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文档简介
第10讲全等三角形常见的七大几何模型
内容导航——预习三步曲
第一步:学
析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习
第二步:练
练题型强知识:7大核心考点精准练
第三步:测
过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1平移模型】
【模型解读】沿同一直线平移的两个三角形重合.
【解题思路】①加(减)共线部分,得到一组对应边相等;②利用平行线性质找对应角相等.
【知识点2翻折模型】
【模型解读】两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠,两个三角形重合.
【解题思路】①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等;
②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等.
【知识点3手拉手模型】
【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合,左底角顶点互连,右底角顶点互连所组成的图形.
【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分,得到一组对应角相等。
【知识点4半角模型】
【模型解读】有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍
分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形.
【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系
【知识点5一线三等角模型】
【模型解读】(1)两个三角形有一条边共线;(2)同一直线上有三个相等的角的顶点,∠1=∠2=∠3.
【解题思路】
利用三角形内角和为180°和内、外角关系,通过等角代换得到一组相等的角,利用AAS或ASA证明三角
形全等。
【知识点6倍长中线模型】
【模型解读】给出中线,通过延长中线的方法构造全等三角形达到解题目的.
【解题思路】通过延长中线,构造全等三角形,得到△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD.
【知识点7截长补短模型】
【模型解读】截长,指在长线段中截取一段等于已知线段;补短,指将短线段延长,延长后的线段等于已知
线段.
【解题思路】该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词,通过截长补短法构造全等三角形,再利用
全等三角形的判定和性质进行解题。
【题型1平移模型】
【例1】如图,在与中,与在同一条直线上,.求证:
.△𝐵�△𝐸�����∠�=∠�=90°,∠�=∠�,��=��
△𝐵�≌△𝐸�
【变式1-1】如图,已知,点在同一条直线上.
△���≌△����,�,�,�
(1)若,求的度数;
(2)若∠�𝐸=140°,∠,�求=75的°长.∠���
【变式�1�-2=】2如,�图�,=3�沿�方向平移得到,连接交于F,的面积为3,则的面
积为.△�����△�𝐸����△�𝐸△�𝐸
【变式1-3】如图①,点A,B,C,D在同一直线上,AB=CD,作EC⊥AD于点C,FB⊥AD于点B,且AE
=DF.
(1)求证:EF平分线段BC;
(2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②时,其他条件不变,(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.
【题型2对称模型】
【例2】如图,已知,,,,与交于点O.
∠�=∠�=90°∠�=51°��=����=������
(1)求证:.
(2)求△.���≌△���
【变式∠2�-�1】�如图,在中,,为的角平分线.以点A圆心,长为半径画弧,与
分别交于点E,F,连△接���,��.=����△�������,��
����
(1)求证:;
(2)若��=��,求的度数.
【变式∠2�-�2】�=如8图0,°∠𝐸�于,于,若,.
��⊥�����⊥���𝐸=𝐸��=��
(1)求证:;
(2)已知��=�,�,求的长.
【变式2�-3�】=如1图4①�,�O=P2是∠M�O�N的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角
形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在中,是直角,=,、分别是、的平分线,、相交于
点F.请你判断△并��写�出∠与���之间的数量∠�关系60;°(�不�需证��明)∠𝐵�∠�𝐵����
(2)如图③,在中,��=𝐸,、分别是、的平分线,、相交于点F,请问,你
在(1)中所得△结�论��是否仍∠�然成6立0°?若��成立��,请证明∠;𝐵若�不成∠�立�,�请说明理由�.���
【题型3手拉手模型】
【例3】如图,已在与中,,,,,求证:.
△���△�����=��∠𝐵�=∠���𝐸⊥����⊥����=��
【变式3-1】已知:如图,在、中,,,,点、、
三点在同一直线上,连接△.�求�证�:△���∠𝐵�=∠���=90°��=����=�����
𝐸
(1);
(2)𝐸=��.
【变�式�3⊥-2�】�如图,D为内一点,,,将绕着点A顺时针旋转能与线段
重合.△�����=��∠𝐵�=50°��50°��
(1)求证:;
(2)若��=��,求的度数.
【变式∠3�-�3】�在=125°中,∠�𝐸,D是边上一点,点E在的右侧,线段,且.
△�����=��������=��∠���=∠𝐵�=�
(1)如图1,若,连接,.则的度数为;与的数量关系是.
�=60°����∠���𝐸��
(2)如图2,若,连接、.试判断的形状,并说明理由.
【题型4半角�模=型9】0°����△���
【例4】如图,在四边形中,分别是上的点,且
.求证:��𝐸.��=��,∠�=∠�=90°,∠𝐵�=60°,�,���,𝐸∠𝐵�=
30°��=��+��
【变式4-1】如图,在中,,,为上一点,,,求
证:.△���𝐵=��∠���=120°���∠���=60°∠���=120°
��−��=��
【变式4-2】在中,,点是直线上一点(不与、重合),以为一边在的右侧作,
使△���.�设�=�����.������△���
��=��,𝐸=��∠𝐵�=�,∠���=�
(1)如图1,如果___________度;
(2)如图2,你认为∠𝐵、�=之9间0°有,∠怎��样�的=数量关系?并说明理由.
(3)当点在直线�上移�动时,、之间又有怎样的数量关系?请在备用图上画出图形,并直接写出你的结
论.(B�、C、E�三�点不共线)��
【变式4-3】【基本模型】
如图,是正方形,,当在边上,在边上时,如图1,、与之间的数量关
��𝐸∠𝐵�=45°����𝐸������
系为__________.
【模型运用】当点在的延长线上,在的延长线上时,如图2,请你探究、与之间的数量关系,
并证明你的结论�:__�__�______.�𝐸������
【拓展延伸】如图3,已知,,在线段上,在线段上,,
1
请你直接写出、与�之�间=的��数量∠关�+系∠.�=180°����𝐸∠𝐵�=2∠𝐵�
【题型5一线�三�等角��模型��】
【例5】如图,在中,.
△�����=��
(1)如图1,直线过点B,于点M,于点N,且,求证:.
(2)如图2,直线𝑁过点B,�交�⊥�于�点M,交��⊥于�点�N,且∠���=90°,则��=��+��
是否成立?请说�明�理由!��𝑁��𝑁∠���=∠���=∠�����=��+��
【变式5-1】如图,在中,,,,于点,于点.与
全等吗?请说明理由△.���∠���=90°��=����⊥�����⊥���△���△𝐸�
【变式5-2】如图,在中,,,点D在线段上运动(点D不与点B、C重合),
连接,作△��,�交�线�段=��于=点3E.∠�=40°��
��∠���=40°����
(1)当时,,.
(2)线段∠𝐸�的=长1度10为°何值∠时𝐸,�=∠�𝐸,=请说明理由;
(3)在点�D�的运动过程中,△��的�形≌状△可��以�是等腰三角形吗?若可以,求的度数;若不可以,请说
明理由.△���∠𝐸�
【变式5-3】已知,在中,,,,三点都在直线m上,且,.
△�����=�������=9𝑐∠𝐸�=∠���=∠𝐵�
(1)如图①,若,则与的数量关系为___________,与的数量关系为___________;
(2)如图②,判断��并⊥说�明�线段𝐸,��与的数量关系;����
(3)如图③,若只保持𝐸��,��,,点A在线段上以的速度由点
D向点E运动,同时,∠�点��C=在∠线�段��上𝐸以=��=的7c速m度由��点=E9向cm点F运动,它们�运�动的2时cm间/为s().是
否存在x,使得与全等�?�若存�在cm,/求s出相应的t的值;若不存在,请说明理由.ts
【题型6倍长中△线�模𝐸型】△𝐵�
【例6】如图,在中.是边上的中线,交于点.
△����������
(1)如下图,延长到点,使,连接.求证:.
�����=����△�𝐸≌△�𝐸
(2)如下图,若,试探究与有何数量关系,并说明理由.
∠𝐵�=90°����
(3)如下图,若是边上的中线,且交于点.请你猜想线段与之间的数量关系,并说明理
由.�������������
【变式6-1】如图1,在中,是边上的中线,和的周长之差为,且
的长是.△�����>������△�𝐸△���2cm
��8cm
(1)求的长;
(2)求��长度的取值范围;
(3)若��,是的中点,如图,直接写出的面积.
【变式∠6�-�2】�=如9图0,°在���中,平分2交边于△点𝐸D�,点E是边的中点,线段交线段
于点G,交线段的△延�长�线�于点�F�.∠𝐵�������∥����
𝐵
(1)若,,求的长.
(2)求证��:=6��=.2��
【变式6-3】𝐴八=年�级�数学课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图,中,若,,求边上的中线的取值范围.小红在组内经过合作交流,得到
了如下1的△解�决�方�法:延�长�=9到点��,=使5��,请根据小��红的方法思考作答:
�����=��
(1)由已知和作图能得到的理由是______;
A.B.C.△���D≌.△𝐸�
(2)求S得SS的取S值AS范围是A__A_S___;HL
A.��B.C.D.
(3)归5纳<总�结�:<题9目中出现5≤“中�点�≤”“中9线”等条2件<,�可�考<虑7延长中线2构≤造�全�等≤三7角形,把分散的已知条件和所
求证的结论集合到同一个三角形中.完成上题之后,小红善于探究,她又提出了如下的问题,请你解答.
如图,在中,点在上,且,过作,且.求证:平分.
【题型27截△长�补��短模型】�����=�����∥����=����∠𝐵�
【例7】阅读材料:截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条
线段与某一短边相等,补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等,解答下列问题:如图1,在
中,交于点D,平分,且.
△�������∠𝐵�∠�=2∠�
(1)为了证明结论“”,小亮在AC上截取,使得,解答了这个问题,请按照小亮的
思路写证明过程;��+𝐸=������=��
(2)如图2,在四边形中,已知,,,,,
,求的长.��𝐸∠𝐵�=58°∠�=109°∠�𝐸=42°∠���=80°��=10��⊥��
【�变�式=37-1】如��图,在中,,的角平分线、相交于点O,求证:.
△���∠�=60°△���������+𝐸=��
【变式7-2】综合与实践
问题提出
如图1,在中,平分,交于点D,且,则,,之间存在怎样的数量
关系?并说△明�理�由�.��∠𝐵���∠���=2∠���𝐸��
方法运用
(1)我们可以通过作辅助线,构造全等三角形来解题.如图2,延长至点E,使得,连接,……,
请判断,,之间的数量关系并补充完整解题过程.����=����
(2)以上��方法�叫�做�“�补短法”.我们还可以采用“截长法”,即通过在上截取线段构造全等三角形来解题.如
图3,在线段上截取,使得①______,连接②______.�请�补全空格,并在图3中画出辅助线.
延伸探究������=
(3)小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4,在五边形中,
,,,若,求的度数.��𝐸�
𝐵=𝐸��+��=��∠�+∠�=180°∠�𝐸=120°∠���
【变式7-3】(1)阅读理解:问题:如图1,在四边形中,对角线平分,.求
证:.��𝐸𝐸∠���∠�+∠�=180°
思考:��“角=平��分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1:在上截取,连接,得到全等三角形,进而解决问题;
方法2:延长��到点𝑁,使=得𝐵�,�连接,得到全等三角形,进而解决问题.
结合图1,在方𝐵法1和�方法2中��任=选�一�种,添�加�辅助线并完成证明.
(2)问题解决:如图2,在(1)的条件下,连接,当时,探究线段,,之间的数量
关系,并说明理由;��∠���=60°����𝐸
(3)问题拓展:如图3,在四边形中,,,过点作,垂足为点,
请写出线段、、之间的数�量�关𝐸系.∠�+∠�=180°��=�����⊥���
������
1.如图,是的中线,是上一点,交于,若,,,则的长度
为()��△�������������=����=8��=5��
A.B.C.D.
2.如图1,.5在四边形中2,,2,.5点是对角线上一3点,于点,于点
,则下列说法一定�正�确𝐸的是(��=)����=𝐸�����⊥�����⊥𝐸
�
A.B.C.D.
��=����=��∠�=∠�𝐸��=��
3.如图,交于点,交于点,,,,给出下列结论:;
②�;�③�����;�∠�=∠,�其=中90正°确∠的�有=(∠���)=��①∠1=∠2
��=��△���≌△�𝑁④𝐸=��
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
4.如图,在四边形中,,平分,,,,,则
的面积是()��𝐸��⊥��𝐸∠�����=𝐸��=4��=3��=1△�𝐸
A.B.6C.9D.12
5.如图4,.5是的角平分线,延长至点,使,若,,则
∘∘
𝐸𝐵.��𝐸���=��∠���=60∠𝐵�=78
∠���=
6.如图,在和中,,,,试说明.
△���△�����=����=��∠𝐵�=∠𝐵���=��
7.在四边形中,,点E在DC上,AE平分,BE平分
��𝐸��∥��∠𝐵�∠���
(1)判定△AEB的形状,并说明理由.
(2)求证:
��+��=��
8.已知:如图,,,,求证:.
𝐵=��𝐸=��∠���=∠���∠𝐴�=∠���
9.(新课标开放性题)(1)如图1,点A,F,E,C在同一条直线上,,,,
求证:.��=����∥����=��
(2)若将△图��1�中≌的△���沿方向平移得到图2、图3,其他条件不变,还成立吗?为什么?
(选择一种情况说明△理��由�)𝐵△���≌△���
10.如图1,,,点C是上一点,且,.
��⊥𝐸��⊥𝐸𝐸��=��𝐸=��
(1)试判断与的位置关系,并说明理由.
(2)如图2,��若把��沿直线BD向左平移,使的顶点C与点B重合,此时AC与BE互相垂直吗?
请说明理由.△𝐸�△𝐸�
11.我们规定:有两组边相等,且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图,,,
.回答下列问题:��=����=��
∠���=∠𝐵�=90°
(1)求证:和是兄弟三角形.
(2)取的△中�点��,连△接�𝐸,试说明.小王同学根据要求的结论,想起了老师上课讲的“中线(点)
𝐸�����=2��
倍延”的辅助线构造方法,解决了这个问题.
①请在图中通过作辅助线构造,并证明.
②求证:.△�����=��
12.如图,��已=知2��中,,点为直线上的一动点(点不与点、重合),
以为边作Rt△���∠𝐵�=90°,��,=连�接�.������
��Rt△���,∠���=90°,��=����
(1)发现问题:如图①,当点在边上时.
①请写出和之间的数量�关系为��,位置关系为;
②求证:𝐸��;
(2)尝试探�究�:+如𝐸图=②�,�当点在边的延长线上且其他条件不变时,(1)中、、之间存在的数量
关系是否成立?若成立,请证�明;若�不�成立,请写出新的数量关系,不证明.����𝐸
(3)拓展延伸:如图③,当点在的
延长线上且其他条件不变时,�若��,求线段的长.并求的面积.
13.已知点C为线段上一点,分��别=以6,�,�
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