(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第02讲数列中的递推(学生版+解析)

第02讲数列中的递推课程标准学习目标1．理解递推公式的含义．2．掌握递推公式的应用．3．会利用an与Sn的关系求通项公式．1．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养．2．借助递推公式的应用学习，提升数据分析的素养.知识点01数列的递推关系1.数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).2.通项公式与递推公式的区别与联系类别区别联系通项公式an是序号n的函数式an=f(n)都是给出数列的方法，都可求出数列中任意一项递推公式已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式【即学即练1】（1）设数列满足，且，则（）A． B． C． D．（2）数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…的递推公式可以是()A．an＝eq\f(1,2n) B．an＝eq\f(1,2n)C．an＋1＝eq\f(1,2)an D．an＋1＝2an知识点02数列的前n项和1、数列的前n项和的定义一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．an与Sn的关系一般地，如果数列的前项和为，那么当，由，，所以，因此【即学即练2】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a2＝________.题型01由递推关系求数列的项【典例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列满足，则（

）A．23 B． C．3 D．2【变式1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）数列满足，若，则．【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的首项为，递推公式为（），【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知数列为，若关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则．【变式4】（23-24高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则.题型02求数列的递推关系【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值小于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则，与的关系为．【变式3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值小于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则，与的关系为．题型03数列的周期性及应用【典例3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（

）A．2015 B．2016 C．1518 D．1519【变式1】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（

）A． B．2 C．3 D．【变式2】（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（

）A．12 B．15 C．18 D．21题型04已知Sn求通项公式an【典例4】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，则.【变式1】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知为数列的前项和，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（

）A．11 B．12 C．13 D．14【变式3】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（

）A．11 B．12 C．13 D．14【变式4】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式.题型05累减法求数列的通项【典例5】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为．【变式1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则．【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则.【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（

）A． B． C． D．题型06累除法求数列的通项【典例6】．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，a1＝1，则a2023＝【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最小正整数为（

）A．28 B．29 C．30 D．31【变式3】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（

）A． B．15 C． D．10题型07根据Sn与an的递推关系求通项【典例7】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为．【变式1】（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则.【变式2】已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【变式3】设为数列的前项和，且，则（

）A． B．2021 C． D．0一、单选题1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知数列满足，若，则（

）A． B． C．1 D．22．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（

）A．1 B．2 C．4 D．83．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足：，，则（

）A．19 B．21 C．23 D．255．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知数列满足，，则数列的前9项和为（

）A．6 B． C．3 D．6．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．7．（24-25高二上·福建龙岩·期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（

）A．21 B．13 C．12 D．158．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知正项数列满足，，则下列错误的是（

）A． B．是递增数列C． D．二、多选题9．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．10．（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（

）A． B．C． D．11．（23-24高二上·河南漯河·期末）斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法错误的是（

）A．该数列是一个递增数列B．89是该数列的一项C．从前10项可以看出，设第项为，则D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则三、填空题12．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）已知数列满足：且，则．13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列{an}的前n项和，若，恒成立，则实数λ的最小值是.14．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）小明同学在研究数列时，发现其递推公式可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则等于．四、解答题15．（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列满足，，求.16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足：（m为正整数），若，求m所有可能的取值．17．（24-25高二上·全国·课后作业）在各项均为正数的数列中，且.(1)当时，求与的值；(2)求证：当时，.18.已知数列满足．（1）求和；（2）证明：数列为单调递增数列．19．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足．(1)求的值；(2)试猜想的通项公式，并证明．第02讲数列中的递推课程标准学习目标1．理解递推公式的含义．2．掌握递推公式的应用．3．会利用an与Sn的关系求通项公式．1．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养．2．借助递推公式的应用学习，提升数据分析的素养.知识点01数列的递推关系1.数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).2.通项公式与递推公式的区别与联系类别区别联系通项公式an是序号n的函数式an=f(n)都是给出数列的方法，都可求出数列中任意一项递推公式已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式【即学即练1】（1）设数列满足，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次代入和即可得到结果.【详解】当时，；当时，..（2）数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…的递推公式可以是()A．an＝eq\f(1,2n) B．an＝eq\f(1,2n)C．an＋1＝eq\f(1,2)an D．an＋1＝2an【答案】A【解析】由题意可知C选项不符合，故选C.知识点02数列的前n项和1、数列的前n项和的定义一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．an与Sn的关系一般地，如果数列的前项和为，那么当，由，，所以，因此【即学即练2】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a2＝________.【答案】3【解析】a2＝S2－S1＝4－1＝3.题型01由递推关系求数列的项【典例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列满足，则（

）A．23 B． C．3 D．2【答案】A【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】因为，，所以，，，．【变式1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）数列满足，若，则．【答案】/【分析】根据条件等式，代入求，再赋值求.【详解】由，得，，所以，．故答案为：【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的首项为，递推公式为（），【答案】/1.6【分析】根据递推公式依次代值计算即可.【详解】由（），，则，，，.故答案为：.【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知数列为，若关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则．【答案】21【分析】利用待定系数法求通项，再求即可.【详解】设（，），由题设可得，解得所以，，．故答案为：.【变式4】（23-24高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则.【答案】/【分析】由递推式，结合依次求出、即可.【详解】由，，可得，又，可得.故答案为：.题型02求数列的递推关系【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数列中从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数（不为零）进行求解即可.【详解】因为所以，【变式1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，即可得到，，根据初始值，由此递推即可求得结果.【详解】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴，，故C错误，D错误；又∵，，所以，，，，，，，，故A、B错误.【变式2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值小于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则，与的关系为．【答案】7【分析】由超子集的定义，列举法求出；的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含，这类超子集有个，第二类是超子集中含，这类超子集个，从而求得的递推关系.【详解】由题意知，，则超子集只有，所以；，则超子集有，所以；，则超子集有，所以.由此可以分析，对于，的超子集可以分为两类：第一类是超子集中不含，这类超子集有个；第二类是超子集中含，这类超子集同样也包含两类，一类在中取一个元素，个数为；另一类在中取两个或两个以上个元素，任意两个元素之差的绝对值小于1，个数为，所以．故答案为：7；.【变式3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值小于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则，与的关系为．【答案】7【分析】由超子集的定义，列举法求出；的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含，这类超子集有个，第二类是超子集中含，这类超子集个，从而求得的递推关系.【详解】由题意知，，则超子集只有，所以；，则超子集有，所以；，则超子集有，所以.由此可以分析，对于，的超子集可以分为两类：第一类是超子集中不含，这类超子集有个；第二类是超子集中含，这类超子集同样也包含两类，一类在中取一个元素，个数为；另一类在中取两个或两个以上个元素，任意两个元素之差的绝对值小于1，个数为，所以．故答案为：7；.题型03数列的周期性及应用【典例3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（

）A．2015 B．2016 C．1518 D．1519【答案】A【分析】计算数列的前几项求出周期，再结合周期性分组求和.【详解】依题意，，因此数列是以2为周期的周期数列，所以该数列前2024项的和为.【变式1】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，进而可得结果.【详解】因为，，令，则；令，则；令，则；可知数列为周期为的周期数列，所以..【变式2】（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果.【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出偶数、偶数、偶数循环的规律，因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为，易知，一个周期内的三个数字之和为；所以数列的前项的和为.【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（

）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【分析】利用即可求得的值.【详解】因为数列的前项和，所以..题型04已知Sn求通项公式an【典例4】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，则.【答案】【分析】利用可得答案.【详解】，，，当时，两式相减得，而，则.故答案为：.【变式1】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知为数列的前项和，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可求得结果.【详解】因为为数列的前项和，，则..【变式2】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根据求值即可.【详解】因为.【变式3】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根据求值即可.【详解】因为.【变式4】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式.【答案】【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式．【详解】由，可得时，；当时，．此时，当时，，综上，可得．故答案为：．题型05累减法求数列的通项【典例5】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为．【答案】；【分析】求出，利用累减法求和得到通项公式.【详解】，故，所以.故答案为：【变式1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则．【答案】8【分析】利用递推公式累减即可求解.【详解】由题意可得，所以，，……，，累减得，所以，故答案为：8【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则.【答案】，【分析】利用累减法可求数列的通项公式.【详解】因为，所以.所以，，…，以上各式相减，得：所以又也不符合上式，所以，.故答案为：，【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可以采用累减法进行求解.【详解】由，则，，，，…，以上各式累减得．所以．因为也适合上式，所以．.题型06累除法求数列的通项【典例6】．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为．【答案】【分析】根据累除法求数列通项公式即可.【详解】因为，所以，累除可得，即，所以，当时，也成立，所以.故答案为：【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，a1＝1，则a2023＝【答案】4045【详解】∵＝2n，∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得＝，∴a2023＝×××…×××a1＝××…×××1＝4045.【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最小正整数为（

）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】B【分析】利用累除法求得，由此解不等式,求得错误答案.【详解】依题意，数列满足，，，所以，也不符合，所以，是单调递增数列，由，解得，所以的最小值为.【变式3】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（

）A． B．15 C． D．10【答案】B【分析】依题意对化简，采用累除法得到，从而得到【详解】因为，所以，即，得.所以.因为，所以..题型07根据Sn与an的递推关系求通项【典例7】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为．【答案】【分析】当时，，化简得，利用累除法计算得到，满足上式，写成分段的形式即可.【详解】当时，，化简得，，利用累除法得，显然满足上式，所以故答案为：【变式1】（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则.【答案】【分析】借助与的关系及累除法计算即可得.【详解】当时，，即，，则，即，则有，，，，则，当时，，不符合上式，故.故答案为：.【变式3】已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据与之间的关系分析可得，令即可得结果.【详解】因为，则，两式相减可得：，即，令，可得，且，所以..【变式4】设为数列的前项和，且，则（

）A． B．2021 C． D．0【答案】A【分析】根据数列递推式求出，再利用的关系推出，结合并项求和法，即可得答案.【详解】由题意知，故，即，当时，，和相减，得，即，故，一、单选题1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知数列满足，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据递推公式求出、即可.【详解】因为且，所以，解得，则，即，解得.2．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】按照数列的递推定义即可求解.【详解】因为数列满足，所以..3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果.【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误；观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，所以递推公式为，故C错误，D错误..4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足：，，则（

）A．19 B．21 C．23 D．25【答案】B【分析】根据给定条件，利用累减法求通项即得.【详解】在数列中，，，所以.5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知数列满足，，则数列的前9项和为（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用数列递推公式对进行赋值求出数列的项，判断并运用其周期性即可求得.【详解】因，由可推得，，则，，，故数列是周期为3的数列，从而数列的前9项和为.故选:.6．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可.【详解】当时，；当时，，经验证，不不符合上式，所以故选：.7．（24-25高二上·福建龙岩·期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（

）A．21 B．13 C．12 D．15【答案】B【分析】设级台阶的走法为，找出数列的递推公式，即可求解.【详解】设级台阶的走法为，则，，当时，，所以，，，，.故选：.8．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知正项数列满足，，则下列错误的是（

）A． B．是递增数列C． D．【答案】A【分析】结合数列的递推公式、单调性、以及放缩法、累减法的应用，对各项逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于A：∵，，∴，即因为在正项数列中，，∴，故A错误；对于B：，即，∴是递增数列，故B错误；对于C：，∵∴，故C不错误；对于D：∵，，……，，∴.故D错误..二、多选题9．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得.【详解】因为，，所以，，，，故A错误，B错误；所以数列是以为周期的周期数列，则，故C错误；，故D错误.CD10．（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（

）A． B．C． D．【答案】BBD【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项.【详解】对于A，由题可知，对任意的，，则对任意的，，所以，，故，A对；对于B，，所以，由A可知，，所以，B对；对于C，，C错；对于D，因为，所以，D对.BD.11．（23-24高二上·河南漯河·期末）斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法错误的是（

）A．该数列是一个递增数列B．89是该数列的一项C．从前10项可以看出，设第项为，则D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则【答案】BCD【分析】根据斐波那契数列的定义列出前几项，即可判断A、B，根据递推关系判断C，依题意可得，即可得到，解得即可判断D.【详解】“斐波那契数列”为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，35，89，…，因为，所以该数列不是一个递增数列，故A错误；因为，即89是该数列的一项，故B错误；因为，，，所以，，，…，，所以，故C错误；因为，两边同除，可得，又随着的增大，逐渐趋近于一个常数，所以，解得（负值已舍去），故D错误.CD三、填空题12．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）已知数列满足：且，则．【答案】/【分析】根据递推式判断数列的周期性，利用周期性求目标项.【详解