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文档简介
第09讲角的平分线
内容导航——预习三步曲
第一步:学
析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习
练题型强知识:6大核心考点精准练
第二步:记
串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步:测
过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1作已知角的平分线】
已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.
作法:
(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.
(2)分别以点M,N为圆心,大于1/2MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所求.
如图所示:
★作图依据:构造△OMC≌△ONC(SSS).
【知识点2角的平分线的性质】
内容:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
结论:PD=PE.
【提示】
(1)这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长;
(2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再用全等三角形;
(3)使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直;
(4)运用角的平分线时常添加的辅助线:由角的平分线上的已知点向两边作垂线段,利用其相等来推导其
他结论.
【知识点3角的平分线的判定】
内容:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.
结论:①点P到三边AB,BC,CA的距离相等;②△ABC的三条角平分线交于一点.
【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时,它才是在角的平分线上,
角的外部的点不会在角的平分线上.
【题型1角平分线的性质直接应用】
【例1】如图,在中,,平分,,垂足为点E,,,则
的长是()Rt△𝐴�∠�=90°��∠𝐴���⊥𝐴𝐵=6��=10��
A.2B.3C.4D.6
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系,根据角平分线的性质得出,再利用
线段的和差关系可求出结果.��=��
【详解】解:∵,
∴,��⊥𝐴
∵∠��平�分=90°,,
∴��∠,𝐴�∠�=90°
∵��=�,�,
𝐵=6��=10
∴,
故选��:=C�.�=��−𝐵=10−6=4
【变式1-1】如图,,平分交于,于,的延长线交的延长线于.求
证:.∠�𝐴=90°��∠𝐴������⊥𝐴������
𝐷=��
【答案】证明见解析.
【分析】本题主要考查角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,由角平分线的性质可求得,则
可证得,再利用全等三角形的性质可证得结论,熟练掌握角平分线的性质��,=全�等�三角
形的判定△与𝐵性�质≌是△解𝐵题�的A关SA键.
【详解】证明:∵,
∴,∠�𝐴=90°
∵��平⊥分��,,,
∴��∠,𝐴���⊥𝐴��⊥,��
在��=�和�∠𝐷�中=,∠�𝐵=90°
△𝐵�△𝐵�
,
∠𝐷�=∠�𝐵=90°
��=��
∴,
∠𝐵�=∠𝐵�
∴△𝐵�≌.△𝐵�ASA
【变�式�=1-�2】�如图,在中,,是的平分线,于E,F在上,且.
△𝐴�∠�=90°𝐵∠�����⊥𝐴����=��
(1)求证:;
(2)试判断��与=��,之间存在的数量关系.并说明理由.
【答案】(1�)见�解�析���
(2),理由见解析
𝐴=��+2��
【分析】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
(1)根据角平分线的性质得到,证明,根据全等三角形的性质证明;
(2)证明��,=根�据�全等三角Rt形△的�性𝐵质≌证R明t△.���
【详解】(R1t)△证�明𝐵:≌∵Rt△是𝐷�的平分线,,,
∴,𝐵∠�����⊥𝐴∠�=90°
在��=��和中,
Rt△��,�Rt△���
��=��
∴,
��=��
∴Rt△�𝐵;≌Rt△���HL
(2�)�解=:��,
理由如下:𝐴在=��+2��和中,
,Rt△�𝐵Rt△𝐷�
��=��
∴,
𝐵=𝐵
∴Rt△�𝐵,≌Rt△𝐷�HL
∴��=𝐷.
【变�式�=1-�3】�+如�图�,=在��+��中+,��=为��+2的��平分线,于,于,面积是,
2
,△�,��求的𝐵长.∠�����⊥𝐴���⊥���△𝐴�56cm
𝐴=20 cm��=8cm��
【答案】
【分析】本��题=考4查cm了角平分线的性质,掌握角平分线的性质是解题的关键.
根据角平分线的性质得出,根据三角形面积公式推出,代
1
入数据求解即可.��=���△𝐴�=�△𝐴�+�△�𝐵=2��(𝐴+��)
【详解】解:∵为的角平分线,,
,𝐵∠�����⊥𝐴,��⊥��
∴��=��
∴�△𝐴�=�△𝐴�+�△�𝐵
11
=𝐴⋅��+��⋅��
22
11
=𝐴⋅��+��,⋅��
22
1
=∵2��⋅(的𝐴面+积�是�),
2
△𝐴�56cm,𝐴=20cm,��=8cm
,
1
∴解5得6:=2��(20+.8)
【题型2��作=一4c边m的垂线】
【例2】如图,在中,为的平分线,于点,,,则的面
积为()△𝐴�𝐵∠�����⊥�����=2𝐴+��=16△𝐴�
A.32B.20C.16D.8
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理,熟练掌握知识点是解题的关键.过点D作于,根据角
平分线的性质定理得到,再结合,即可求出面积.��⊥𝐴�
【详解】解:如图,过点��D=作��=2于,𝐴+��=16
��⊥𝐴�
∵为的平分线,于,于,,
∴𝐵∠���,��⊥�����⊥𝐴���=2
∵��=��=2,
∴𝐴+��=16,
111
故选�△:𝐴C�.=2��×��+2𝐴×��=2𝐴+��·��=16
【变式2-1】如图,在中,为边上的中线,于点,,相交于点,连接.若
平分,,△𝐴�,则𝐵��的面积为(�)�⊥𝐴�𝐵𝐷�����
∠𝐴���=3��=9△𝐵�
A.B.C.D.6
27927
【答案】2C24
【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式,熟练掌握角平分线的性质
定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键.
过F作于G,根据角平分线的性质求得,再根据三角形一边上的中线将三角形面积平
分求解即𝐹可⊥.��𝐹=��=3
【详解】解:过F作于G,
𝐹⊥��
∵平分,,,
∴��∠𝐴�,𝐹⊥����⊥𝐴
∵𝐹为=��=3的边上的中线,
∴𝐵为△𝐴�的��边上在中线,
又�∵�△��,���
∴��=9,
1111127
故选�△:𝐵C�.=2�△���=2×2×��·𝐹=2×2×9×3=4
【变式2-2】如图,平行,和分别平分和,过点P,且与垂直,若,
,求四边形𝐴的�面�积�?���∠𝐴�∠�𝐴𝐵𝐴𝐵=8cm��=
10cm𝐴𝐵
【答案】
2
【分析】本40题cm考查了角平分线的性质,全等三角形的判定与性质等知识,过P作于Q,根据角平分
线的性质可得出,根据证明,得出𝑃⊥,��同理得出,
则��,=然𝑃后=根�据�梯形面积HL公式求R解t即△可𝐴.�≌Rt△���𝐴=��𝐵=𝑃
【详�解�】+解𝐵:=过10Pcm作于Q,
𝑃⊥��
∵平行,,
𝐴𝐵𝐵⊥𝐴
∴,
∵𝐵和⊥𝐵分别平分和,
∴𝐴��,∠𝐴�∠�𝐴
∵��=𝑃,=𝐵,
∴��=����=��,
∴Rt△𝐴�,≌Rt△���
同理𝐴=��,
∴𝐵=𝑃,
∴�四�边+形𝐴=�的�面+�积�为=��=10cm.
112
【变式2-3�】�如𝐵图,在四边2形𝐴+𝐵中,⋅𝐵平=分2×10×8=40cm于.
𝐴𝐵��∠�𝐵,𝐷⊥𝐴�,∠𝐵�+∠�=180°
(1)求证:.
(2)当2𝐷=𝐴+时�,�______(直接写出结果)
【答案�】�(=1)见4,解��析=3𝐴=
(2)
【分1析0】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握以上性质,正确的作出辅助线是
解题的关键;
(1)过点作,根据角平分线的性质可得,先根据证,再根据
证明���⊥𝐵,即可证明�;�=𝐷HLRt△���≌Rt△𝐷�AAS
(2)由△(𝐵1�)≌可△知���,2则𝐷=𝐴+𝐵,即可求出.
【详解】(1)证明�:�过=点��作=3𝐷,=��=7𝐴
���⊥𝐵
平分,,
,∵��∠�𝐵,,𝐷⊥𝐴��⊥𝐵
∴��=𝐷,∠���=∠���=∠���=90°
∵��=��,
∴Rt△���,≌Rt△𝐷�HL
∴��=𝐷,
∵∠𝐵�+∠𝐵,�=180°,∠𝐵�+∠�=180°
∴∠𝐵�=∠�
,,
∵∠���=∠�����=,𝐷
∴△𝐵�≌△,���AAS
∴��=��,
∴𝐴+𝐵=𝐷+;��+𝐵=𝐷+��+𝐵=𝐷+��=2𝐷
(∴22)�解�=:𝐴+𝐵,,
∵,��=����=3
∴��=3,
∴𝐷=��=𝐵+��=4+3,=7
∴故�答�案=为�:�+10�.�=7+3=10
【题型3作两边的垂线】
【例3】如图,在四边形中,是它的对角线,,若平分,,则的
度数为()𝐴𝐵��𝐵=𝐵��∠𝐴�∠�=119°∠�𝐴
A.B.C.D.
【答案】6B2°61°60°59°
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识,熟练掌握角平分线的性质定理
是关键.过点作,垂足分别为,证明,即可得到答案.
【详解】解:过�点�作�⊥��,��⊥��,垂足分别�为,�,Rt△𝐵�≌Rt△𝐵�HL
���⊥��,��⊥���,�
∵平分,
∴��∠,𝐴�
∵��=��,
∴∠�𝐵=119°,
∵∠�𝐷=1,80°−∠��,�=61°
𝐵=𝐵��=��
∴,
∴Rt△𝐵�≌Rt△𝐵�,HL
故选∠�:𝐴B=∠�𝐷=61°
【变式3-1】如图,在中,是它的角平分线,是它的中线,,,,则长
为()△𝐴�𝐵𝐷𝐴=5��=3��=7��
A.B.C.D.
157715
【答案】7C1588
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理,掌握角平分线的性质定理,等高的三角形面积的计算方法是关
键.
如图,过点作于,于,,,,由中点得到,根据
�△�𝐵𝐴5��5357
���⊥𝐴���即⊥�可�求解�.�△�𝐵=��=3��=3��=8��=2��=
3577
【�详�解−】��解=:�如�图−,��过=点8作−2=8于,于,
���⊥𝐴���⊥���
平分,,,
∵𝐵∠�,����⊥𝐴��⊥��
∴��=��,
�△�𝐵𝐴5
∴�△�𝐵=,��=3
��5
∴��=3,
∵��=7,
35
∴��是=8的中线,,
∵𝐷△,𝐴���=7
7
∴��=2,
3577
故选��:=C�.�−��=8−2=8
【变式3-2】如图,在中,,分别平分,,于点D.若,的面
积是50,则的△周�长�为�(�)�𝐵∠𝐴�∠�𝐴��⊥����=3△𝐴�
△𝐴�
A.B.25C.D.50
50100
【答案】3C3
【分析】本题考查了角平分线的性质定理,连接,作于,于,由角平分线的性质定理
可得,,再结合三角�形�面积公��式⊥计�算�即可�得�解�,⊥熟��练掌�握角平分线的性质定理是
解此题��的=关�键�.=3��=��=3
【详解】解:如图,连接,作于,于,
����⊥𝐴���⊥���
,
∵,分别平分,,于点D,,
∴��𝐵,∠𝐴�∠��,���⊥����=3
∵��=�的�面=积3是�5�0,=��=3
∴△𝐴�,
∴�△�𝐴+�△���+�△���=50,
111
∴2𝐴⋅��+2��⋅��+2�,�⋅��=50
∴3𝐴+3��+3��=,1即00的周长为,
100100
故选𝐴:+C�.�+��=3△𝐴�3
【变式3-3】已知是的平分线,P是射线上一点,点C,D分别在射线上,连接.
��∠𝐵�����,����,𝐵
(1)如图①,当,时,与的数量关系是______;
(2)如图②,点�C�,D⊥�分�别在𝐵射⊥线��上��运动𝐵,且.当时,与在(1)
问中的数量关系还成立吗?请说�明�,理��由.∠𝐵�=90°∠�𝐵+∠𝐵�=180°��𝐵
【答案】(1)
(2)成立,理�由�见=解𝐵析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识,熟练掌握角平分线的性质定理
是解题的关键;
(1)根据角平分线的性质定理即可作出判断;
(2)过点P作于E,于F,如图,可得,根据补角的性质得出,证
明𝐷⊥��,进而��得⊥到�结�论.��=𝐷∠�𝐵=∠𝐵�
【详△解�】��(≌1△)�解�:�AAS是的平分线,
;∵��⊥��,𝐵⊥��,��∠𝐵�
∴故�答�案=为𝐵:;
(2)解:成立��,=理�由�如下:
如图,过点P作于E,于F,
𝐷⊥����⊥��
,
∵是的平分线∴∠,���=∠𝐷�=90°
��∠�,��
∴��=𝐷,,
∵∠�𝐵+∠𝐵�,=180°∠𝐵�+∠𝐵�=180°
∴∠�𝐵=∠𝐵�
在和中
∠���=∠𝐷�
△���△𝐷�∠���=∠𝐵�
,
��=𝐷
∴△���≌△.𝐷�AAS
【∴题��型=4𝐵尺规作角平分线】
【例4】尺规作图:已知点、和.
��∠𝐵�
(1)画直线;
��
(2)在直线上求作点P,使点P到的两边的距离相等.
【答案】(1�)见�解析∠𝐵�
(2)见解析
【分析】此题考查了作直线,尺规作角平分线,角平分线的性质定理,解题的关键是掌握以上知识点.
(1)根据直线的定义求解即可;
(2)尺规作出的平分线与交于点P即为所求.
【详解】(1)如∠�图��所示,直线��即为所求;
(2)如图所示,点P即为所求�;�
【变式4-1】如图,在中.
△𝐴�
(1)尺规作图:作的平分线交于点D.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若,∠���,的𝐵面积�为�12,求的面积
【答案�】�(=1)见8解�析�=6△𝐴�△𝐴�
(2)21
【分析】本题考查了作图——角平分线,角平分线的性质,三角形面积,掌握角平分线上的点到角两边的距
离相等是解题关键.
(1)根据角平分线的作法作图即可;
(2)过点作、,根据角平分线的性质,得到,再根据三角形面积公式,求得
,�再由��⊥𝐴��⊥��,即可求解.��=����=
【�详�解=】3(1)解�△:𝐴如�=图�,△射𝐴线�+�△即�为𝐵所求:
𝐵
(2)解:如图,过点作交与点,作交与点,
���⊥𝐴𝐴���⊥�����
平分,
,∵𝐵∠���
∴��=�的�面积为12,
∵∴△𝐴�,
11
∴2𝐴⋅��=2,×8×��=12
��=3,=��,
∵𝐴=8��=6.
11
【∴变�△式𝐴4�-2=】�如△�图��,+已�△知��在�=12+中2.��⋅��=12+2×6×3=21
△𝐴�
(1)分别作,的平分线,它们交于点O(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)当∠�时∠�,的度数为______.
(3)当∠�=60时°,用∠含��的�代数式表示的度数.
【答案∠】�(=1)见�解析�∠���
(2)
(3)120°
1
【分9析0°】+本2�题考查作图-复杂作图,角平分线的定义,三角形内角和定理等知识.
(1)根据作角平分线的方法按要求作出图形即可;
(2)利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出,可得结论;
(3)利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠���+∠�𝐴,可得结论.
【详解】(1)解:图形如图所示;∠���+∠�𝐴
(2)
解:∵,
∴∠�=60°,
∵∠𝐴平�分+∠�𝐴,=18平0分°−∠�=,120°
∴��∠𝐴�𝐵∠�𝐴,
111
∴∠���+∠�𝐴=2∠𝐴�+2∠�𝐴=2∠,𝐴�+∠�𝐴=60°
故答∠�案�为�=:180°;−∠���+∠�𝐴=120°
(3)解:∵120°,
∴∠�=�,
∵∠𝐴平�分+∠�𝐴,=18平0分°−∠�=,180°−�
∴��∠𝐴�𝐵∠�𝐴,
1111
∴∠���+∠�𝐴=2∠𝐴�+2∠�𝐴=2∠𝐴�.+∠�𝐴=90°−2�
1
【变∠式��4�-3=】1如80图°,−在∠���+中∠�,�用�圆=规9和0°无+刻2�度直尺在AB上方作.(保留作图痕迹,不要求
1
写作图过程)△𝐴�∠𝐴�=2∠�
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及作一个角等于已知角,先作的角平分线,得出
,再结合作一个角等于已知角的尺规作图过程,得∠,�故��,即∠可��作�答=.
11
【2详∠�解��】解:如图,即为所求.∠𝐴�=∠���∠𝐴�=2∠���
∠𝐴�
【题型5证角平分线】
【例5】如图,,M是的中点,平分.求证:平分.
∠�=∠�=90°����∠𝐵�𝑂∠�𝐴
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用,熟练掌握它们的性质是解题的关键;
过M作于E,根据角平分线性质求出,再根据角平分线的判定即可.
【详解】�证�明⊥:�过�M作于E,��=��=��
��⊥𝐵
∵平分,,,
∴��∠�,��∠�=90°��⊥𝐵
∵�M�为=�的�中点,
∴��,
∵��=��,=��,
∴∠�平=分90°��.⊥𝐵
【变�式�5-1】∠如��图�,,于点E,交的延长线于点D,且,求证:是
的平分线.��=𝐵𝐷⊥𝐴𝐵⊥������=����∠���
【答案】见解析.
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是得到.
证明得,可得点C在的平分线上R,t△进�而𝐷可≌以R解t决△问��题�.
【详解R】t△证�明�:�≌Rt△�𝐵,𝐷=�,�∠���
∵𝐷,⊥𝐴𝐵⊥��
∴在∠𝐷�=∠�和=90°中,
Rt△��,�Rt△�𝐵
��=��
,
��=𝐵
∴Rt△�𝐷,≌Rt△�𝐵HL
∴𝐷=𝐵,,
∵�点�C⊥在𝐴𝐵的⊥平�分�线上,
∴是∠��的�平分线.
��∠���
【变式5-2】如图,是内部的一条射线,点在上,连接、,,过点作,
,,分�别�是∠垂�足��,且,求证:��平�分.𝐵𝐵𝐵=𝐵�𝑂⊥𝐵
��⊥𝐵��𝑂=����∠𝐴�
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,角平分线的判定定理,熟练掌握角平分线的判定定理是
解题关键;
先由角平分线的性质定理得到,再证明,得到,即可证
明结论.∠𝐵�=∠𝐵�△𝐴�≌△𝐴�(SAS)∠𝐴�=∠𝐴�
【详解】证明:,,,
为的∵角�平�分⊥线𝐵,��⊥𝐵𝑂=��
∴��∠𝐵�,
∴∠𝐵�=∠𝐵�,
∴在∠𝐵�=和∠𝐵�中,
△𝐴�△𝐴�
𝐵=𝐵,
∠𝐵�=∠𝐵�,
,
��=��,
∴△𝐴�≌△𝐴�,(SAS)
∴∠𝐴平�分=∠𝐴�.
【∴变�式�5-3】∠�如�图�:,,,,
𝐷⊥𝐴��⊥��𝐷=𝐴��=��
(1)图中、有怎样的位置关系?试证明你的结论.
(2)连接��,�求�证:平分.
【答案】�(�1),�证�明见∠解�析��
(2)见解析��⊥��
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,角平分线的判定定理,作辅助线构造全
等三角形是解题关键.
(1)令与的交点为G,证明,得到,进而得出,
即可得�到�结�论�;△�𝐷≌△�𝐴SAS∠𝐷�=∠𝐴�∠���=∠�𝐹=90°
(2)过点作于点,于点,证明,得到,即可证明结论.
【详解】(�1)�解�:⊥𝐷�,证𝑃明⊥如�下�:�△���≌△�𝑃AAS��=𝑃
令与的交点为��G,⊥�如�图,
𝐴��,,
∵𝐷⊥𝐴��⊥��
,
∴∠�𝐷=,∠即���=90°,
∴在∠�𝐷+和∠���=中∠,���+∠���∠�𝐷=∠�𝐴
△�𝐷△�𝐴
,
��=��
∠�𝐷=∠�𝐴
,
𝐷=𝐴
∴△�𝐷≌△�𝐴,SAS
∴∠𝐷�=∠𝐴�,
∵∠𝐹�=∠���,
∴∠���=;∠�𝐹=90°
(∴2�)�证⊥明��:如图,过点作于点,于点,
���⊥𝐷�𝑃⊥���
,
,∴∠���=∠𝑃�=90°
∵△�𝐷≌△�𝐴,
∴在∠���=和∠�𝑃中,
△����𝑃
,
∠���=∠𝑃�
∠���=∠�𝑃
,
��=��
∴△���≌△,�𝑃AAS
∴又��=𝑃,,
∵�平�分⊥���.�⊥��
【∴题�型�6角∠�平�分�线的判定与性质综合】
【例6】如图,在中,,点在的外部,且平分,过点作,交
的延长线于点,△𝐴�,∠交�𝐴于=点50°,连接�△.�若���,�∠���,求�的�度�数⊥����
���⊥�������∠�𝐷=104°��=��∠���
【答案】
【分析】本63题°考查了角平分线的判定和性质,三角形的外角性质,连接,过点作,交的延长
线于点,证明平分,平分,利用三角形的外角性质求𝐵得���,⊥进�一�步计�算�即可求
解.�𝐵∠�𝐷��∠𝐴�∠𝐴�=54°
【详解】解:如图,连接,过点作,交的延长线于点,
𝐵���⊥𝐴𝐴�
,,,
平分,∵��⊥����⊥����=��
∴𝐵平分∠�𝐷,
∵𝐵∠,���,
∴��⊥��,��⊥𝐴
∴��=��,
∴��平=分��,
∴��∠𝐴�,
∴∠𝐴�=∠�𝐷−�𝐴=104°,−50°=54°
∴∠𝐴�=180°−∠𝐴�.=126°
1
【∴变∠式��6�-1=】2如∠图𝐴,�=,63°分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线,,垂足为点Q,连接.
����𝑃⊥����
(1)若,求的度数;
(2)设∠���=,60°,∠���,求线段、的长度(用含,,的式子表示).
【答案�】�(=1)���=�𝐴=�𝑃𝑃���
(2)60°,.
�+�−��+�−�
【分�析�】=本题2考查�了�角=平分2线的性质与判定,全等三角形的性质与判定;
(1)过点作,,垂足分别为,.根据角平分线的性质得出,进而可得平分,
即可求解�;𝐷⊥𝐴��⊥����𝐷=𝑃��∠�𝐷
(2)证明得出.同理可得.,.根据全等三角形的性质,即可求解.
【详解】△(�1�)�过≌点△�作����,=��,垂足分�别�为=�,�.𝑃=��
�𝐷⊥𝐴��⊥����
平分,平分,,
,.∵��∠𝐴���∠�𝐵𝑃⊥��
∴𝐷=��.𝑃=��
∴𝐷平=分𝑃.
∴��∠�𝐷,
∵∠���=60°
1
(∴2∠)���=平分∠�𝐷=,60°
2
∵��∠�.��
∴∠𝐴�=,∠𝐴�,
∵𝐷⊥𝐴�.�⊥��
∴∠�=∠��,�
∵��=��.
∴△���≌△.𝐴�
∴同�理�可=得�.�,.
𝐷=�,�𝑃=��.
∴�+𝑃=�+𝑃,𝑃+𝑃=�.
�+�−��+�−�
∴𝑃=𝑃=
22
【变式6-2】如图在中,点D在边上,,的平分线交于点E,过点E作,
交的延长线于点△F�,��且��,连接∠�.𝐵=40°∠𝐴�����⊥𝐴
��∠𝐷�=20°��
(1)求证:平分;
(2)若��∠𝐵�,且,求的面积.
【答案�】�(=1)证6,明𝐵见=解5析,�;�=7�△�𝐵=12△𝐴�
(2).
【分�析△�】��本=题6考查了角平分线的判定与性质,三角形面积公式等知识,掌握相关知识是解题的关键.
(1)过点作于点,于点,由是的平分线,得到,再证明是
的平分线�,得�到�⊥𝐵,�进而��得⊥到���,即�可�得出∠�结�论�;��=��𝐷∠�𝐹
(2)由��,=得�到���=��,求出,即可求解.
11
【详解】�(△�1�)�=证1明2:过点2�作�⋅��+2于𝐵点⋅�,�=12于点��,=如��图=:��=2
���⊥𝐵���⊥���
∵是的平分线,,,
∴��∠𝐴,���⊥𝐴��⊥��
∵��=��,,
∴∠𝐷�=20°∠�=90°,
∴∠�𝐷=90°−20°=70°,
∴∠�𝐷=180°−,∠�𝐷−∠�𝐵=70°
∴∠�是𝐷=∠�的𝐷平分线,
又�∵�∠�𝐹,,
∴��⊥�,���⊥𝐴
∴��=��,
又�∵�=��,,
∴�平�分⊥𝐵�;�⊥��
(2�)�解:如∠�图�:�
∵
∴�△�𝐵=12,
11
∵2𝐵⋅��+2𝐵,⋅��=12,
∴𝐵=5,𝐵=7��=��,
11
解得2×:7×��+2×5,×��=12
∴��=��,=2
∴��=��=2.
11
【变�式△𝐴6�-3=】如2�图�,⋅�在�=2×中6×,点2=D6在边上,,平分交于点E,过点E作
交的延长线于点△F,�且���,�连接∠.�𝐵=110°��∠𝐴�����⊥𝐴
��∠𝐷�=55°��
(1)求的度数;
(2)求证∠�:𝐵平分;
(3)若��,∠𝐵�,且,求的长.
【答案�】�(=1)4𝐵=8�△�𝐵=15��
(2)见解析35°
(3)
5
【分2析】本题是三角形综合题,主要考查了角平分线的判定和性质,三角形的内角和定理,三角形外角的性
质,三角形面积公式,熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键.
根据垂直得到,利用三角形外角的性质得到,再根据,
即1可求出的∠度�数𝐷;=90°∠�𝐷=145°∠�𝐷=∠�𝐵+∠�𝐵
过点E∠作�𝐵,,根据角平分线的性质得到,,进而得到,再根
据2角平分线的�判�定⊥�定�理即��可⊥证�明�结论;��=����=����=��
根据三角形的面积公式求出,再根据角平分线的性质即可求得答案.
5
【3详解】(1)解:,��=2
,∵��⊥𝐴
∴∠�=90°,
∵∠𝐷�=55°
,
∴∠�𝐷=∠�+∠𝐷�=9,0°+55°=145,°
∵∠�𝐷=∠�𝐵+∠�𝐵∠�𝐵=110°;
(∴2∠)�证𝐵明=:∠过�点𝐷E−作∠�𝐵=1交45°−于1点10°G=,35°交于点H,
��⊥𝐵𝐵��⊥����
,,
,∵∠�=90°∠𝐷�=55°
∴由∠��可�知=,90°−55°=35°,
1平分∠��,�=∠�𝐵=35°
∴𝐷∠,�𝐵,
∵��⊥��,��⊥𝐵
∴��平=分��,,,
∵��∠,𝐴���⊥����⊥��
∴��=��,
∴��=��,,
∵��平⊥分𝐵��;⊥��
(∴3�)�解:∠𝐵�,
∵�△�𝐵=15,
∴�△𝐵�+�△𝐵�=15,
11
∴2𝐵⋅�,�+2𝐵⋅,��=15,
∵𝐵=4𝐵=8��=��,
11
∴2×4⋅��+,2×8⋅��=15
155
∴��=6.=2
5
∴��=
2
1.如图,在中,,以点A为圆心,适当长为半径画圆弧,分别交、于点M、N,
再分别以点MR、t△N�为�圆�心,∠大�于=90°的长为半径画圆弧,两弧交于点P,作射线交�边��于�点D,点E在
1
边上,连结,则下列结论错2�误�的是()����
𝐴��
A.
B.连𝑂结=��、,根据可判定
C.𝑂��SAS△𝑂�≌△���
D.∠��的�最=小∠值��是�的长
【答案】�B���
【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质,由作图过程可得,,
,可得,即可判断A,B选项;由作图过程可知,射线为𝑂的=平�分�线,�可�=得
��△𝑂,�即≌可△判��断�CSS选S项;由题意知,当时,取得最小值,此��时结∠合��角�平分线的性质可
∠得�𝐵=∠�,𝐵即的最小值是的长,即可判断�D�选⊥项𝐴.��
【详�解�】=解��:连接��,,��
𝑂��
由作图过程可得,,,
∵,𝑂=����=��
∴��=��,
∴△根据𝑂�≌可△判��定�SSS,
故A选项SS正S确,不△符�合�题�意≌△,B��选�项不正确,符合题意;
由作图过程可知,射线为的平分线,
∴,��∠���
故∠C�选𝐵项=正∠确�,𝐵不符合题意;
由题意知,当时,取得最小值,
∵为的��平⊥分�线�,��,
∴�此�时∠���,∠�=90°
即的�最�小=值��是的长,
故�D�选项正确,不��符合题意.
故选:B.
2.如图,平分,于点D,若,点E是边上一动点,关于线段叙述正确的是
()��∠�𝐴𝐵⊥��𝐵=4.5𝐴𝐷
A.B.C.D.
【答案】�D�=4.5𝐷>4.5𝐷≤4.5𝐷≥4.5
【分析】本题考查了角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了垂线段最短.过
P点作于,如图,根据角平分线的性质得到,然后根据垂线段最短可对各选项
𝐷⊥𝐴�𝐷=𝐵=4.5
进行判断.
【详解】解:过P点作于,如图,
𝐷⊥𝐴�
平分,
,∵��∠�𝐴,𝐵⊥��,𝐷⊥𝐴
∴点𝐷E=是�边�=上4.5一动点,
∵根据垂线段�最�短可知:
故选D.𝐷≥4.5.
3.如图,在中,,平分,于点.若,则的面积为()
△𝐴�𝐴+��=18𝐵∠�����⊥𝐴���=4△𝐴�
A.B.C.D.
【答案】1D2182436
【分析】此题主要考查了角平分线的性质,解题的关键是采用面积的割补法.
如图,过作于,利用角平分线的性质可以证明,然后利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】解�:过��作⊥���于,��=��
���⊥���
平分,于点.
,∵𝐵∠�����⊥𝐴�
∴��=��
∵�△𝐴�=�△𝐴�+�△𝐵�
11
=×��×𝐴+×��×��
22
1
=又×����+𝐴,,
2
∵𝐴+的�面�积=为18:��=4
1
∴故△选�:��D.2×4×18=36
4.如图,在中,D是延长线上一点,与的角平分线交于点E,连接.若要求
的度数,只需△要�知��道下列哪个𝐴角的度数()∠�𝐴∠𝐴�𝐷∠�𝐷
A.B.C.D.
【答案】∠C𝐴�∠�𝐴∠���∠𝐷�
【分析】本题考查角平分线的性质和判定,作于点,于点,交的延长线于点,
根据角平分线的性质,推出,进而得��到⊥�平�分��,�得⊥到𝐴���⊥����,�
11
即可得出结果.��=��𝐷∠�𝐹∠�𝐷=2∠�𝐹=2180°−∠���
【详解】解:作于点,于点,交的延长线于点,
��⊥�����⊥𝐴���⊥�����
∵与的角平分线交于点E,
∴∠�𝐴∠𝐴�,
∴��=��,,��=��
∴��平=分��
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