱的性质可知AB/​/A1B1，AB=A1B1．

因为D是棱AB的中点，所以AD//A1B1，AD=12A1B1，所以AD/​/EG，AD=EG，

所以四边形ADEG是平行四边形，所以AG/​/DE，

则∠FAG是异面直线AF9.【答案】BD

【解析】解：z=(1+2i)(1−3i)=1−3i+2i−6i2=7−i，

A、B：z的实部为7，虚部为−1，故A选项错误、B选项正确；

C：|z|=72+(−1)2=52，故C选项错误；

D：z在复平面内所对应的点的坐标为(7,−1)，位于第四象限，故D选项正确．

故选：BD．

复数的乘法运算可得10.【答案】ABD

【解析】解：已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，

对于A中，若α/​/β，m⊂α，n⊂β，

则m与n平行或异面，

所以A不正确；

对于B中，若m/​/α，n/​/α，

则m与n平行、相交或异面，

所以B不正确；

对于C中，若α/​/γ，β/​/γ，根据平行于同一平面的两平面平行，可得α/​/β，

所以C正确；

对于D中，若α∩γ=m，β∩γ=n，m/​/n，

则α与β平行或相交，

所以D错误．

故选：ABD．

根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解．

本题考查了空间点、线、面的位置关系，属基础题．11.【答案】ABC

【解析】解：∵A，B∈(0,π)，可得4A∈(0,4π)，4B∈(0,4π)，

由sin4A=sin4B，可得以下情况：若4A=4B，即A=B，这与△ABC是非等腰三角形矛盾，不符合题意；

若4A+4B=π，即A+B=π4，此时sinC=22，故A选项正确；

若4A=4B±2π，若A=B+π2，则sinA=cosB，故B选项正确，

若C=23π，则sinA=−cosB；

若4A+4B=3π，即A+B=3π4，此时cosC=22，故C选项正确，

由sin2A=sin2B，可得2A=2B，即A=B，不符合题意，

或2A+2B=π，即A=π2−B，此时sin4A=−sin4B，故D选项错误．12.【答案】5+7i

【解析】解：复数z=5−7i，则z−=5+7i．

故答案为：5+7i．

根据题意，结合共轭复数的定义，即可求解．13.【答案】0.2

【解析】解：因为A，B为互斥事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.2，

所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.2=0.8，

所以P(A−B−)=1−P(A∪B)=1−0.8=0.2．

故答案为：0.2．

14.【答案】256π3【解析】解：作出圆台的轴截面的示意图如下：

设O1，O2分别是该圆台容器上、下底面圆的圆心，

圆O是球形创意冰激凌的截面，E，F分别为圆O切AD，BC的切点，

则根据题意可得DE=DO1=8厘米，EA=AO2=2厘米．

作AH⊥CD，垂足为H，

则O1H=O2A=2厘米，AH=O1O2，DH=DO1−O1H=6厘米．

因为15.【答案】m=1193，n=1203；

估计A产地的玉菇甜瓜重量更稳定，理由见解析．

【解析】已知第一组数据(A产地)：m

1194

1200

1201

1202

1210，

第二组数据(B产地)：1192

1194

1199 n

1203

1209，

(1)由题意得1210−m=1209−1192，得m=1193．

因为6×60%=3.6，所以第一组数据的第60百分位数为1201g，

又第二组数据的中位数为1199+n2，

所以1199+n2=1201，得n=1203；

(2)第一组数据的平均数为1193+1194+1200+1201+1202+12106=1200g，

方差为72+62+0+12+22+1026=953，

第二组数据的平均数为1192+1194+1199+1203+1203+12096=1200g，16.【答案】证明见解析；

存在，A1H【解析】解：(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，连接EG，

因为E，G分别是棱AB，A1B1的中点，

所以EG/​/BB1，EG=BB1，

由长方体的性质，可知BB1//CC1，BB1=CC1，

则EG//CC1且EG=CC1，

所以四边形CEGC1是平行四边形，

所以CE//C1G，

又因为CE⊂平面CEF，且C1G⊄平面CEF，

所以C1G//平面CEF．

(2)取棱AA1的中点H，连接GH，C1H，平面C1GH/​/平面CEF，此时A1HA1A=12．

理由如下：

连接AB1，因为E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以EF/​/AB1，

因为G，H分别为棱A1B1，A1A的中点，

所以GH//AB1，所以GH//EF，

因为EF⊂平面CEF且GH⊄平面CEF，

所以GH/​/平面CEF，

由(1)可知C1G//平面CEF，且17.【答案】证明见解析；

①证明见解析；②8．

【解析】(1)证明：因为AB=2AC=2BC，

因此AB2=AC2+BC2，因此AC⊥BC．

因为平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，

因此BC⊥平面ACD．

因为CD⊂平面ACD，因此BC⊥CD．

因为CD⊥AB，

AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，

因此CD⊥平面ABC．

(2)①证明：因为AE=BE，且F为线段AB的中点，因此EF⊥AB．

因为平面ABC⊥平面ABE，且平面ABC∩平面ABE=AB，EF⊂平面ABE，

因此EF⊥平面ABC．

因此EF⊥CF，

由(1)可知CD⊥平面ABC，则CD/​/EF，CD⊥CF，

因为AE=13，AF=12AB=2，且EF⊥AB，因此EF=3．

因为CD=3，因此四边形CDEF是矩形．

②因为AC=BC，且F为线段AB的中点，因此CF⊥AB，

由①知EF⊥AB，

因为EF⊂平面CDEF，CF⊂平面CDEF，且EF∩CF=F，

因此AB⊥平面CDEF，

由①知EF=3，

因为AC=22，AF=12AB=2，因此CF=AC2−AF2=2．

则四棱锥A−CDEF的体积V18.【答案】43108；

265432【解析】(1)根据题意，设A=“比赛3局结束”，

比赛3局结束的情况有以下两种：

第一种情况，甲获胜，即前2局比赛中甲获胜