(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章拓展提升02求数列的通项公式(学生版+解析)

拓展提升02求数列的通项公式1.归纳法由数列的前几项求数列的通项公式①各项的符号特征，通过或来调节正负项．②考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．③相邻项(或其绝对值)的变化特征．④拆项、添项后的特征．⑤通过通分等方法变化后，观察是否有规律．2.累减法累减法适用于an＋1－an＝f(n)或an－an-1＝f(n)型，其解题恒等式为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解3.累除法累除法适用于或型，通常利用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1，求出通项an.4.已知Sn=f(n)求an已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式．5.已知Sn与an的关系求an根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.6.用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.7.倒数法形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.题型01归纳法【典例1】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【变式3】（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（

）A． B．C． D．【变式4】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（

）A． B． C． D．题型02累减法【典例2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知数列，满足，则；若数列的前项和为，且，则.【变式1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则．【变式2】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是【变式3】（24-25高二上·河南信阳·阶段练习）已知数列满足，且，，其前项和为，若对任意的正整数，恒成立，则的取值范围是.【变式4】（24-25高二上·福建·期中）已知数列满足，，.记.(1)证明：数列是等比数列.(2)求的通项公式.题型03累除法【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，求数列的通项公式．【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）（1）对于任意数列，等式：都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：，，求通项；（2）若数列中各项均不为零，则有成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：，求通项.【变式2】（23-24高二下·福建厦门·期末）设为正项等比数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，，求的前项和.题型04已知Sn=f(n)求an【典例4】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（

）A．12 B．15 C．18 D．21【变式2】（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为.【变式4】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设数列的前项和是，如果它的前项和，那么【变式5】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）在数列中，，且，则题型05已知an与Sn的递推式求通项【典例5】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（

）A．8 B．4 C． D．【变式1】（2024高二·全国·专题练习）数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，则的通项公式为．【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和，且，则数列的通项公式为．【变式4】（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）设数列的前项和为，，，，则.【变式5】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足．(1)求的通项公式：(2)若，求数列的前n项和．题型06构造法角度1构造等比数列【典例6】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（

）A． B． C． D．【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为.【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为.【变式3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为.角度2构造等差数列【典例7】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为．【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为．【变式3】（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知数列满足：．若，则数列的前项和.角度3倒数构造【典例8】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（

）A． B． C． D．100【变式2】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（

）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021拓展提升02求数列的通项公式1.归纳法由数列的前几项求数列的通项公式①各项的符号特征，通过或来调节正负项．②考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．③相邻项(或其绝对值)的变化特征．④拆项、添项后的特征．⑤通过通分等方法变化后，观察是否有规律．2.累减法累减法适用于an＋1－an＝f(n)或an－an-1＝f(n)型，其解题恒等式为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解3.累除法累除法适用于或型，通常利用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1，求出通项an.4.已知Sn=f(n)求an已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式．5.已知Sn与an的关系求an根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.6.用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.7.倒数法形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.题型01归纳法【典例1】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数列的规律及通项可得数列的项.【详解】由已知数列，，，，，…，，…，即，，，，，…，，…，则数列的第项为，第项为，.【变式1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由数列中每一项的特点可分析得到通项公式的结构.【详解】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为，且每项为，故数列的一个通项公式为..【变式2】（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过规律即可求解.【详解】由，可得的一个通项公式为..【变式3】（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式.【详解】由题数列的前5项可改写为，其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的偶数，故数列的通项公式为..【变式4】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，分析可得数列的前四项与的关系，综合即可得答案．【详解】根据题意，数列的前四项依次是：4，44，444，4444，则有，，，，则数列的通项公式可以是，．题型02累减法【典例2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知数列，满足，则；若数列的前项和为，且，则.【答案】【分析】利用累减法求解即可得出；先求出，进而得到，分组求和得到.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，，，当时也适合上式，所以.由，因为，所以，解得当时，当时，当时，所以所以故答案为：；.【变式1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则．【答案】8【分析】利用递推公式累减即可求解.【详解】由题意可得，所以，，……，，累减得，所以，故答案为：8【变式2】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是【答案】【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累除法即可得解.【详解】由，则，即，又，则，故数列是以为首项，为公差的等差数列，即，则有，，，，且，故，即，显然均满足.故答案为：.【变式3】（24-25高二上·河南信阳·阶段练习）已知数列满足，且，，其前项和为，若对任意的正整数，恒成立，则的取值范围是.【答案】【分析】由已知可证数列为等比数列，结合等比数列通项公式及累减法可得，再利用分组求和可得，即可将不等式转化为，分离参数，结合数列的单调性可得最值及参数范围.【详解】由已知，则，则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，，，所以，则，则，又恒成立，即，即，，又，，单调递减，则当时，取得最小值为，即，，即，故答案为：.【变式4】（24-25高二上·福建·期中）已知数列满足，，.记.(1)证明：数列是等比数列.(2)求的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由递推关系式结合等比数列的定义即可得证；（2）由等比数列求和公式以及累减法即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，所以.因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以，，，…，，累减可得.因为，所以,因为不符合上式，所以.题型03累除法【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，求数列的通项公式．【答案】【分析】利用累除法求解即可.【详解】解：因为，所以当时，，所以，以上个式子相除得，即，所以．当时，，也与已知相符，所以数列的通项公式为．【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）（1）对于任意数列，等式：都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：，，求通项；（2）若数列中各项均不为零，则有成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：，求通项.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用累减法的思想求通项公式；（2）利用累除法的思想求通项公式.【详解】（1）当时，＝＝＝,也不符合上式，所以数列的通项公式是.（2）当时，,也不符合上式，所以数列的通项公式是.【变式2】（23-24高二下·福建厦门·期末）设为正项等比数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比数列的性质，列出关于的方程，即可求解.（2）先利用累除法求出的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和.【详解】（1）因为是正项等比数列，所以，公比.因为，所以，则，即，则，得（舍）或，又因为，所以，所以的通项公式为.（2）依题意得，当时，，即.因为，所以，当时，不符合上式，所以的通项公式为.因为，所以.题型04已知Sn=f(n)求an【典例4】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可.【详解】当时，；当时，，经验证，不不符合上式，所以故选：.【变式1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（

）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【分析】利用即可求得的值.【详解】因为数列的前项和，所以..【变式2】（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前和公式，即可求解.【详解】因为①，当时，②，由①②得，又，满足，所以，由，得到，所以，.【变式3】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为.【答案】【分析】利用前项和与第项的关系，分段求解即可.【详解】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为.故答案为：【变式4】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设数列的前项和是，如果它的前项和，那么【答案】【分析】利用与的关系式求通项即可.【详解】当时，，当时，，所以，所以，所以.故答案为：.【变式5】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）在数列中，，且，则【答案】【分析】由化简可证数列为等差数列，即可得，再利用退一相减法可得.【详解】由，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列，即，所以，当时，，，当时，满足上式，综上所述，故答案为：.题型05已知an与Sn的递推式求通项【典例5】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（

）A．8 B．4 C． D．【答案】C【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.【详解】当时，，∴，当时，，则，∴，即数列是首项，公比的等比数列，即，∴.【变式1】（2024高二·全国·专题练习）数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用退位相减法可得数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列，故可求，或者利用结论可求.【详解】方法一：已知，则当时，，两式作差，得，即，也即数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列，从而．由于，则于是．方法二：因为，所以，根据左栏结论我们可以知道数列从第二项开始是以为公比的等比数列，则．.【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，则的通项公式为．【答案】【分析】利用来求得错误答案.【详解】由题设得，所以，化简得，所以数列是首项，公比为的等比数列，所以，当时，依然成立，所以．故答案为：【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和，且，则数列的通项公式为．【答案】【分析】借助与的关系计算即可得.【详解】因为①，则当时，②，①②得，则，当时，，不符合上式，故.故答案为：.【变式4】（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）设数列的前项和为，，，，则.【答案】【分析】根据题意，由与的关系可得，从而求出即可.【详解】因为，当时，，两式相减可得，即，所以，又，所以，所以，所以，且也不符合上式，所以，故答案为：【变式5】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足．(1)求的通项公式：(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，求出，当时，判断出数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结果；（2）将（1）中的通项公式代入，根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）当时，，解得，当时，，则，化简得，所以是以首项为，公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，则，①，②，①②得，所以.题型06构造法角度1构造等比数列【典例6】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】给两边同时减一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可.【详解】设，即，所以，解得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以．.【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为.【答案】【分析】给两边同时减一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可.【详解】设，即，所以，解得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以．故答案为：【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为.【答案】【分析】借助待定系数法构造等比数列后可得数列为等比数列，结合等比数列性质即可得解.【详解】令，则，由条件得，解得，即，故数列是首项为，公比为4的等比数列，从而，故.故答案为：.【变式3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为.【答案】【分析】利用构造法分析得数列是等比数列，进而求得，从而将问题转化为恒成立，令，分析数列的最值，从而得解.【详解】由，得，又，故数列为首项为，公比为的等比数列，所以，则不等式可化为，令，当时，；当时，；又，则当时，，当时，，所以，则，即实数的最小值为.故答案为：.角度2构造等差数列【典例7】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是【答案】【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累除法即可得解.【详解】由，则，即，又，则，故数列是以为首项，为公差的等差数列，即，则有，，，，且，故，即，显然均满足.故答案为：.【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为．【答案】【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解.【详解】将两边同时除以，得，即