2024-2025学年黑龙江省哈尔滨一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨一中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足iz+2=3z+i(i为虚数单位)，则z−在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量p=(a+c,−b),q=(a+b,a−c)，若p//q，则角A.π6 B.π3 C.π23.已知菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，则BD⋅DC=A.−4 B.−2 C.2 D.44.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA′B′C′，则原梯形面积为(

)A.2 B.2 C.4 D.5.以长为4cm，宽为3cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积为(

)A.16πcm2，或24πcm2 B.16πcm2

C.6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB−bcosA=c，且C=2π5，则∠B=(

)A.π5 B.π10 C.3π107.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=2π3，AB=BC=2，CC1=1，A.55 B.255 8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(    )(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=13A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题不正确的是(

)A.棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似

B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥

C.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

D.直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体E−ABCD−F的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体(

)

A.共有18个顶点

B.共有36条棱

C.表面积为6+83

D.与正八面体E−ABCD−F的体积之比为811.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个命题中，正确的命题是(

)A.若c=2acosB，则△ABC一定是等腰三角形

B.若(a2+b2)sin(A−B)=(a2−b2)sin(A+B)，则△ABC是等腰或直角三角形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(2,−1)，b=(λ,1)，若a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是______．13.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，若PC//平面BEF，则λ的值为______．14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=7，D是边AB的中点，CD⊥CB，且b(sinA+sinB)=(c+a)(sinC−sinA)，则CD的长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2b−a=cosCcosA．

(1)求角C的大小；

(2)若c=1，△ABC的面积S△ABC16.(本小题15分)

已知向量a与b的夹角为45°，且|a|=1，|2a−b|=10．

(1)求|b|的值；

(2)在三角形ABC17.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=bsinA．

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，b=318.(本小题15分)

在如图所示的几何体中，四边形ABEF为矩形，CE⊥平面ABEF，CE//DF，且AB=CE=2AF=2．

(1)求证：AD//平面BCE；

(2)求证：平面ABC⊥平面BCE；

(3)求三棱锥C−ADE的体积．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=BC=1，PD+DC=AB=3，AB//CD，AB⊥BC，M在线段AB上(不含端点)，PM⊥底面ABCD．

(1)证明：平面PAB⊥平面PBC．

(2)设PD=x,x∈(1,3)，请写出三棱锥M−PAD的体积V关于x

参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.D

6.B

7.B

8.B

9.BCD

10.BD

11.ABD

12.(−∞,−2)∪(−2,113.3

14.2115.(1)解：因为c2b−a=cosCcosA，可得ccosA=2bcosC−acosC，

即ccosA+acosC=2bcosC，

由正弦定理得sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosC，即sin(C+A)=2sinBcosC，

又因为C+A=π−B，可得sin(C+A)=sinB，所以sinB=2sinBcosC，

因为B∈(0,π)，可得sinB>0，所以cosC=12，

又因为C∈(0,π)，所以C=π3；

(2)解：因为△ABC的面积S△ABC=3，可得12absinC=3，可得ab=4，

又因为c=1，由余弦定理c2=16.解：(1)已知向量a与b的夹角为45°，且|a|=1，|2a−b|=10，

则4a2−4a⋅b+b2=10，

则4−4×1×22|b|+17.解：(1)因为asinA+C2=bsinA，

则sinAsin(π−B2)=sinBsinA，

故sinAcosB2=2sinB2cosB2sinA，

在△ABC中，0<A<π，0<B<π，

所以0<B2<π2，

则sinA≠0，cosB2≠0，

可得sinB2=12，

所以B2=π6，

所以B=π3．

(2)由正弦定理可得2R=asinA=csinC=bsinB18.解：(1)证明：∵四边形ABEF是矩形，

∴AF//BE，

又AF⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，

∴AF//平面BCE．

∵CE//DF，DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，

∴DF//平面BCE．

∵AF∩DF=F，AF，DF⊂平面ADF，

∴平面ADF//平面BCE，

又AD⊂平面ADF，

∴AD//平面BCE．

(2)证明：∵CE⊥平面ABEF，AB⊂平面ABEF，

∴CE⊥AB，

在矩形ABEF中，AB⊥BE，

又∵BE∩CE=E，BE，CE⊂平面BCE

∴AB⊥平面BCE．

又AB