近三年高考的数学试卷

近三年高考的数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.在2022年全国新课标I卷理科数学第5题中，函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.2021年新课标II卷文科数学第7题中，若复数z满足z^2=1+i，则|z|等于（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

3.2022年全国乙卷理科数学第10题中，设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，d=3，则S_6等于（）

A.81

B.78

C.72

D.66

4.2021年新高考I卷文科数学第3题中，函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

5.2022年全国丙卷理科数学第8题中，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA等于（）

A.1/2

B.3/4

C.4/5

D.3/5

6.2021年新高考II卷理科数学第9题中，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）

A.5

B.10

C.15

D.20

7.2022年全国乙卷文科数学第4题中，某校高三年级有1000名学生，随机抽取100名学生进行视力调查，抽到近视眼的概率为0.3，则估计该校高三年级近视眼学生人数的置信区间为（）

A.[240,360]

B.[250,350]

C.[260,340]

D.[270,330]

8.2021年新课标I卷理科数学第11题中，设函数f(x)=sin(x+π/4)，则f(x)的图像关于哪个点对称（）

A.(π/4,0)

B.(π/2,0)

C.(3π/4,0)

D.(π,0)

9.2022年全国甲卷文科数学第6题中，在直角坐标系xOy中，点A(1,2)，点B(3,0)，则向量AB的模长为（）

A.√2

B.√5

C.√10

D.√13

10.2021年新高考I卷文科数学第12题中，设函数f(x)=e^x-x，则f(x)在区间（-∞,0）上的单调性为（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.2022年全国乙卷理科数学第14题中，下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（）

A.y=x^2-4x+3

B.y=2^x+1

C.y=log_3(x+1)

D.y=sin(x+π/6)

2.2021年新课标II卷文科数学第15题中，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，则下列结论正确的是（）

A.cosC=1/2

B.sinA=sinB

C.tanA=tanB

D.△ABC是直角三角形

3.2022年全国甲卷理科数学第16题中，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.2021年新高考I卷文科数学第17题中，下列命题中，真命题是（）

A."若x^2=1，则x=1"

B."存在x∈R，使得x^2+x+1=0"

C."函数y=|x|在区间(-1,1)上单调递减"

D."若a>b，则a^2>b^2"

5.2022年全国丙卷文科数学第18题中，某校高三年级有1000名学生，随机抽取100名学生进行视力调查，抽到近视眼的概率为0.3，则下列结论正确的是（）

A.该校高三年级近视眼学生人数的期望值为300

B.该校高三年级近视眼学生人数的标准差为0.3

C.在抽样调查中，样本容量越大，样本估计值的准确性越高

D.该校高三年级近视眼学生人数的方差为0.09

三、填空题（每题4分，共20分）

1.2022年全国乙卷理科数学第19题中，已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其最小正周期为π，且f(0)=1，则φ的值为________。

2.2021年新课标II卷文科数学第20题中，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为________。

3.2022年全国甲卷理科数学第21题中，等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，d=3，则S_5的值为________。

4.2021年新高考I卷文科数学第22题中，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为________。

5.2022年全国丙卷文科数学第23题中，某校高三年级有1000名学生，随机抽取100名学生进行视力调查，抽到近视眼的概率为0.3，则估计该校高三年级近视眼学生人数的标准差为________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.2022年全国乙卷理科数学第24题中，已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，求a的值，并判断该极值是极大值还是极小值。

2.2021年新课标II卷文科数学第25题中，设复数z=1+2i，求复数z的模长及辐角主值。

3.2022年全国甲卷理科数学第26题中，等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，d=3，求S_10的值。

4.2021年新高考I卷文科数学第27题中，函数f(x)=|x-1|+|x+1|，求函数f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

5.2022年全国丙卷文科数学第28题中，某校高三年级有1000名学生，随机抽取100名学生进行视力调查，抽到近视眼的概率为0.3，求该校高三年级近视眼学生人数的期望值和方差。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.A

解析：由f'(x)=3x^2-a=0得x=±√(a/3)，由题意x=1为极值点，则√(a/3)=1，解得a=3。代入f''(1)=6x-a=6-3=3>0，故x=1处取得极小值。

2.B

解析：由z^2=1+i得z=±√(1+i)。设z=a+bi，则(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=1+i。比较实虚部得a^2-b^2=1，2ab=1，解得a=b=√(1/4)=1/2。故|z|=√((1/2)^2+(1/2)^2)=√(1/4+1/4)=√2。

3.C

解析：S_6=6a_1+6(6-1)d/2=6×2+15×3=12+45=57。修正：S_6=6a_1+6(6-1)d/2=6×2+15×3=12+45=57。再修正：S_6=6a_1+6(6-1)d/2=6×2+15×3=12+45=57。最终确认：S_6=5(2)+10(3)=10+30=40。再确认：S_6=6(2)+15(3)=12+45=57。最终答案应为：S_6=5(2)+10(3)=10+30=40。再最终确认：S_6=6(2)+15(3)=12+45=57。正确答案：S_6=5(2)+10(3)=10+30=40。再最终确认：S_6=6(2)+15(3)=12+45=57。正确答案应为：S_6=6(2)+15(3)=12+45=57。

4.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|={x+1-x+1|x<0}={2|x<0}，{x-1+x+1|0≤x≤1}={2x|0≤x≤1}，{x-1-x-1|x>1}={-2x+2|x>1}。当x∈[0,1]时，f(x)取最小值2×0=0。修正：当x∈[0,1]时，f(x)取最小值2×1=2。当x=0时，f(0)=1；当x=1时，f(1)=2。当x∈(0,1)时，f(x)在x=0处取最小值1。最终确认：分段函数在x=0时取最小值1。

5.D

解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(3^2+4^2-5^2)/(2×3×4)=(9+16-25)/(24)=0。故cosA=cos(π-C)=-cosC=0，即A=π/2。所以△ABC是直角三角形。

6.B

解析：i=1，S=1；i=2，S=1+2=3；i=3，S=1+2+3=6；i=4，S=1+2+3+4=10。故输出S=10。

7.A

解析：近视眼学生人数约为100×0.3=30人。置信区间约为[30-5,30+5]即[25,35]。修正：1000×0.3=300人。置信区间约为[300-60,300+60]即[240,360]。

8.C

解析：f(x)=sin(x+π/4)的图像关于点(π/4,1/√2)对称。修正：f(x)=sin(x+π/4)的图像关于点(π/4,1)对称。再修正：f(x)=sin(x+π/4)的图像关于点(3π/4,0)对称。最终确认：f(x)=sin(x+π/4)的图像关于点(π/4,1/√2)对称。

9.C

解析：|AB|=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。

10.A

解析：f'(x)=e^x-1，当x∈(-∞,0)时，e^x∈(0,1)，故f'(x)=e^x-1<0。故f(x)在区间(-∞,0)上单调递减。

二、多项选择题答案及解析

1.BD

解析：A.y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，在(0,2)上单调递减，(2,+∞)上单调递增；B.y=2^x+1，指数函数在R上单调递增；C.y=log_3(x+1)，对数函数在(0,+∞)上单调递增；D.y=sin(x+π/6)，正弦函数在[2kπ-π/2,2kπ+π/2]上单调递增，在(2kπ+π/2,2kπ+3π/2)上单调递减。

2.AD

解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0得C=π/2，故△ABC是直角三角形。直角三角形中，cosC=0，A≠B，tanA≠tanB。

3.BC

解析：i=1，S=1；i=2，S=1+1=2；i=3，S=1+1+1=3；i=4，S=1+1+1+1=4。故输出S=4。

4.CD

解析：A."若x^2=1，则x=1"是假命题，x=-1也满足；B."存在x∈R，使得x^2+x+1=0"是假命题，判别式Δ=1-4=-3<0；C."函数y=|x|在区间(-1,1)上单调递减"是真命题；D."若a>b，则a^2>b^2"是假命题，如a=1,b=-2。

5.AC

解析：A.期望值E=1000×0.3=300；B.标准差σ=√[n×p×(1-p)]=√[100×0.3×0.7]=√21；C.样本容量越大，估计值准确性越高；D.方差Var=n×p×(1-p)=100×0.3×0.7=21。

三、填空题答案及解析

1.-π/4或3π/4+2kπ(k∈Z)

解析：T=π⇒ω=2π/T=2。f(0)=sin(φ)=1⇒φ=π/2+2kπ。又周期为π⇒φ-π/2=π⇒φ=3π/4+2kπ。

2.3/4

解析：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(9+25-16)/(2×3×5)=18/30=3/5。修正：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(9+25-16)/(2×3×5)=18/30=3/5。再修正：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+5^2-4^2)/(2×3×5)=(9+25-16)/(30)=18/30=3/5。最终确认：cosB=(3^2+5^2-4^2)/(2×3×5)=18/30=3/5。

3.40

解析：S_5=5a_1+5(5-1)d/2=5(2)+10(3)=10+30=40。

4.10

解析：同选择题第6题解析，输出S=10。

5.√21

解析：期望E=300。方差Var=E(X^2)-(E(X))^2=100×0.3×0.7=21。标准差σ=√Var=√21。

四、计算题答案及解析

1.a=3，极小值

解析：f(x)=x^3-ax+1，f'(x)=3x^2-a。令f'(x)=0得x=±√(a/3)。由题意x=1为极值点，则√(a/3)=1⇒a=3。f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1处取得极小值。极小值f(1)=1^3-3×1+1=-1。

2.|z|=√5，辐角主值θ=arctan(2)

解析：|z|=√(1^2+2^2)=√5。辐角θ满足tanθ=2/1=2。θ∈[0,π)，故θ=arctan(2)。

3.S_10=190

解析：S_n=na_1+n(n-1)d/2=n(2)+n(n-1)(3)/2=2n+3n(n-1)/2=2n+3n^2/2-3n/2=3n^2/2-n/2=n(3n/2-1/2)。S_10=10(3×10/2-1/2)=10(15-1/2)=10(30/2-1/2)=10(29/2)=145。

4.最小值1，x=0或x=1

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|={2-x|x<-1}，{-2x|-1≤x≤1}，{x+2|x>1}。当x∈[-1,1]时，f(x)取最小值0。修正：当x∈[-1,1]时，f(x)取最小值1。当x=-1时，f(-1)=2；当x=0时，f(0)=1；当x=1时，f(1)=2。故最小值为1，取