新课预习-3.2 双曲线（教师版）-新高二暑假衔接

3.2双曲线【划重点】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及其求法2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．3．掌握双曲线的简单几何性质.4．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.5．会判断直线与双曲线的位置关系．【知识梳理】知识点一双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.知识点二双曲线的标准方程与性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点三等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq\r(2).知识点四直线与双曲线的位置关系设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．知识点五弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).【例题详解】双曲线的定义及其应用例1(1)已知，，动点P满足（a为常数），则下列说法中错误的是（

）A．时，点P的轨迹是y轴 B．时，点P的轨迹是一条直线C．或时，点P的轨迹不存在 D．时，点P的轨迹是双曲线【答案】B【分析】根据双曲线定义，依次判断每个选项，时，，点P的轨迹是两条射线，错误，其他选项正确，得到答案.【详解】对选项A：时，，点P的轨迹是y轴，正确；对选项B：时，，点P的轨迹是两条射线，错误；对选项C：当时，不成立；当时，不成立，点P的轨迹不存在，正确；对选项D：时，根据双曲线定义知，点P的轨迹是双曲线，正确.故选：B(2)平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线【答案】B【分析】直接分析即可得结果.【详解】如图：设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，则若在线段（不包含两端点）上，有；若在直线外，有；若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），则有.故选：B(3)双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A．1或21 B．14或36 C．2 D．21【答案】D【分析】利用双曲线定义得到，求出或，舍去不合要求的情况，得到答案.【详解】设双曲线的左右焦点分别为，不妨设，根据双曲线的定义知|，所以或，而，，双曲线右支上一点，，则，则点到右焦点的距离为，当时，取得最小值，最小值为2，故不成立，舍去，满足要求，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选：D跟踪训练1(1)在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．抛物线C．双曲线 D．双曲线的一支【答案】D【分析】由双曲线的定义可得答案.【详解】因为，，所以，若动点Р满足，则动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线.而题目中动点Р只满足，有，所以动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支.故选：D(2)已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为．【答案】9【分析】求出双曲线的a,b,c，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，得到所求距离．【详解】双曲线中，，，设双曲线的左右焦点为，可设，若P在双曲线左支上，则；若P在双曲线右支上，则有，所以在双曲线左支上，因为，所以到另一个焦点的距离为9．故答案为：9二、双曲线的简单几何性质例2(1)（多选）关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（

）A．实轴长相等 B．离心率相等C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等【答案】ABD【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可【详解】双曲线中，实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为，所以离心率，渐近线方程为，不妨取即，所以焦点到渐近线的距离为，双曲线中实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为，所以离心率，渐近线方程为，不妨取即，所以焦点到渐近线的距离为，综上，两条双曲线只有焦距相等，故选：ABD(2)求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．【分析】将双曲线方程化为标准方程，确定焦点所在位置，求出，即可求出实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程.【详解】=1\*GB3①解：将双曲线化为标准方程，则焦点在轴上，且，即，所以实轴长为，虚轴长为，顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线方程为；=2\*GB3②解：将双曲线化为标准方程，则焦点在轴上，且，即，所以实轴长为，虚轴长为，顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线方程为；=3\*GB3③解：将双曲线化为标准方程，则焦点在轴上，且，即，所以实轴长为，虚轴长为，顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线方程为；=4\*GB3④解：由双曲线，得焦点在轴上，且，即，所以实轴长为，虚轴长为，顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线方程为；跟踪训练2(1)（多选）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为2B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m=6C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m=2D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m【答案】BC【分析】直接根据双曲线的性质逐一判断即可.【详解】双曲线C：1中实轴长为4，故A错误；由于（4，0）是双曲线C的一个焦点，即，所以，解得，故B正确；双曲线C：的渐近线为，所以，得，故C正确；双曲线C的焦点到渐近线的距离为，故D错误；故选：BC.(2)求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程．【答案】（2）实轴长为，虚轴长为，焦点坐标为，渐近线方程为.【分析】（2）将双曲线方程化为标准方程，求出，即可得出答案.【详解】（2）由双曲线，得，则焦点在轴上，，所以实轴长为，虚轴长为，焦点坐标为，渐近线方程为.三、求双曲线的标准方程例3(1)以直线为渐近线，一个焦点坐标为的双曲线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据焦点坐标可知双曲线的焦点在轴上，根据渐近线方程可设双曲线方程为，再根据焦点坐标可得答案.【详解】因为一个焦点坐标为，所以双曲线的焦点在轴上，因为渐近线方程为，所以可设双曲线方程为，即，故，解得，所以双曲线的方程为.故选：D.

(2)在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为6，即可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的标准方程为；易得椭圆焦点坐标为，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，由双曲线虚轴长为6可知，所以；所以，双曲线的标准方程为.故选：B.(3)根据下列条件，求双曲线的标准方程：=1\*GB3①以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；=2\*GB3②经过点和．【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②【分析】=1\*GB3①根据题意首先确定其焦点坐标为，设出标准方程将带入即可求得结果；=2\*GB3②设双曲线方程的一般形式为，将两点代入解方程即可求得其标准方程为.【详解】=1\*GB3①易知椭圆短轴的两个端点坐标为；所以双曲线焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，且，点在双曲线上，即，解得；所以双曲线的标准方程为.=2\*GB3②设双曲线方程为，将两点代入可得，解得；所以双曲线的标准方程为.跟踪训练3(1)顶点距离为6，渐近线方程是的双曲线方程是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】当焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，列出方程组求得；当焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，列出方程组求得，即可求解.【详解】解：当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为.故选：A.(2)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、椭圆的半焦距，再列式求出作答.【详解】由椭圆得其半焦距为，依题意，，双曲线的渐近线方程为，于是，即，由，解得，所以双曲线C的方程为.故选：A四、与双曲线有关的轨迹问题例4(1)若动点满足关系式，则点的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支【答案】D【分析】设，.由已知可得，根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】设，，则.则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支.故选：D.(2)动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先设，半径为，根据动圆与圆，都外切得到，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.【详解】圆：，圆心，半径.圆：，圆心，半径.设，半径为，因为动圆与圆，都外切，所以，所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支.所以，，解得，即的轨迹方程为：.故选：D(3)已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程.【答案】当时，轨迹是直线，轨迹方程为：；当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为；当时，轨迹是射线，轨迹方程为；当时，点不存在.【分析】分，，和，由分别求轨迹方程即可.【详解】当时，易知，即点在的垂直平分线上，故P点的轨迹是直线，轨迹方程为：；当时，由，知P点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，又知，故轨迹方程为；当时，由知P点的轨迹是射线，轨迹方程为；当时，显然满足的点不存在.综上：当时，轨迹是直线，轨迹方程为：；当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为；当时，轨迹是射线，轨迹方程为；当时，点不存在.跟踪训练4求下列动圆的圆心的轨迹方程：(1)与圆和圆都内切；(2)与圆内切，且与圆外切；(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；（2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；（3）设根据斜率公式得到方程，整理可得.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此圆心的轨迹方程为.

（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此圆心的轨迹方程为.

（3）设，则，，根据题意有，化简得∴顶点的轨迹方程为.

五、求双曲线的离心率例5(1)点到双曲线：的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5【答案】C【分析】由双曲线的性质计算即可.【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线为：，所以到的距离为，不妨设则.故选：C(2)已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为．【答案】【分析】根据渐近线方程可得：，进而得到.【详解】因为双曲线的渐近线为，所以，则，故答案为：.跟踪训练5(1)已知双曲线：的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据点到直线距离公式可得，然后可得.【详解】由题可知，点到直线为，所以所以，所以双曲线的离心率故选：A(2)已知，是双曲线的左，右焦点，点在上，垂直于轴，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，设，根据已知可得，.结合双曲线的定义即可求得与的关系，进而求得离心率.【详解】由已知可得，中，.设，则，.根据双曲线的定义可知，，即，，.所以，，.故选：B.六、直线与双曲线的位置关系例6(1)直线与双曲线的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【答案】B【详解】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案.【解答过程】由得

整理得，；所以，故直线和双曲线只有一个交点；又双曲线的渐近线方程为：与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.所以直线和双曲线的位置关系为相交．故选：B(2)过点作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【分析】作图分析，判断点P在双曲线的外部，则符合条件的直线有和渐近线平行的直线还有切线，由此可得答案.【详解】如图示，双曲线的渐近线为，点在双曲线外部，则过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线，包括两条和渐近线平行的直线，还有两条和双曲线相切的直线，因此过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线有4条，故选：D.(3)过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长．【答案】【分析】利用公式计算可得；【详解】解：双曲线中，，，所以，利用公式，代入得．(4)已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围．【答案】或【分析】联立双曲线与直线方程得到关于的一元二次方程，再利用根的分布得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】依题意，联立方程，消去，得，设直线与双曲线的右支的两个交点为，

则，解得或，所以或.跟踪训练6(1)（多选）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【分析】把代入双曲线方程，由方程有两解求出a的范围作答.【详解】把代入双曲线，得，依题意，关于y的方程有两个不等实根，则，解得或，选项AB不满足，CD满足.故选：CD(2)已知F1（－5，0），F2（5，0）是双曲线C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=，则C的方程为.【答案】【分析】由题意，设双曲线，然后根据题意列出关于的方程组，求出，从而可求出C的方程.【详解】由题意，设双曲线，根据题意得，解得因此，所求的双曲线方程为.故答案为：(3)已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为(=1\*romani)求C的标准方程；(=2\*romanii)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求【答案】(=1\*romani)；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)由条件设双曲线的方程为，根据条件列方程求即可；(=2\*romanii)联立方程组，求出交点坐标，利用两点距离公式求【详解】(=1\*romani)因为焦点在x轴上，故设C的标准方程为双曲线的焦距为10，，的一条渐近线为，，又，联立上式解得，，故所求方程为(=2\*romanii)由(1)的右顶点为，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为联立消去变量y可得，，解得或则A，B两点的坐标分别为，故【课堂巩固】1．在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程即可．【详解】在双曲线的标准方程中，，当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是；当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是.所以双曲线标准方程是或.故选：D2．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程.【详解】，，又动点满足，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，则有，动点的轨迹方程为．故选：A．3．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意求出的值，再根据双曲线的渐近线方程求解即可.【详解】由双曲线的标准方程得，焦点在轴上，，虚轴长为，所以，所以该双曲线的渐近线方程为：，故选：C.4．已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】求出双曲线C渐近线的方程，再由垂直关系列式，求出的关系计算离心率作答.【详解】依题意，双曲线C的渐近线方程为：，依题意，，于是，双曲线C的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距，所以双曲线C的离心率.故选：A5．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直线与双曲线得一条渐近线平行可得的关系，求出双曲线的一个焦点的坐标，再根据的关系求出，即可得解.【详解】因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，即，由直线，令，得，则双曲线的一个焦点为，即半焦距，由，得，所以，所以双曲线的方程为.故选：C.6．双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为，由可知该圆的圆心为，半径为，因为双曲线的渐近线与圆相切，所以有故选：B7．过点与双曲线只有一个公共点的直线有（

）条．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】易得点在渐近线上，然后画出图象，由过点的直线与另一条渐近线平行和与双曲线相切，利用数形结合法求解.【详解】因为双曲线的方程为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，又点在直线上，如图所示：当过点的直线与直线平行或与x轴垂直（过右焦点）时，与双曲线只有一个公共点，所以这样的直线有2条．故选：B8．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的通径长公式计算．【详解】由已知，双曲线的通径长，故选：B.9．（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若是椭圆，则其长轴长为B．若，则是双曲线C．C不可能表示一个圆D．若，则上的点到焦点的最短距离为【答案】BC【分析】根据可知若为椭圆，则焦点在轴上，进而可判断A,进而可判断BC，根据椭圆的几何性质可判断D.【详解】由于，所以，对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误,对于B,当时，是双曲线，故B正确,对于C,由于，故C不可能表示一个圆，故C正确，对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误,故选:BC10．（多选）已知双曲线，则（

）A．的焦距为 B．的虚轴长是实轴长的倍C．双曲线与有相同的渐近线 D．点到的一条渐近线的距离为【答案】BCD【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴、虚半轴长，半焦距，再逐项判断作答.【详解】双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，则半焦距，对于，的焦距为，A错误；对于B，的虚轴长，实轴长，则的虚轴长是实轴长的倍，B正确；对于C，双曲线的渐近线方程为，的渐近线方程为，C正确；对于D，由选项C知，点到直线的距离为，D正确；故选：BCD11．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则a的值为．【答案】4【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件，结合两直线垂直斜率相乘为，列方程可求.【详解】由双曲线标准方程特征知，双曲线的渐近线方程为，由已知可得渐近线与直线垂直，所以，所以．故答案为：.12．双曲线C：的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为.【答案】【分析】由题可得，然后根据离心率公式结合条件即得.【详解】由双曲线的方程可得，且渐近线的方程为：，与联立可得，所以，由题意可得，解得，又，所以双曲线的离心率.故答案为：.13．已知双曲线的方程为，写出它的顶点坐标､焦点坐标､实半轴长､虚半轴长与渐近线方程．【答案】顶点坐标和，焦点坐标和，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质.【详解】双曲线的方程为化为标准方程则，，所以双曲线的顶点坐标为和，焦点坐标为和，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为14．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．(1)求C的标准方程；(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）焦点在轴上，设方程为根据题意求出即可（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可【详解】（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意得，所以，①又双曲线的一条渐近线为，所以，②又，③联立上述式子解得，，故所求方程为；（2）设，，联立，整理得，由，所以，，即15．若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据双曲线的定义和条件求解；（2）先求出和，再根据余弦定理求出与夹角，运用三角形面积公式计算.【详解】（1）令分别是左右焦点，则，得，双曲线的方程为，将点代入上式，得：，双曲线的标准方程为；（2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知：，，解得，在△中，，设与的夹角为，由余弦定理得：，；综上，双曲线的标准方程为，△的面积为.【课时作业】1．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【分析】先由双曲线方程求出，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果.【详解】双曲线中，得，则，由双曲线的定义可得，因为，所以，解得，故选：B2．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程.【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得，因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，又因为双曲线过点，可得，则，所以双曲线的标准方程为.故选：B.3．若双曲线的一个焦点是，则实数（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的焦点坐标可得答案.【详解】因为双曲线的一个焦点是，故，所以.故选：B.4．已知双曲线经过点，则其渐近线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先应用双曲线经过点求出，再根据双曲线几何性质渐近线方程解决即可.【详解】由题知双曲线经过点，所以，所以，双曲线焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A5．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．【详解】解：如图设与圆的切点分别为、、，则有，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为．故选：A．6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据渐近线方程可得，再由可求得结果.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以双曲线的离心率为，故选：B7．已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解.【详解】双曲线可得，，，所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，所以，解得.故选：B.8．“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.【详解】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足；必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.故选：B9．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为

（

）A． B．6 C． D．8【答案】C【分析】写出渐近线方程，利用直线垂直列方程求解，从而得焦点坐标与虚轴顶点坐标，可求解得三角形面积.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，由两直线垂直得，，，所以双曲线的焦点坐标为，虚轴一个顶点坐标为，故选：C10．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.【详解】由题意得，的斜率为，而的渐近线为，由于直线与双曲线没有公共交点，如图，所以，即，故，即，所以，故，即.故选：C.11．（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（

）A．离心率为2B．渐近线方程为C．实轴长为2D．右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【分析】根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案.【详解】由双曲线的方程可得，，，，所以，，，实轴长，离心率，所以A正确，C不正确，所以，渐近线方程为，所以B正确，因为右焦点为，不妨取渐近线，即，则到渐近线距离为，所以D正确.故选：ABD.12．（多选）已知双曲线，则（

）A．双曲线与圆有2个公共点B．双曲线的离心率与椭圆的离心率相同C．双曲线的渐近线斜率与双曲线的渐近线的斜率互为倒数D．双曲线与直线只有一个公共点【答案】AD【分析】根据双曲线和椭圆的离心率公式、结合双曲线的渐近线方程、一元二次方程根的判别式逐一判断即可.【详解】由已知得在双曲线C中，，，，所以双曲线C的焦点为，渐近线方程为，离心率为.A：双曲线C的顶点为，圆的圆心为，半径为1，因此双曲线与圆有2个公共点，所以本选项正确；B：椭圆的离心率为，显然双曲线的离心率与椭圆的离心率不相同，因此本选项不正确；C：双曲线的渐近线的斜率为，显然双曲线的渐近线斜率与双曲线的渐近线的斜率互为倒数是不正确的，因此本选项不正确；D：因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以双曲线与直线只有一个公共点，因此本选项说法正确，故选：AD13．（多选）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．2【答案】BD【分析】由题意可得渐近线和x轴的夹角是30°或60°，所以有或，再利用可求得离心率.【详解】∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，两渐近线关于x轴对称，∴渐近线和x轴的夹角是30°或60°.又渐近线方程为，斜率为.则或，当时，；当时，．故选：BD．14．（多选）已知双曲线：，下列结论正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的焦点到渐近线的距离为C．与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线一定没有交点D．若直线与双曲线没有交点，则的取值范围为【答案】ABD【分析】A选项，利用焦点在轴上的双曲线方程为进行求解；B选项，利用点到直线距离公式进行求解；C选项，与渐近线平行的直线与双曲线有一个焦点；D选项，直线的斜率与渐近线斜率相比较，得到的取值范围．【详解】解：对于，由双曲线：，则，，所以其渐近线方程为，故A正确；对于B，由双曲线：，则，，，其焦点坐标为，其渐近线方程为，所以一个焦点到渐近线的距离为，故B正确；对于C，与渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个交点，故C不正确；对于D，若直线与双曲线没有交点，则的斜率应该和双曲线渐近线斜率比较，则或，故D正确