2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【03-暑假培优练】专题01 向量基本定理与动点最值 (13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练) (学生版)

PAGE1专题01向量基本定理与动点最值内容早知道☛第一层巩固提升练题型一：空间基底基础题型二：基底求参题型三：基底坐标题型四：平面基底表示向量题型五：求长度型最值题型六：动点数量积型最值与范围题型七：动点距离最值范围型题型八：动点型轨迹题型九：动点角度范围型：线线角题型十：动点角度范围型：线面角题型十一：动点范围型：折线距离题型十二：存在型动点题型十三：空间向量综合难题☛第二层能力提升练☛第三层高考真题练巩固提升练题型01空间基底基础⭐技巧积累与运用如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得

．其中，把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．1．若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（

）A． B．C． D．2．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（

）A． B．3．已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量.题型02基底求参1．已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（

）A． B． C． D．3．若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（

）A． B．1 C．0 D．-2题型03基底坐标1．已知是空间中一组基底，若向量，则称向量在基底下坐标为.若向量在基底下坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（

）A．已知，，则在上的投影向量为B．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则C．若，则A，B，C，G四点共面D．若向量，（x，y，z都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为3．若向量在空间的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是．题型04平面基底表示向量⭐技巧积累与运用用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．1．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（

）A． B．C． D．2．如图，在棱长为3的正四面体中，O为的中心，D为的中点，，则（

）A． B．C． D．3．如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则.题型05求长度型最值⭐技巧积累与运用1.在空间直角坐标系中，设，，则两点间的距离___．2.1．已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（

）A． B．4 C．6 D．2．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（

）A．当为底面的中心时，B．当时，长度的最小值为C．当时，长度的最大值为6D．当时，为定值3．已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为.题型06动点数量积型最值与范围⭐技巧积累与运用空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量，，则向量的模长与在向量方向上的投影的乘积叫做，的数量积，记作．即．零向量与任意向量的数量积为0．（2）由数量积的定义，可以得到：；_．1．在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．3．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（

）A． B． C． D．题型07动点距离最值范围型⭐技巧积累与运用空间中动线段的距离和的最值问题，可以类比平面中的距离和的最值处理利用对称性来处理于转化，另外异面直线间的公垂线段的长度可利用点到平面的距离来处理.1．如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（

）

A． B． C． D．2．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（

）A． B． C．1 D．3．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（

）A． B．C． D．题型08动点型轨迹⭐技巧积累与运用求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.1．如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．2．如图，棱长为4的正四面体，，分别是，上的动点，且，则中点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．3．如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．题型09动点角度范围型：线线角⭐技巧积累与运用设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则两直线所成的角为(),；1．在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．2．在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．已知空间四边形，，，，.则对角线与所成角的正切值的取值范围是（

）A． B． C． D．题型10动点角度范围型：线面角⭐技巧积累与运用几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则直线与平面所成的角为(),；线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；1．如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，（

）A． B． C． D．2．在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（

）.A． B． C． D．3．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（）A．异面直线与所成角为60°B．平面C．三棱锥的体积不变D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为4．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型11动点范围型：折线距离⭐技巧积累与运用计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；1．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（

）A． B． C． D．2．在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（

）A． B． C． D．3．棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．题型12存在型动点⭐技巧积累与运用先把位置点定性为“已知点”，然后通过其他条件推导出相关的平行或者垂直关系，再借助平行得比例线段，或者垂直得到对应的垂直关系。1．在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（

）A．存在某个位置，使得B．存在某个位置，使得C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为2．如图，在矩形中，是的中点，将沿着直线翻折得到.记二面角的平面角为，当的值在区间0,π范围内变化时，下列说法正确的有（

）A．存在，使得B．存在，使得C．若四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为D．若直线与所成的角为，则3．如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（

）A．存在使得B．存在使得平面C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大D．当时，直线与所成角的余弦值的最小值为题型13空间向量综合难题⭐技巧积累与运用（1）向量法求点面距离：求出平面的法向量，则点到平面的距离公式为.（2）向量法求线面所成角的正弦值：求出平面的法向量，则.1．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（

）A．点G到平面的距离为定值B．若，则的最小值为2C．若，且，则点G到直线的距离为D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为2．在正三棱锥中，，，是底面内（含边界）一点，则下列说法正确的是（

）A．点到该三棱锥三个侧面的距离之和为定值B．顶点，，到直线的距离的平方和为定值C．直线与该三棱锥三个侧面所成角的正弦值的和有最大值D．直线与该三棱锥四个面所成角的正弦值的平方和有最大值3．如图，等边的边长为4，为边的中点，将沿折成三棱锥，，B，C，D都在球的球面上．记，，与平面所成的角分别为，，，平面，，与平面所成的角分别为，，，则（

）A．与所成的角为定值 B．球的表面积的最大值为C． D．存在点使得能力培优已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（

）A． B． C． D．如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（

）A．B．向量在向量上的投影向量为C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个已知正方体，设其棱长为1（单位：）．平面与正方体的每条棱所成的角均相等，记为．平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是（

）

A．可能为三角形，四边形或六边形B．C．的面积的最大值为D．正方体内可以放下直径为的圆如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．①三棱锥中，点P到面的距离为定值②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为③直线与面所成角的正弦值的范围为④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为以上命题为真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：①存在点，使得；②存在点，使得平面；③的面积越来越小；④四面体的体积不变．其中，所有正确的结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．46.如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（

）（参考数据：A．， B．，C．， D．，已知正方体棱长为1，动点M满足，则（

）A．当，时，直线⊥平面B．当，，时，点M到直线的距离为C．当，，时，的值可能为D．当且时，点M的轨迹长度为8．（2024·江苏苏州·三模）在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（

）

A．点的轨迹长为 B．的最小值为C． D．三棱锥体积的最小值为9．（2024·辽宁·三模）已知正四面体棱长为2，点分别是，，内切圆上的动点，现有下列四个命题：①对于任意点，都存在点，使；②存在，使直线平面；③当最小时，三棱锥的体积为④当最大时，顶点到平面的距离的最大值为．其中正确的有．（填选正确的序号即可）如图①是直角梯形，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为．高考真题1．（上海·高考真题）在平行六面体中，M为A