2024-2025学年黑龙江省大庆市高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省大庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=(2a+3)x−4a+3,x≥1ax,x<1，对任意的x1，x2∈R，且x1A.a>1 B.a<2 C.1<a<2 D.1<a≤22.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BA.82

B.823

3.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为(

)A.35 B.50 C.70 D.1004.定义符号函数sgnx=1,x>00,x=0−1,x<0，设f(x)=sgn(12−x)+12⋅f1(x)+sgn(x−12A.(32,2] B.[1,2] C.{1}∪(5.函数f(x)的定义域为R，f(2)=3，若∀x∈R，f′(x)>1，则f(x)>x+1的解集为(

)A.(−2,2) B.(2,+∞) C.(−∞,2) D.(−∞,+∞)6.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)，且x∈(−1,1]时f(x)=|x|，则函数f(x)的图象与函数y=log2|x|的图象的交点的个数是A.2 B.3 C.4 D.多于47.设函数f(x)=x2−4x+6,x≥0x+6,x<0，则不等式f(x)>3A.(−3,1)∪(3,+∞) B.(−3,1)∪(2,+∞)

C.(−1,1)∪(3,+∞) D.(−∞,−3)∪(1,3)8.已知二次函数y=2x2−1在区间[a,b]上有最小值−1，则下面关系一定成立的是A.a≤0<b或a<0≤b B.a<0<b

C.a<b<0或a<0<b D.0<a<b或a<b<0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+x+5，则A.f(0)=0 B.g(x)=xf(x)是奇函数

C.f(−1)=7 D.当x<0时，f(x)=−10.函数f(x)=x3−mA. B. C. D.11.已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的是(

)A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反

B.当λ=0时，λa的方向具有任意性

C.|λa|=λ|a|

D.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.全期望公式E(Y)=xiE(Y|X=xi)P(X=xi)是条件数学期望的一个非常重要的性质.全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设X为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得E(X)=16(1+E(x))+56×1，解得E(X)=65，其中1+E(x)表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为E(X)，加上之前投的一次总次数为13.设{an}是等比数列，且a1+a2+14.已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，方程f(x)−loga|x|=0有10四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为23．

(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；

(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．16.(本小题15分)

记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1且2Sn=(n+1)an．

(1)求{a17.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x2−a)ex，a∈R．

(1)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若函数f(x)有两个不同的极值点x118.(本小题17分)

短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度.为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人．

(Ⅰ)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；

单位：人游客短视频合计收看未看南方游客北方游客合计(Ⅱ)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一.现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出．

(i)求经过i次传递后球回到甲的概率；

(ii)记前m次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望．

参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+dα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex+cosx(x∈R)在x=0处的切线斜率为2．

(1)求a的值；

(2)求证：ex≥cosx+x；

(3)是否存在实数m，使得参考答案1.D

2.B

3.B

4.D

5.B

6.A

7.A

8.A

9.AD

10.ABD

11.ABD

12.10

13.32

14.(5,7)

15.解：(1)易知X的所有可能取值为0，10，20，30，

此时P(X=0)=C33C103=1120，P(X=10)=C7X0102030P17217故E(X)=0×1120+10×740+20×2140+30×724=21；

(2)记“该同学仅答对1道题”为事件M16.解：(1)根据题意，a1=1，2Sn=(n+1)an，则2Sn−1=nan−1，

两式相减可得2an=(n+1)an−nan−1，即anan−1=nn−1(n≥2)，

17.(1)解：f(x)=(x2−a)ex在R上连续不断，且f′(x)=ex(x2+2x−a)，

由f(x)在(1,2)上单调递增，因ex>0，则x2+2x−a≥0在x∈(1,2)上恒成立，

即a≤x2+2x在x∈(1,2)恒成立，

因g(x)=x2+2x=(x+1)2−1在(1,2)上单调递增，则g(x)>g(1)=3，

故a≤3，即a∈(−∞,3]；

(2)证明：由(1)可知：f′(x)=ex(x2+2x−a)，且ex>0，令f′(x)=0，可得x2+2x−a=0，

由函数f(x)有两个不同的极值点x1，x218.解：(Ⅰ)将所给数据进行整理，得到如下列联表：游客短视频合计收看未看南方游客200100300北方游客80120200合计280220500假设H0：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联，

χ2=500×(200×120−80×100)2300×200×280×220=8000231≈34.632>10.828=x0.001，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，

即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．

(Ⅱ)(i)设经过i次传递后回到甲的概率为Pi，

则Pi=(1−Pi−1)×14=−14Pi−1+14(i≥2)，

即Pi−15=−14Pi−1−15，

又P1=0，P1−119.解：(1)根据题意，f′(x)=aex+sinx(x∈R)，

f′(0)=a=2；

(2)证明：设g(x)=ex−x−1(x∈R)，g′(x)=ex−1，

当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0，函数在(−∞,0)上单调递减，

当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，函数在(0,+∞)上单调递增，

则g(x)在R上的最小值为g(0)=0，所以ex≥x+1≥x+cosx；

(3)设ℎ(x)=f(x)−mx3−x22−2x−3=2ex+cosx−mx3−x22−2x−3(x∈R)，

则ℎ′(x)=2ex−sinx−3mx2−x−2(x∈R)，

设H(x)=ℎ′(x)=2ex−sinx−3mx2−x−2，

则H′(x)=2ex−cosx−6mx−1，设G(x)=H′(x)=2ex−cosx−6mx−1，

则G′(x)=2ex+sinx−6m，设T(x)=G′(x)=2ex+sinx−6m，

T(0)=2−6m，T′(x)=2ex+cosx，①T(0)=2−6m=0时，m=13，H′(x)=2ex−cosx−2x−1，

由(2)可知，H′(x)=2ex−cosx−2x−1≥ex−x−1≥0，

所以H(x)在R上递增，又H(0)=0，

所以当x∈(−∞,0)时，H(x)=ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，

当x∈(0,+∞)时，H(x)=ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以ℎ(x)在R上的最小值为ℎ(0)=0，即f(x)≥mx3+x22+2x+3成立；

②T(0)=2−6m>0时，m<13，

当x∈[−π2,π2]时，T′(x)=2ex+cosx>0，T(x)在[−π2,π2]上单调递增，

若T(−π2)=2e−π2+1−6m≥0，则当x∈[−π2,0]时，T(x)=G′(x)≥0，

G(x)=H′(x)在[−π