2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第10讲 全等三角形常见的七大几何模型 (7个知识点+7个题型+过关测) (学生版)

第10讲全等三角形常见的七大几何模型内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习第二步：练练题型强知识：7大核心考点精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升【知识点1平移模型】【模型解读】沿同一直线平移的两个三角形重合.【解题思路】①加(减)共线部分，得到一组对应边相等；②利用平行线性质找对应角相等.【知识点2翻折模型】【模型解读】两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合.【解题思路】①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等;②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等.【知识点3手拉手模型】【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形.【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。【知识点4半角模型】【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形.【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系【知识点5一线三等角模型】【模型解读】(1)两个三角形有一条边共线；(2)同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1=∠2=∠3.【解题思路】利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS或ASA证明三角形全等。【知识点6倍长中线模型】【模型解读】给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形达到解题目的.【解题思路】通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD，△ABD≌△ECD.【知识点7截长补短模型】【模型解读】截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段.【解题思路】该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题。【题型1平移模型】【例1】如图，在△BAC与△EDF中，BC与EF在同一条直线上，∠A=∠D=90°,∠B=∠E,BF=EC．求证：△BAC≌△EDF．【变式1-1】如图，已知△ABC≌△DEF，点B,E,C,F在同一条直线上．(1)若∠BED=140°,∠D=75°，求∠ACB的度数；(2)若BE=2,EC=3，求BF的长．【变式1-2】如图，△ABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AD交CE于F，△CFD的面积为3，则△ABD的面积为．

【变式1-3】如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE＝DF．(1)求证：EF平分线段BC；(2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【题型2对称模型】【例2】如图，已知∠C=∠F=90°，∠A=51°，AC=DF，AE=DB，BC与EF交于点O．(1)求证：△ABC≌△DEF．(2)求∠BOF．【变式2-1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB,AC分别交于点E，F，连接DE，DF．(1)求证：DE=DF；(2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数．【变式2-2】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．(1)求证：DE=DF；(2)已知AC=14，BE=2，求AB的长．【变式2-3】如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA(2)如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是【题型3手拉手模型】【例3】如图，已在△ABC与△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE，【变式3-1】已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证：(1)BD=CE；(2)BD⊥CE．【变式3-2】如图，D为△ABC内一点，AB=AC，∠BAC=50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．(1)求证：EB=DC；(2)若∠ADC=125°，求∠BED的度数．【变式3-3】在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE=AD，且∠DAE=∠BAC=α．(1)如图1，若α=60°，连接CE，DE．则∠ADE的度数为；BD与CE的数量关系是(2)如图2，若α=90°，连接EC、BE．试判断△BCE的形状，并说明理由．【题型4半角模型】【例4】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=60°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=30°．求证：EF=BE+DF．【变式4-1】如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，E为AB上一点，∠DCE=60°，∠DAE=120°，求证：DE−AD=BE．【变式4-2】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD,BD=CE．设∠BAC=α,∠BCE=β．(1)如图1，如果∠BAC=90°,∠BCE=___________度；(2)如图2，你认为α、β之间有怎样的数量关系？并说明理由．(3)当点D在直线BC上移动时，α、β之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线）【变式4-3】【基本模型】

如图，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，如图1，BE、DF与EF之间的数量关系为__________．【模型运用】当E点在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，如图2，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论：__________．【拓展延伸】如图3，已知AB=AD，∠B+∠D=180°，E在线段BC上，F在线段CD上，∠EAF=12∠BAD，请你直接写出BE、DF【题型5一线三等角模型】【例5】如图，在△ABC中，AB=BC．(1)如图1，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC=90°，求证：MN=AM+CN．(2)如图2，直线NM过点B，AM交NM于点M，CN交NM于点N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，则MN=AM+CN是否成立？请说明理由！【变式5-1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，于点E，AD⊥CE于点D．△BEC与

【变式5-2】如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．

(1)当∠BDA=110°时，∠EDC=，∠AED=．(2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【变式5-3】已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线

(1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为___________，CE与AD的数量关系为___________；(2)如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；(3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=9cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得【题型6倍长中线模型】【例6】如图，在△ABC中．AD是BC边上的中线，交BC于点D．(1)如下图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD．(2)如下图，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．(3)如下图，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．【变式6-1】如图1，在△ABCAB>AC中，AD是BC边上的中线，△ABD和△ADC的周长之差为2cm，且AB的长是8cm．

(1)求AC的长；(2)求AD长度的取值范围；(3)若∠BAC=90°，E是AD的中点，如图2，直接写出△CDE的面积．【变式6-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点(1)若CF=6，AG=2，求AC的长．(2)求证：BG=CF．【变式6-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法思考作答：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL(2)求得AD的取值范围是______；A．5<AD<9

B．5≤AD≤9

C．2<AD<7

D．2≤AD≤7(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分∠BAC【题型7截长补短模型】【例7】阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在△ABC中，交BC于点D，AD平分∠BAC，且∠B=2∠C．(1)为了证明结论“AB+BD=AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE=AB，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD=58°，∠D=109°，∠ACD=42°，∠ACB=80°，AD=10，CE⊥ABEB=3，求AB的长．【变式7-1】如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．

【变式7-2】综合与实践问题提出如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠ACB=2∠B，则AB，CD，AC之间存在怎样的数量关系？并说明理由．方法运用

（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长AC至点E，使得AE=AB，连接DE，……，请判断AB，CD，AC之间的数量关系并补充完整解题过程．（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段AB上截取AB，使得AF=①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线．延伸探究（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形ABCDE中，EA=ED，AB+DC=BC，∠A+∠D=180°，若∠BCD=120°，求∠BCE的度数．【变式7-3】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．1．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF=AF，BE=8，CF=5，则EF的长度为（

）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．32．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则下列说法一定正确的是（

）A．PE=PF B．PF=DF C．∠B=∠ACD D．PC=DF3．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④4．如图，在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD=CD，BE=4，DE=3，CE=1，则△ABD的面积是（

）

A．4.5 B．6 C．9 D．125．如图，BD是ΔABC的角平分线，延长BD至点E，使DE=AD，若∠ADB=60∘，∠BAC=78∘6．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠CAD，试说明BC=DE．

7．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在DC上，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC（1）判定△AEB的形状，并说明理由.（2）求证：AD+BC8．已知：如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，求证：∠BGF=∠ACB．9．（新课标

开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，AE=CF，AD∥CB，AD=CB，求证：△ADF≌△CBE．（2）若将图1中的△BEC沿CA方向平移得到图2、图3，其他条件不变，△ADF≌△CBE还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）

10．如图1，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，CD=AB．

(1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．(2)如图2，若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与点B重合，此时AC与BE互相垂直吗？请说明理由．11．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)取BD的中点P，连接OP，试说明AC=2OP．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE，并证明BE=OD．②求证：AC=2OP．12．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE,∠DAE=90°,AD=AE，连接(1)发现问题：如图①，当点D在边BC上时．①请写出BD和CE之间的数量关系为，位置关系为；②求证：CE+CD=BC；(2)尝试探究：如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BC