2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第01讲 三角形的概念 (2个知识点+4个题型+思维导图+过关测) (教师版)

第01讲三角形的概念

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：4大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

【知识点1三角形的概念】

1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.

2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成

的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C

是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角.

3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，

c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c

表示.

【知识点2三角形的分类】

三边都不相等的三角形

按边分类：三角形底边和腰不相等的三角形

1.等腰三角形

等边三角形

剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；

②三边都相等的三角形叫作等边三角形；

③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形；

④可以用画图的方式表示（如右图）

【题型1判断是否为三角形】

【例1】观察下列图形，其中是三角形的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此

即可解答．

【详解】

解：图形中是三角形的是

故选：B．

【变式1-1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三

角形”是解题关键．

【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，

故选：C．

【变式1-2】如图，下列图形中是三角形的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形．

【详解】解：依题意，只有（1）是三角形，

故选：A．

【题型2判断三角形的基本元素】

【例2】如图，中，与的夹角是，的对边是，，的公共边

是△．𝐴�𝐴��∠�∠�∠�

【答案】

【分析】根据图∠形�即可解��答．��

【详解】解：与的夹角是，的对边是，，的公共边是，

故答案为：𝐴，��，．∠�∠���∠�∠���

【点睛】本题∠主�要�考�查了��三角形的相关概念，熟练掌握相关内容是解题的关键．

【变式2-1】如图，图中三角形的个数为；以为边的三角形是，以为一个内角的

三角形是；在中，的对边是𝐴．∠�

△𝐴�∠𝐴�

【答案】，，，，

【分析】此题主6要考查△了�三��角形△，�关��键是△掌�握��三角形的△相��关�概△念�．𝐴△�𝐴��

根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角

形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析．

【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形

有、、△�，��以△为�一��个内△角�的��三角△形𝐴是�△𝐴、�△��、�6；𝐴中的对边

是△𝐴�△𝐴�△𝐴�∠�△���△�𝐴△�𝐴△𝐴�∠𝐴�

故答��案为：；；；．

【变式2-2】6（1△）如𝐴图�,，△点𝐴D�在,△𝐴�内△，�写��出,△图中��所�,有△三�角𝐴形：��________________________；

（2）如图，线段是________△__�_�_和�____________的边；

（3）如图，��的△3个内角是_______△_____，三条边是____________．

△𝐴�

【答案】（1），，，；（2）；；（3），，；，，

△𝐴�△𝐴�△���△𝐴��𝐴�𝐴∠�𝐴∠𝐴�∠𝐴�𝐴𝐴

【�分�析】根据三角形的定义，三角形的边与内角，进行作答即可

【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，，，

故答案为：，，，；△𝐴�△𝐴�△���△𝐴�

（2）解：由题△意�知��，线△段𝐴�是△���和△𝐴�的边，

故答案为：，；��△�𝐴△�𝐴

（3）解：由题��意�知�，𝐴的3个内角是，，；

三条边是，，△，𝐴�∠�𝐴∠𝐴�∠𝐴�

故答案为：𝐴𝐴，��，；，，．

【点睛】本题∠考��查�了三∠�角�形�的∠定�义��，三�角�形�的�边、��内角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．

【变式2-3】如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，．

△𝐴�����𝐴��

(1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形．

(2)图中共有多少个以点E�为�顶点的三角形？用符号表示这些三角形．

【答案】(1)2个；

(2)2个；，△𝐴�△𝐴�

【分析】本△题�考��查认△识�三��角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答．

（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可；

（2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即�可�

【详解】（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，．

（2）解：以点E为顶点的�三�角形有2个，分别为，△𝐴�．△𝐴�

【题型3三角形的计数问题】△𝐴�△𝐴�

【例3】如图，以点A为顶点的三角形有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】A

【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定

义即可解答．

【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个．

故选：A△𝐴�△𝐴�△���△𝐴�

【变式3-1】如图，在中，、、相交于O点，则图中的三角形的个数是（）

△𝐴�𝐴����

A．7个B．10个C．15个D．16个

【答案】D

【分析】本题主要查了三角形的个数．根据三角形定义解答即可．

【详解】解：图中的三角形有：

△𝐴�,△𝐴�,△𝐴，�共,△1�6�个�，,△���,△𝐴�,△�𝐴,△𝐴�,△𝐴�,△

�故�选�,：△D𝐴�,△���,△���,△���,△𝐴�,△�𝐵

【变式3-2】如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有条线段，以

为顶点的角有△个�，��图中�共�有个三角�形�．�𝐴��𝐵���

【答案】

【分析】本题主1要0考查线10段数量1、0角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点A

组成角，即以为顶点的角有10个；以为顶点的角即组成对应的三角形．

【详解】解：根据�题意得，线段有�共10条线段；

��,��,��,��,��,��,��,𝐵,��,��

以为顶点的角，，，，，，，，，

三角�形有，∠𝐴�，∠𝐴�∠，𝐴�∠�，��∠𝐴，�∠𝐴�，∠�𝐴，∠�𝐵，∠���∠，𝐵�,

上述线段都△与𝐴点�A组△成𝐴交�，即△以𝐴�为△顶�点�的�角有△�10��个；△𝐴�△�𝐴△�𝐵△���△𝐵�,

以为顶点的角即组成对应的三�角形．

故答�案为：10，10，10．

【变式3-3】观察以下图形，回答问题：

（1）图②有个三角形；图③有个三角形；图④有个三角形；…猜测第七个图形中共有个

三角形．

（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有个三角形（用含n的代数式表示结论）．

【答案】35713/

【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型2�、−三1角形−个1+数2问�题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律

后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键．

（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图

形中共有13个三角形即可；

（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三

角形的个数即可．

【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，；

图③有5个三角形，；3=2×2−1

图④有7个三角形，5=2×3−1；

∴图②有3个三角形；7=图2③×有45−个1三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．

（2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形．

故答案为：3，5，7，13，．2�−1

2�−1

【题型4三角形的分类】

【例4】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判

断即可．

【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；

B、露出的角是直角，因此是直角三角形；

C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；

D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；

故选：C．

【变式4-1】用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可．

【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合

要求；

三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误，

故选：D．

【变式4-2】下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边

三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边

相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是．（请填写序号）

【答案】/

【分析】本②题④考④查②了三角形的分类，以及等腰三角形和等边三角形的关系．理解等边三角形是特殊的等腰三

角形，但等腰三角形不一定是等边三角形是解题的关键．

根据三角形的分类方法逐项判断即可；

【详解】解：①因为等边三角形是特殊的等腰三角形，应归类于等腰三角形，故原说法错误；

②等边三角形是特殊的等腰三角形，原说法正确；

③三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，按照边分类可分为三边不相等的三角形、

等腰三角形，故原说法错误；

④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，该说法正确．

综上所述：说法正确的有②④．

答案为：②④．

【变式4-3】把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．

(1)按边分类：

三边均不相等的______是不等边三角形；

两条边相等的______是等腰三角形；

三条边相等的______是等边三角形．

(2)按角分类：

都是锐角的______是锐角三角形；

有直角的______是直角三角形；

有钝角的______是钝角三角形．

【答案】(1)，，

(2)②，④⑤⑦，①③⑥⑧①

【分①析④】本⑥题考③查⑤了⑦三角②形的⑧分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是

按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形

和等边三角形．

（1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案；

（2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案．

【详解】（1）解：按边分类，由图可知：

三边均不相等的是不等边三角形，

两条边相等的②④⑤⑦是等腰三角形，

三条边相等的①③是等⑥边⑧三角形，

故答案为：①，，；

（2）解：按角②分④类⑤，⑦由图①可知③：⑥⑧①

都是锐角的是锐角三角形，

有直角的①④⑥是直角三角形，

有钝角的③⑤⑦是钝角三角形，

故答案为：②⑧，，．

①④⑥③⑤⑦②⑧

1．下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据三角形的定义：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形，即可进行解答．

【详解】

解：符合三角形概念的是，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所

组成的封闭图形是三角形，这三点称为三角形的顶点；三条线段称为三角形的边．

2．若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（）

A．表示等边三角形B．表示锐角三角形

C．�表示等腰三角形D．�表示三边都不相等的三角形

【答案】�C�

【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案．

【详解】解：三角形根据边分类如下：

不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形

故选：C．

3．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）

A．都是直角三角形B．都是钝角三角形

C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形

【答案】C

【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．

【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．

如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．

如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．

因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性

质和基本作图的方法作图．

4．我们知道一副三角板的三个内角分别是，，和，，，老师把这两块三角板叠在一起，

得到如图所示的图形，其中以为边的三9角0形°共4有5°（45°）90°60°30°

𝐴

A．4个B．5个C．3个D．2个

【答案】C

【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出

图中的三角形．

【详解】解：以为边的三角形有，，，共3个，

故选：C．𝐴△𝐴�△𝐴�△𝐴�

【点睛】本题考查了三角形的定义，解题关键是注意：题目要求找“图中以为边的三角形的个数”，而不是

找“图中三角形的个数”．𝐴

5．线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到

的三角形�个�数为（）�1�2�3���1�2�3

A．8个B．10个C．12个D．20个

【答案】B

【分析】根据题意可得，点A和其他任意两个点连接，可得到三角形，点B，，，，C中的每一个点

可与4个点组合，再除以2（去掉重复的）即可．�1�2�3

【详解】解：根据题意得：

，

5×4

故2选=：1B0．

【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点的连线围成的图形是三

角形．

6．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是．

△𝐴�����𝐴△���∠���

【答案】/

����

【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案．

【详解】解：在中，的对边是．

故答案为：．△���∠�����

7．如图，图�①�中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶

点得到图②，图②中1共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该3点与

该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有个三角形．（写出所有可能的

值）3

【答案】或

【分析】本7题考9查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键．

【详解】解：如图所示，共有两种情况：

由图可知，图③中共有或个三角形，

故答案为：或．79

8．如果依次7用9分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么，

．�1,�2,�3,�4�1=3,�2=8,�3=15

�4=

【答案】24

【分析】本题主要考查了图形类规律题，根据题意得到，即

可求解．�1=3=3×1,�2=8=4×2,�3=15=5×3

【详解】解：根据题意得：，

．�1=3=3×1,�2=8=4×2,�3=15=5×3

�故4答=案4为×：42+42=24

9．如图所示：

(1)图中有几个三角形？把它们一一说出来．

(2)写出的三个内角．

(3)含△边�的�三�角形有哪些？

【答案�】�(1)图中有7个三角形，即

(2)的三个内角是△𝐴�,△𝐴�,△𝐴�,△𝐴�,△𝐴�,△���,△𝐵�

(3)△含𝐴边�的三角形有∠𝐴�,∠���,∠�𝐴

【分析�】�本题考查了三△角形𝐴的�定,△义�，��角,△的�写�法�，查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第

三个顶点的方法确定三角形．

【详解】（1）解：图中有7个三角形，

分别为：；

（2）解：在△𝐴�,