专题三 导数专题归纳总结及测试（解析版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

专题三导数专题归纳总结及测试一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。1．（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解析】由已知得，令，得，当时，单调递减，当或时，单调递增，所以的极小值为，解得.故选：A.2．（2025·重庆·三模）若函数在上有零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，对函数求导得.所以函数在上单调递减.因为在上有零点，所以.即：，.求解得：.故选：A.3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】因为，所以，所以由题意得，所以切点，所以.故选：C4．（2025·河南·三模）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则，当时，，因为在上只有一个极大值点，则，解得，因为，故正整数的最大值为.故选：D.5．（2025·安徽滁州·二模）已知函数，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，该函数的定义域为，，由可得或，由可得，且当时，，当时，.所以，函数的单调递减区间为、，增区间为，作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数的增区间为、，减区间为，因为，则，因为，即，接下来比较与的大小，作差得，所以，，因此，.故选：D.6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得：，构造函数，易知在上单调递增，所以可得在时恒成立，即，令，则，令，可得：，当时，，当时，，也即在单调递增，在单调递减，当时，取得最大值，所以，所以实数的取值范围是，故选：D7．（2025·河南·三模）若，都有，则a的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设，，即，令且，则，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，当，此时，则，不合题设，故，所以，而在上单调递增，则，问题化为，在上恒成立，令且，则，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以，故.故选：D8．（2025·江西·二模）已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令f(x)=0，得即令则(1-e)t-1=0，令则令在区间(ln(e-1)，+∞)上单调递增；令在区间上单调递减，又1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1.当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于的图象与直线y=0和y=1共有2个交点.令p(x)=lnx+ax，则则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y=ax+lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意.当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切.如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为则相应切线方程为如图2，当y=1-ax与y=lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为则综上故选：D.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（2025·山东威海·模拟预测）设函数，则（

）A．有3个零点B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条C．与交点的横坐标之和为0D．在区间上的取值范围是【答案】BC【解析】，00单调增单调减单调增，所以有2个零点，A不正确；对于选项B：设切点为，则切线方程为，代入原点，得，故切线有且仅有一条，正确；对于选项C：或，若，根据对称性知，根之和为0，若，方程只有一个根为0，故正确；对于选项D：，又，故在区间上的取值范围是，错误.故选：BC.10．（2025·广东珠海·模拟预测）对于以下结论正确的选项是（

）A．已知，则B．的最小值是C．有两个零点，则实数的最小值为D．若不等式恒成立，则正实数的最小值为【答案】AD【解析】对于A，因为，构造函数，，当时，，是单调递增函数，又因为，则，故A正确；对于B，，当且仅当，即时取等，故B不正确；对于C，已知，令，单调递增，方程有两个根，等价于有两个根.对求导，.当且时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得最小值.要使与有两个交点，那么.故C不正确.对于D，由，两边同乘得，而.令，求导，因为，所以，在单调递增.因为，所以，即恒成立.令，求导.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在处取得最大值，则.所以最小值是.故D正确.故选：AD.11．（2025·山东滨州·二模）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】对于A，令，则，故时，，单调递增；时，，单调递减，所以，且时，因为直线与曲线相交于两点，所以与图象有2个交点，如图：所以，故A正确；对于B，，不妨设，可得，在点处的切线程分别为，则得，即，因为，所以，即是变化的，故B错误；对于C，因为，所以，因为为两切线的交点，所以，即，所以，所以，所以，故C正确；对于D，因为，所以，又因为，，所以，，所以，得，即，因为①，所以，所以，故D正确.其中不等式①的证明如下：不妨令，由得，即，令，则即证，构造函数，，所以在上单调递减，所以，所以不等式成立，即①成立.故选：ACD填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是．【答案】4【解析】因为，所以，，所以函数为奇函数且为增函数，.由可得，即为.因为，所以．当且仅当，时取等号．故答案为：413．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】的定义域为R，，令，若，则，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，故存在最大值，不存在最小值，舍去；若，，若，则，此时，其中，，当且时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故存在最大值，不存在最小值，舍去；若，即时，恒成立，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故存在最大值，不存在最小值，舍去；若，则或，当时，设的两根为，开口向上，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即为的最小值，故满足要求；当时，设的两根为开口向下，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当趋向于时，趋向于，不存在最小值，综上，故答案为：14．（2025·安徽·三模）已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是．【答案】【解析】由可得，当时，不满足题意，当时，方程两边同乘，得，等价于，变形可得．设函数，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为，当时，，且当趋向于时，趋向于0，由知，只需满足或，所以a的取值范围是．故答案为：解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分15．（2025·河南郑州·三模）已知函数．(1)若是函数的极值点，求a的值；(2)在（1）的条件下，若函数有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)或【解析】（1），因为是函数的极值点，所以，即，此时，由，得；由，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，是函数的极小值点，故.（2）由（1）可知有两个零点，即方程有两个解．当时，，当时，，即．设，函数零点个数为函数的图象与直线的交点个数．，，令，得或；令，得且．所以函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增．当时，；当时，；如图所示，，函数的图象与直线有两个交点，即或，即或时，函数有两个零点.16．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)设，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）定义域，，①当时，，在上单调递减，②当时，令得，令，得，令，得，所以在单调递减，在单调递增.综上：当时，在上单调递减；当时，在单调递减，在单调递增.（2）法一：要证即证，设，即，设，则，令得，令得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以成立，所以得证.法二：设，则，因为，所以，令，则，则在单调递增，因为，，所以在上存在唯一零点，当，，故，当，，故，所以在单调递减，在单调递增，则，其中，所以，所以，即得证.17．（2025·天津河北·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围；(3)若有两个零点，且，证明：．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【解析】（1）由题设，则，且，，所以曲线在处的切线方程为，即；（2）由题设，即且，令且，则，令，则，故在上单调递增，所以，当，时，，则在上单调递增，，符合；当，时，，时，所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合；综上，；（3）由，则，，且，所以，故，要证，需证，即，需证，令，即，即证，最终只需证明，令且，则，所以在上单调递增，所以，即，所以得证.18．（2025·浙江·二模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数无极值点，求实数的取值范围；(3)若为函数的极小值点，证明：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【解析】（1），，又，在点处的切线方程为：.（2）由题意知：的定义域为，若函数无极值点，在上单调，或在上恒成立；，在上恒成立，，，解得：；下面证明充分性：当时，，又，，，令，当时，，在上单调递增，又，为定义在上的偶函数，在上单调递减，，，在上单调递增，无极值点，充分性成立；综上所述：.（3）由（2）可得：当时，函数无极值点.当时，令，则，当时，，又，为定义在上的奇函数，在上单调递增，又，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，，，，，使得，在，上单调递增，在上单调递减；函数存在唯一的极小值点，且满足.下证：.令，则，令，则，在上单调递增，即，在单调递增，，即又，，又，，即，，即，，又，.19．（2025·贵州安顺·二模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围；(3)若且，有恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因为的定义域为，且，则，即切点坐标为，斜率，所以所求切线方程为.（2）由（1）可得：，当时，；当时