2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第05讲 三角形的外角 (1个知识点+7个题型+思维导图+过关测) (学生版)

第05讲三角形的外角

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

【知识点三角形的外角】

1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角.

2.性质：①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

求证：∠ACD=∠A+∠B；

证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD.

②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；

如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B.

③三角形的外角和等于360°．

求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°；

证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2；

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.

【题型1三角形的外角的定义】

【例1】如图，点在线段的延长线上，过点作射线交于点，则下列是的外角的是（）

�𝐵�𝐵𝐵�△���

A．B．C．D．

【变式1∠-1�】��下图中∠1是三∠角�形��一个外角的是（∠）�𝐵∠�𝐵

A．B．C．D．

【变式1-2】如图，点在的边上，点在延长线上，下列是的外角的是（）

�△�𝐵𝐵�𝐵△���

A．B．C．D．

【变式1∠-3�】��如图所示，下列∠说𝐵法�错误的是（）∠�𝐵∠�𝐵

A．∠ACD是△ABC的一个内角；B．∠BAD是△ABD的一个内角；

C．∠BEC是△ACE的一个外角；D．∠AOC是△ABD的一个外角；

【题型2三角形的外角性质简单应用】

【例2】如图，在中，点E在的延长线上，过点E作，交于点D，交于点F，，

，则△的��度�数为（）����⊥����𝐵∠���=60°

∠�=35°∠�

A．B．C．D．

【变式23-15】°如果将一副三角2板5°按如图方式叠放，那20么°等于（）15°

∠1

A．B．C．D．

【变式24-25】°将一副三角板按6如0°图方式放置，使105°，则（）120°

𝐵∥��∠�=

A．B．C．D．

【变式29-30】°如图，95，°，100°，则105°．

∠�=20°∠�=31°∠𝐵�=123°∠�=°

【题型3利用三角形的外角性质比较角的大小】

【例3】如图，、和的大小关系是().

∠�∠𝐷�∠�𝐵

A．B．

C．∠�>∠𝐷�>∠�𝐵D．∠𝐷�>∠�>∠�𝐵

【变式3∠-1�】𝐵如>图∠，�有��下>列∠结�论：①；②∠𝐷�>∠�𝐵>∠�；③；

④．其中，正确的是∠�>∠𝐵�（填序∠号�）+．∠𝐵�=180°−∠�∠�+∠𝐵�<180°

∠�𝐵>∠�

【变式3-2】如图所示，P是内一点，延长交于点D，连接．

△�𝐵𝐵𝐵��

(1)、、的大小关系是：＞＞；

(2)∠若1∠2∠，�，，嘉嘉想求的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成

求解．∠3=25°∠�=67°∠4=40°∠1

思路二

思路一

先利用三角形外角求出的度

先利用三角形内角和求出的度数，

数．再利用三角形外角求∠2出的度

再利用三角形内角和求出∠��的�度+数∠�．��

数．∠1

∠1

【题型4三角形的外角性质与折叠问题】

【例4】如图，在中，，点，分别是，延长线上的一点，连接，，将

沿折叠得到△��，�若∠𝐵�=，9则0°�的�度数是（𝐵�）�����△���

��△�𝐵∠�=50°∠���

A．B．C．D．

【变式43-10】°如图，在2中5°，，将20°沿着直线折叠，点3在5°落点的位置，则的大

∘

小是度．△�𝐵∠�=40△�𝐵���∠1−∠2

【变式4-2】如图，在中，，D，E分别为，上一点，将，分别沿，

折叠，点A、B恰好△重��合�于点∠�处�．�=若90°，则��𝐵．△𝐵�△�����

′′

���∠𝐵�=16°∠���=

【变式4-3】将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为．

′′′

△�𝐵�∠���∠1∠���∠2

(1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由；

′

(2)如图2，当点A的对应点�落在△�𝐵外部时，，∠与1∠又2有∠怎�样的数量关系呢？请写出猜想，并给

′

予证明．�△�𝐵∠1∠2∠�

【题型5三角形的外角性质与单角平分线】

【例5】如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若

，则的△度�数𝐵是（��）𝐵��∠𝐵������∠�𝐵=80°,∠𝐵�=

52°∠�𝐵

A．B．C．D．

【变式52-18】°如图，的3外8°角的平分线4交2°的延长线于点，6若2°，则的值是

（）△�𝐵∠𝐵������∠𝐵�=88°∠�+∠�

A．B．C．D．

【变式54-24】°如图，是46°的角平分线，B、C4、5°E共线，则、、之43间°的数量关系是（）

��△�𝐵���

A．B．C．D．

【变式5�-3+】�如=图�，在2中�，−点�=和�分别是，2�−上�一=点�，，2�−�的=平�分线交于点，

是的外角，若△�𝐵，��，𝐵𝐵，则，𝐵∥，��三者∠�间�的�数量关系是�（�）�∠�𝐵

△�𝐵∠𝐵�=�∠�𝐵=�∠�𝐵=����

A．B．C．D．

【题型6�=三�角+形�的外角性质�与=双2�角−平2分�线】�=�+2��=2�−�

【例6】在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于

点D，与△��的�外角∠平��分�线交∠�于�点�，下列结论：①∠𝐵�；②∠；�③𝐵；

112

④∠�𝐵．�∠𝐷�=90°+2∠�∠�=2∠�∠�=3∠�

其中∠�所+有∠正𝐵确�结=论90的°序+号∠�是��（）

A．①②B．③④C．①②④D．①②③④

【变式6-1】如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在

∘

直线相交于点，则∠���=的1大00小为（�）�����∠𝐵�∠�𝐵

�∠�𝐵

A．B．C．D．随点，的移动而变化

∘∘∘

【变式65-20】如图，AB∥CD，60的平分线和80的平分线的反向延长交�于点�E，且，

则度．∠�����∠𝐵���3∠�−5∠�=172°

∠�=

【变式6-3】【数学模型】

“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，

交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①��（,�对�

顶角相�等）；②180．°∠𝐷�=∠𝐷�

∠�+∠�=∠�+∠�

【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存

在某种数量关系呢？∠���∠𝐵��∠�∠�∠�

【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点．

(1)如图2，，，则的度数是多少呢？∠���∠𝐵��

易证∠�=30°∠�，=50°∠�

请你完∠�成+后∠续1的=推∠�理+过∠程3：∠�+∠4=∠�+∠2

______

∴∠�，+∠1分+别∠是�+∠4=，的平分线

∵����，∠𝐵�∠���

∴∠1=∠_2___∠__3=∠4

又，

∴2∠�=

∵∠�_=__3_0_°_度∠．�=50°

∴(2∠)在�总=结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是：______．

∠�∠�∠�

【类比应用】

(3)如图3，的平分线与的平分线交于点．

已知：∠��，�，��∠�则��_____�_�．（用�、表示）

【题型7∠�求=多�个角∠�度=度�数的�和<】�∠�=��

【例7】如图，．

∠�+∠�+∠�+∠�+∠�=

【变式7-1】如图，已知，则为．

∠𝐷�=120°∠�+∠�+∠�+∠�+∠�+∠�°

【变式7-2】用三种不同的方法求图中五角星形的度数．

∠�+∠�+∠�+∠�+∠�

【变式7-3】计算不规程图形中多个角的度数和：

(1)如图①所示是一个五角星，你能计算出的大小吗？

(2)在图②③④⑤中，上面的结��论��还�成立吗？不必说∠�明+理∠由�．+∠�+∠�+∠�

（注：在图②中，相当于图①中的）

∠���∠�

1．如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（）

A．∠BCFB．∠CBEC．∠DBCD．∠BDF

2．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（）

△�𝐵��𝐵��∠1+∠2=�∠�=

A．B．C．D．

3．一副�三−角9板0°如图放置，若180°−�，则的度�数−为18（0°）360°−�

∠2=75°∠1

A．B．C．D．

45°60°75°90°

4．如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（）

��∥��∠�����∠𝐵���∠�=∠�𝐵=14°∠�

A．B．C．D．

5．如图2，8°42°等于（）56°58°

∠�+∠�+∠�+∠�+∠�

A．B．C．D．

6．已知1：00°，点B、20C0°在的两边上，点1P80为°平面内一点，且360°，，则

∠�=49．°∠�∠���=38°∠���=30°

∠𝐵�=

7．如图．是的外角的平分线．，．则的度数是度．

��△�𝐵∠���∠�=35°∠���=55°∠𝐵�

8．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，

为了舒适，需调整的大小，�使���，�且∠���、=50°、∠��保�持=不6变0°，则∠�𝐵应=调2整0°为∠�𝐵=3度0°．

∠�∠𝐵�=135°∠���∠���∠�∠�

9．如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长

∘

△�𝐵∠�=17����∠�𝐵∠𝐵������𝐵𝐵

线上，、分别平分，，、分别平分、，则．

����∠�𝐵∠𝐵�𝐵��∠�𝐵∠𝐵�∠�=

10．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如

图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点F，若，且，则

′′′

的度数△为�𝐵�．��������∥𝐵∠�−∠�=20°∠���

11．如图，已知，，，，求的度数．

∠𝐵�=130°𝐵∥𝐵∠�𝐵=100°∠𝐵�=20°∠�

12．在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上．

△�𝐵∠�=80°��∠�𝐵������𝐵

(1)如图，．

①若∠𝐵，�分=别1求40°和的度数；

②若直��线∥��与的∠一��条�边∠垂�直��，求的度数；

(2)若平�分�△��，�请直．接．写出的∠度𝐵数�．

13．如��图，点∠�C�、�D分别在∠的𝐵�、边上运动（不与点O重合）．射线与射线分别在

和内部，延长与