2024-2025学年辽宁省朝阳市凌源市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省朝阳市凌源市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,2,3}，集合B={3,m2}.若B⊆A，则实数m的取值集合为A.{−1} B.{2} C.{1,−1}2.若复数z满足zi=1+i，则z等于(

)A.1−i B.−1−i C.−1+i D.1+i3.将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是(

)A.圆柱 B.圆台 C.圆锥 D.棱柱4.某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用分层抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则n=(

)A.18 B.21 C.24 D.275.已知角α，β均为锐角，满足cos(α+β)=1010,sinβ=A.−22 B.22 6.若函数f(x)=a|x−1|(a>0,a≠1)满足f(−1)=4，则f(x)的单调递减区间是A.(−∞,1] B.[1,+∞) C.[−1,+∞) D.(−∞,−1]7.设命题甲：∀x∈R,x2+(a−32)x+116A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知向量a,b满足：|a|=|b|=2，且a⋅b=2，若c=xa+yA.1 B.3 C.3 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列使得复数(m−1)+mi对应的点在第三象限的m的值为(

)A.−2 B.−1 C.0 D.110.已知sinαcosα=1225，则(

)A.tanα的值为43或34

B.当0<α<π4时，sinα的值为45

C.当π4<α<π2时，cosα−sinα的值为11.函数f(x)=a⋅2x−2+a2A.实数的值a的值为2

B.函数f(x)为R上的单调递增函数

C.不等式f(4x)+f(−2x+2−5)>0的解集为(log25,+∞)

D.若对三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.化简：sin(α+7π)⋅cos(α−3π13.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足AP=λ(AB+AC)，λ∈(0,+∞)，则点P14.在四面体S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=60°，SA=2AC=4，AB=3，则该四面体的外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为加强科学教育，某校按照上级要求，开展了科学知识与科技创新比赛.该校将经过初选脱颖而出的10名学生平均分为甲、乙两组，进行加强测试，要求每组的5名学生每个人个人在单位时间内做竞赛题目若干，将每个同学做对题目的个数统计如下表：甲组556910乙组56789(1)分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的水平；

(2)按照上级要求，学校将从甲、乙两组中做对题目超过7个的同学中随机抽取2名学生，若两人做对题目的个数之和不少于19个，则授予该校获得科学教育先进校称号.求该校获得科学教育先进校的概率．16.(本小题15分)

已知a=(3sinx,1−cosx),b=(cosx,1+cosx)，函数f(x)=a⋅b−12．

17.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosAsinB=1+sinAcosB．

(1)若C=2π3，求B的大小；

(2)若△ABC的外接圆半径为2，试确定B18.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，BB1=2BA，点Q是线段BB1的中点，连接QA，QC，QA1，QC1．

(1)求证：QA⊥平面QA1C1；

19.(本小题17分)

若函数y=f(x)的定义域为R，且存在实数m，使得对于定义域内任意x，都有f(m−x)=f(x)成立，则称函数f(x)具有“性质P(m)”．

(1)判断函数y=|x+1|是否具有“性质P(m)”，若具有“性质P(m)”，求出实数m的值，若不具有“性质P(m)”，请说明理由；

(2)已知函数y=f(x)具有“性质P(2)”，且当x≥1时，f(x)=logax，求函数y=f(x)在区间[0,1]上的值域；

(3)已知函数y=f(x)既具有“性质P(0)”，又具有“性质P(2)”，且当0≤x≤1时，f(x)=sin(π2x)，若函数y=f(x)的图像与直线y=kx+1参考答案1.D

2.A

3.A

4.D

5.C

6.A

7.C

8.D

9.AB

10.ACD

11.BCD

12.−sin13.重

14.76315.(1)依题中的数据可得：甲组做对题目为：5，5，6，9，10；

乙组做对题目为：5，6，7，8，9，

x甲−=15(5+5+6+9+10)=7，x乙−=15(5+6+7+8+9)=7，

s甲2=15[(5−7)2+(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(10−7)2]=225=4.4，

s乙2=15[(5−7)2+(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(9−7)2]=2，

∵x−甲=x−乙，s甲16.(1)已知a=(3sinx,1−cosx),b=(cosx,1+cosx)，

由题意f(x)=a⋅b−12=3sinxcosx+1−cos2x−12=32sin2x+12−1+cos2x2

=17.(1)根据cosAsinB=1+sinAcosB，可得cosAcosB−sinBsinA=sinB，

那么可得cos(A+B)=sinB，所以−cosC=sinB，

当C=2π3，可得sinB=−cos2π3=12，

因为B∈(0,π3)，因此B=π6．

(2)根据−cosC=sinB可知C为钝角，进而B为锐角，

因此sin(C−π2)=sinB，因此18.(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，BB1=2BA，点Q是线段BB1的中点，

连接QA，QC，QA1，QC1．

∵Q为BB1的中点，BB1=2BA，

∴BQ=AB，∴A1B1=B1Q，

在三棱柱ABC−A1B1C1中，由题意知BB1⊥AB，BB1⊥A1B1，

∴∠AQB=∠A1QB1=45°，∴AQ⊥A1Q，

在三棱柱ABC−A1B1C1中，∵AB⊥AC，∴A1B1⊥A1C1，

∵BB1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥A1C1，

∵A1B1∩BB1=B1，A1B1，BB1⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，

∵AQ⊂平面ABB1A1，∴AQ⊥A1C1，

∵A1Q∩A1C1=A1，19.(1)函数y=|x+1|具有“性质P(m)”，

设f(x)=|x+1|，

则f(m−x)=|m−x+1|=|x+1|=f(x)，

故|m−x+1|2=|x+1|2，

则(m+1)2−2(m+1)x+x2=x2+2x+1，

则(m+1)2−2(m+1)x=2x+1，

(m+1)2=1，−2(m+1)=2，解得m=−2，

故函数y=|x+1|具有“性质P(m)”，m=−2；

(2)因为函数y=f(x)具有“性质P(2)”，

则f(2−x)=f(x)，

当x∈[0,1]时，2−x∈[1,2]，

又当x≥1时，f(x)=logax，

可得x∈[0,1]时，f(x)=f(2−x)=loga(2−x)，

当a>1时，f(x)∈[0,loga2]；

当0<a<1时，f(x)∈[loga2,0]；

(3)函数y=f(x)既具有“性质P(0)”，又具有“性质P(2)”，

即f(0−x)=f(x)，且f(2−x)=f(x)，

即函数为偶函数且关于直线x=1对称，

则f(2+x)=f(−x)=f(x)，

故f(x)的周期为2；

又因为当0≤x≤1时，f(x)=sin(π2x)