(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第04讲等差数列的前n项和(学生版+解析)

第04讲等差数列的前n项和课程标准学习目标1.探索并掌握等差数列前n项和公式；2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，会求等差数列前n项的最值。1.经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养；2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养；3.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养.知识点01等差数列的前n项和1、等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式2、等差数列前n项和公式的推导对于公差为d的等差数列，①②由①＋②得n个＝，由此得等差数列前n项和公式，代入通项公式得.【即学即练1】（24-25高三上·江苏南京·期中）在等差数列中，，则.知识点02等差数列的前n项和性质1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列；2、前n项和与n的比值：数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为；3、奇偶项和性质：若S奇表示偶数项的和，表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数时，，，；②当项数为偶数时，，，.4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则【即学即练2】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．16 B．18 C．24 D．26知识点03等差数列前n项和的最值1、等差数列的前n项和与二次函数的关系将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得.当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略（1）将配方，若，则从二次函数的角度看：当时，Sn有最小值；当时，有最小值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值．（2）邻项变号法：当，时，满足的项数n使取最小值；当，时，满足的项数n使取最小值。【即学即练3】（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和，若，则；前项和的最小值为．题型01求等差数列的前n项和【典例1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）记为等差数列的前项和.若，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）若数列是等差数列，其前项和为，，则.【变式3】（24-25高三上·上海·阶段练习）数列中，，，则题型02与等差数列前n项公式有关的基本量计算【典例2】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（

）A． B． C．1 D．2【变式1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）在等差数列中，已知，，则等于（

）A．11 B．13 C．15 D．16【变式2】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．36 B．35 C．42 D．38【变式3】（23-24高二下·海南海口·期中）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则不错误的是（

）A． B． C． D．【变式4】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在等差数列中，若，则=.题型03等差数列的片段和性质【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为70，则它的前2m项的和为（

）A．30 B．70 C．50 D．90【变式1】（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．144 B．120 C．108 D．96【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．12【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（

）A．16 B．12 C．10 D．8【变式4】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10题型04等差数列前n项和与n的比值【典例4】（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（）A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040【变式1】（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高三上·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（

）A．10 B．100 C．110 D．120【变式4】设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．18 B．36 C．40 D．42题型05两个等差数列前n项和的比值【典例5】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的前n项和分别为，若，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【变式4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）A． B． C． D．题型06等差数列偶数项与偶数项的和【典例6】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中偶数项之和为偶数项之和为则(

)A． B． C． D．【变式1】一个等差数列共100项，其和为80，偶数项和为30，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．【变式2】已知等差数列的前30项中偶数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为偶数，且偶数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为；项数为．【变式4】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，偶数项之和为90，偶数项之和为54，则．题型07含绝对值的等差数列前n项和【典例7】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为．【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（）A．281 B．501 C．701 D．791【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，，，则数列的前n项和为．【变式3】（（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【变式4】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.题型08等差数列前n项和的最值【典例8】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）在等差数列中，，若它的前项和有最小值，则当时，的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【变式1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．C．的最小值为 D．【变式2】（24-25高二上·湖南·期中）（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．等差数列为单调递增数列B．数列是递增数列C．有最小值D．存在正整数，当时，总有【变式3】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）等差数列前n项和为，则取最小时，.【变式4】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知等差数列中，,.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和，并求的最小值.题型09等差数列前n项和的实际应用【典例9】（23-24高二下·江西·阶段练习）（多选）某公司为入职员工实行每月减薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增减100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增减50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（

）A．B．小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和C．小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍D．小王入职后第20个月的工资为4350元【变式1】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（

）A．5957 B．5958 C．5959 D．5990【变式2】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄减起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（

）A．27 B．31 C．35 D．47【变式3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）某公司为入职员工实行每月减薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增减100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增减50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（）A．B．小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和C．小王入职后第20个月的工资为4350元D．小王入职后前15个月的工资之和是35350元一、单选题1．（24-25高二上·福建·期中）已知是等差数列的前项和，若，则（

）A．168 B．196 C．200 D．2102．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（

）A．64 B．14 C．10 D．33．（24-25高三上·宁夏·期中）数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（

）A．， B．，C．， D．，4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（

）A．9 B．10 C．11 D．126．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20237．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知公差为的等差数列的前项和为，则满足对任意恒成立的一个充要条件是（

）A． B．C． D．二、多选题8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（

）A． B．C． D．9．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，，且，则（

）A．公差 B．C． D．当时，最小10．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论错误的有（

）A．数列是递增数列 B．C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为三、填空题11．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则.12．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则13．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为．四、解答题14．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知，.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.15．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在等差数列中，的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)求的最小值；(3)设，求．16．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，，(1)求；(2)当为偶数时，求数列的前项和17．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知单调递增的等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)求的前项和，并求的最小值及此时的值；(3)求使成立的的最小值.18．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．19．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和．第04讲等差数列的前n项和课程标准学习目标1.探索并掌握等差数列前n项和公式；2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，会求等差数列前n项的最值。1.经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养；2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养；3.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养.知识点01等差数列的前n项和1、等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式2、等差数列前n项和公式的推导对于公差为d的等差数列，①②由①＋②得n个＝，由此得等差数列前n项和公式，代入通项公式得.【即学即练1】（24-25高三上·江苏南京·期中）在等差数列中，，则.【答案】400【分析】根据等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】在等差数列中，.故答案为：400.知识点02等差数列的前n项和性质1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列；2、前n项和与n的比值：数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为；3、奇偶项和性质：若S奇表示偶数项的和，表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数时，，，；②当项数为偶数时，，，.4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则【即学即练2】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．16 B．18 C．24 D．26【答案】B【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得.【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列，即，即，解得..知识点03等差数列前n项和的最值1、等差数列的前n项和与二次函数的关系将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得.当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略（1）将配方，若，则从二次函数的角度看：当时，Sn有最小值；当时，有最小值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值．（2）邻项变号法：当，时，满足的项数n使取最小值；当，时，满足的项数n使取最小值。【即学即练3】（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和，若，则；前项和的最小值为．【答案】16【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最小值.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，，当时，的最小值为,故答案为：，16.题型01求等差数列的前n项和【典例1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出公差后，可列出与、有关方程组，解出即可得；（2）利用等差数列求和公式计算即可得.【详解】（1）设的公差为，则有，解得，故；（2）由题可知.【变式1】（2024高三·全国·专题练习）记为等差数列的前项和.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差数列的基本量求出公差，再根据等差数列前项和公式即可得出答案.【详解】设等差数列公差为，则，解得，所以，..【变式2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）若数列是等差数列，其前项和为，，则.【答案】【分析】根据等差数列的性质，可得，再利用前项和公式与等差中项，即可求得的值.【详解】因为数列为等差数列，所以，解得，则.故答案为：【变式3】（24-25高三上·上海·阶段练习）数列中，，，则【答案】170【分析】得到为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求出答案.【详解】，故为公差的等差数列，又，所以，.故答案为：170题型02与等差数列前n项公式有关的基本量计算【典例2】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式解方程组计算可得结果.【详解】设等差数列的公差为，根据可得，即得，解得.【变式1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）在等差数列中，已知，，则等于（

）A．11 B．13 C．15 D．16【答案】B【分析】根据等差数列通项公式和前项和表达式即可得到方程，解出即可.【详解】设等差数列的公差为，则，即，解得，则..【变式2】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．36 B．35 C．42 D．38【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，故..【变式3】（23-24高二下·海南海口·期中）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则不错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列基本量的计算解得，从而即可对选项进行逐一判断．【详解】根据题意，由，得，解得，故A错误，B错误；则，C错误；，D错误．．【变式4】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在等差数列中，若，则=.【答案】15【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解.【详解】因为，，所以，所以，故答案为：15.题型03等差数列的片段和性质【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为70，则它的前2m项的和为（

）A．30 B．70 C．50 D．90【答案】A【分析】根据等差数列前n项和分段和的性质计算即可求值.【详解】∵在等差数列中，，，也成等差数列，∴，∴，∴．故选:C.【变式1】（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．144 B．120 C．108 D．96【答案】B【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可.【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列.由于，则成等差数列.则，解得.则成等差数列．故，则..【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】A【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可.【详解】因为数列是等差数列，且，，所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，所以，所以，解得．.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解.【详解】由，得①，因为，，所以，即②，①②两式相减，得，即，所以，所以，解得..【变式4】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可.【详解】在等差数列中，，，所以，故构成公差为的等差数列，所以，即.题型04等差数列前n项和与n的比值【典例4】（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（）A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040【答案】B【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列．，，则数列的公差，首项为，，．．【变式1】（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果.【详解】，数列是以为公差的等差数列，，数列是以为公差的等差数列，..【变式2】（23-24高三上·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意判断两个条件都等价于，进而判断答案即可.【详解】设等差数列的公差为，若对，，即，若，则，即为单调递增数列，又因为，所以，所以，即，所以“对，”是“”的充要条件.【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（

）A．10 B．100 C．110 D．120【答案】B【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可.【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，则，则，又因为，所以，所以，所以..【变式4】设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．18 B．36 C．40 D．42【答案】B【分析】确定为等差数列，得到，代入数据计算得到答案.【详解】，故为等差数列，故，故，解得.题型05两个等差数列前n项和的比值【典例5】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的前n项和分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差数列的性质把代数式等价变形，即可得到，结合条件即可得到结果.【详解】由等差数列性质得，，由得，..【变式1】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解即可.【详解】解：因为，即，所以．.【变式2】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得.【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得，.【变式3】（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】等差数列的前项和公式，.根据等差数列的性质，若，则，对于本题，我们可以利用时与的关系以及与的关系来求解.【详解】根据等差数列前项和公式，当时，.由等差数列性质，所以.同理，对于数列，当时，.又因为，所以.已知，当时，.而，所以..【变式4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案.【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足，所以，又，故，题型06等差数列偶数项与偶数项的和【典例6】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中偶数项之和为偶数项之和为则(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的偶数项、偶数项分别成等差数列，故偶数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可.【详解】项数为的中偶数项共有项,其和为项数为的中偶数项共有项,其和为所以解得故选:A.【变式1】一个等差数列共100项，其和为80，偶数项和为30，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知：数列的偶数项之和为，①偶数项之和为，②由②-①，得，所以，即该数列的公差为..【变式2】已知等差数列的前30项中偶数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，首项为，则，所以，因为，即，则，等差数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中偶数项有15项，所以，得，所以.【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为偶数，且偶数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为；项数为．【答案】【分析】根据偶数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项.【详解】设等差数列的项数为，则，，，解得：，即等差数列的项数为；项的数列的中间项为第项，即，由得：，解得：，即中间项为.故答案为：；.【变式4】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，偶数项之和为90，偶数项之和为54，则．【答案】10【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.【详解】偶数项有项，偶数项有项，所以偶数项和为，偶数项和为，故，解得.故答案为：10题型07含绝对值的等差数列前n项和【典例7】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为．【答案】218【分析】根据题意，列式求出的通项公式，判断当时，，当时，，列式求出数列的前20项和为.【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，，可得当时，，当时，，设数列的前20项和为，则.故答案为：218.【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（）A．281 B．501 C．701 D．791【答案】A【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出.【详解】等差数列中,由,得公差,则,显然当时,,当时,,所以【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，，，则数列的前n项和为．【答案】【分析】利用已知易求得数列的通项公式，令，可得，分类讨论可求的前项和公式.【详解】等差数列的公差为，故通项公式为．令，即，解得，设，分别表示数列与数列的前n项和，则．当时，；当时，．由，得．故.故答案为：.【变式3】（（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，进而求得数列的通项公式；（2）由（1），利用等差数列的求和公式，求得,令，得到时，，时，，根据，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，可得，所以，又因为，所以，所以，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，，可得,令，即，解得，所以，当时，；当时，，因为，且数列的前项和，当时，；当时，，综上可得，数列的前项和.【变式4】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.【详解】（1）设数列的公差为，∵，∴，∵，∴

，∴公差为，∴，∴；（2）由已知，时，；时，；综上.题型08等差数列前n项和的最值【典例8】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）在等差数列中，，若它的前项和有最小值，则当时，的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】利用等差数列的前项和公式的类二次函数性质，得到，进而判断出，，再利用等差数列的性质与前项和公式得到与，进而判断出的最小值为11.【详解】因为数列为等差数列，设公差为，因为有最小值，故，即，又，即一正一负，而，所以，，又由得，故所以，，则，，则当时，的最小值为..【变式1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．C．的最小值为 D．【答案】A【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可.【详解】由题意，，，则，故B错误；数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误；由于时，，时，，所以的最小值为，故C错误；，故D错误..【变式2】（24-25高二上·湖南·期中）（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．等差数列为单调递增数列B．数列是递增数列C．有最小值D．存在正整数，当时，总有【答案】BCD【分析】推导出，利用等差数列的单调性可判断A选项；令，可判断B选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项.【详解】设等差数列的公差为，则，对于A选项，，则等差数列为单调递增数列，A对；对于B选项，不妨取，则,此时，数列不单调，B错；对于C选项，若，则对任意的，，则，所以，数列为单调递增数列，则的最小值为；若，由，可得，不妨取（其中为不超过的最小整数），则当时，，当时，，此时，为的最小项，综上所述，的最小值，C对；对于D选项，若，不妨取，则当时，，即；若，由，可得，取，当时，，所以，存在正整数，当时，总有，D对.CD.【变式3】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）等差数列前n项和为，则取最小时，.【答案】【分析】求出，并得到，且取等条件恰为，即得答案.【详解】由于，故，从而.任意正整数显然都满足或，故.等号当且仅当时成立，所以恰在时最小.故答案为：【变式4】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知等差数列中，,.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和，并求的最小值.【答案】(1)(2)，的最小值为.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解；（2）利用等差的求和公式得到，结合二次函数性质求其最小值.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，所以；（2）由（1），，所以当或时，取最小值，最小值为.所以，的最小值为.题型09等差数列前n项和的实际应用【典例9】（23-24高二下·江西·阶段练习）（多选）某公司为入职员工实行每月减薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增减100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增减50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（

）A．B．小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和C．小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍D．小王入职后第20个月的工资为4350元【答案】BBD【分析】根据等差数列的定义、通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】A：小王前3个月的工资之和为，解得，故A错误；B：记小王入职第n个月工资为，则时，是等差数列，因为，所以，故B错误；C：当时，是公差为100的等差数列，当时，是公差为50的等差数列，则，，所以，故C错误；D：小王入职后第13个月的工资为，第20个月的工资为，D错误．BD．【变式1】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（

）A．5957 B．5958 C．5959 D．5990【答案】C【分析】根据给定条件，求出第n次报完后共报数的个数，解不等式求出的最小值，并求出对应的最小数即可得解.【详解】依题意，A第n次报数的个数为：，则A第n次报完数后共报的个数为：，由，即，解得n的最小值为37，得，而A第37次报时，3人总共报了次，当A第109次报完数，3人总的报数个数为：，因此A报出的第2035个数字为5995，所以A报出的第2000个数字为：，【变式2】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄减起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（

）A．27 B．31 C．35 D．47【答案】A【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可.【详解】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为，则，解得，所以该问题中老人长子的岁数为35.【变式3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）某公司为入职员工实行每月减薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增减100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增减50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（）A．B．小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和C．小王入职后第20个月的工资为4350元D．小王入职后前15个月的工资之和是35350元【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用等差数列的定义、通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】小王入职后各月工资依次排成一列，构成数列对于A，小王前3个月的工资之和为，解得，A错误；对于B，当时，是等差数列，首项，公差为100，当时，是等差数列，，公差为50，，B错误；对于C，小王入职后第13个月的工资为，第20个月的工资为，C错误；对于D，小王入职后前15个月的工资之和，D错误.CD一、单选题1．（24-25高二上·福建·期中）已知是等差数列的前项和，若，则（

）A．168 B．196 C．200 D．210【答案】B【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可.【详解】因为数列是等差数列，所以..2．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（

）A．64 B．14 C．10 D．3【答案】A【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得.【详解】由等差数列前项和公式，可知：，所以，由等差数列的性质“当时，”可知：，所以..3．（24-25高三上·宁夏·期中）数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用等差数列的性质与求和公式的性质计算即可.【详解】设该等差数列的公差为d，则，则，.4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，则，数列是公差为的等差数列，，解得：，..5．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【分析】分别设出为和的形式，由此求得，即可化简后得到结果.【详解】由等差数列和等比数列的前项和分别为和，当等比数列的公比时，，显然不合题意；所以，等比数列为常数列，所以可设，，，所以可得，故C错误..6．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得.【详解】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，由二次函数的对称性及，，得，解得，所以正整数k为2023．7．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知公差为的等差数列的前项和为，则满足对任意恒成立的一个充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用等差数列的前项和与的关系，结合充要条件的定义对选项逐一分析即可.【详解】，所以C是的充要条件，A是的充分不必要条件，BD是既不充分也不必要条件..二、多选题8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BBD【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可一一判定选项.【详解】由，得，故A、B错误；因为，所以公差.故C错误，D错误.BD9．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，，且，则（

）A．公差 B．C． D．当时，最小【答案】BCD【分析】结合可得，进而判断ABC；分析可得时，；时，，进而判断D.【详解】设等差数列的公差为，由，得，则，则，故A错误；，故B错误；，故C错误；由于，，则时，；时，，所以当时，最小，故D错误.CD.10．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论错误的有（

）A．数列是递增数列 B．C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为【答案】BCD【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A错误；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C错误；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D错误；【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A错误；对于B，若，则，，所以