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文档简介
专题01相交线与平行线
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串讲知识:思维导图串讲知识点,有的放矢
重点速记:知识点和关键点梳理,查漏补缺
举一反三:核心考点能举一反三,能力提升
复习提升:真题感知+提升专练,全面突破
【知识点1两条直线相交】
【邻补角的概念与性质】
1.相交线:有一个公共点的两直线是相交线.
2.定义:两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为邻补角.
3.性质:邻补角互补.
【对顶角的概念与性质】
1.定义:两个角有一个公共顶点,并且两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
2.性质:对顶角相等.
【典例1】如图直线相交于点,是的邻补角是,的对顶角是,若
,则𝐴,𝐶,𝐸度,�∠���度.∠���
∠���=50°∠�𝐶=∠�𝐴=
【分析】由题意得,的邻补角是或;的对顶角是,
∵,∠���∠�𝐶∠���∠���∠���
∴∠���=50°,;
故答∠�案�为�=:∠���、=50°;∠�𝐴=;180°;−∠�.��=130°
∠�𝐶∠���∠���50130
【知识点2两条直线垂直】
【垂直的定义】
1.定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线
叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.如图1所示,符号语言记作:AB⊥CD,垂足为O.
【垂线的画法及性质】
1.垂线的画法:有一个公共点的两直线是相交线.
一“落”:让直角三角板的一条直角边落在已知直线上,即与已知直线重合
二“移”:沿已知直线移动三角板,使其另一条直角边经过已知点
三“画”:沿与已知直线不重合的直角边画直线,这条直线就是已知直线的垂线.
2.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【典例2】已知三角形,用直角三角板过点A作直线的垂线,下列三角板的位置摆放正确的是()
𝐴���
A.B.
C.D.
【分析】选项A中三角板过点A,但不垂直,故不符合题意;
选项B中三角板过点A,且垂直,故符合��题意;
选项C中三角板不过点A,故不符��合题意;
选项D中三角板过点A,但不垂直,故不符合题意,
故选:B.��
【垂线段最短】
1.垂线段:过直线外一点向已知直线作垂线,这点与垂足之间的线段,叫作垂线段.
2.垂线段的性质:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成垂线段最短.
【典例3】如图,,,,,为直线上一动点,连接,则线段的最
小值是()∠�𝐴=90°��=6��=8𝐴=10�𝐴����
A.B.C.D.
【分析】4∵.5点到直线的距离,4.8垂线段最短,56
∴当时,的值最小,
在��⊥𝐴中,��
∵Rt△𝐴�,,,,
∴∠�𝐴=90°��=6,即�:�=8𝐴=10,
11
∴2𝐴⋅��,=2��⋅��10��=6×8
故选��:=B4..8
【点到直线的距离】
定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
【典例4】在下列图形中,线段的长表示点到直线的距离的是()
𝑃�𝐴
A.B.
C.D.
【分析】因为A选项中垂直于,所以线段的长表示点P到直线的距离的是A选项.
故选:A.𝑃𝐴𝑃𝐴
【知识点3两条直线被第三条直线所截】
1.同位角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且在第三条直线(截线)
的同旁,则这样一对角叫做同位角.
2.内错角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)
的两旁,则这样一对角叫做内错角.
3.同旁内角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截
线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角.
【典例5】如图所示的八个角中,同位角有对,内错角有对,同旁内角有对.
【分析】同位角有与,与,与,共3对,
内错角:与∠,1∠与7∠,2∠与8∠,4∠与6,共4对;
同旁内角:∠3∠与4∠,1∠与5∠,2∠与6∠,4∠与8,共4对;
故答案为:3∠;14;∠46.∠2∠5∠2∠4∠4∠5
【知识点4平行线的概念】
【平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】
在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:平行和相交(重合除外).
(1)平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.
(2)同一平面内,两条直线的位置关系:平行或相交,对于这一知识的理解过程中要注意:
①前提是在同一平面内;
②对于线段或射线来说,指的是它们所在的直线.
【平行线的基本事实及其推论】
(1)平行线的基本事实:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
(2)推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
【典例6】已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个判断:①如果,,那么;②
如果,,那么;③如果,,那么;④如果,�∥�,那�么⊥�.其中�正⊥确�的
是�∥�.�(∥�填写所有�正∥�确的序号�)⊥��⊥��⊥��⊥��⊥��∥�
【分析】①如果,,那么,正确;
②如果,�∥,�那�么⊥�,正确�;⊥�
③如果�∥�,�∥�,那�么∥�,错误,应该是;
④如果�⊥�,�⊥�,那么�⊥,�正确.�∥�
故答案为�⊥:�①②�④⊥�.�∥�
【知识点5平行线的判定】
定理1:两条直线被第三条所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:同位角相等,
两直线平行.
定理2:两条直线被第三条所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两
直线平行.
定理3:两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互
补,两直线平行.
注意:在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
【典例7】如图,下列条件:①;②;③;④;⑤.其
中,能判定的条件有(∠1)=∠2∠3=∠4∠�=∠5∠1+∠���=180°∠5=∠�
𝐶∥��
A.5个B.4个C.3个D.2个
【分析】①∵,∴,故①符合题意;
②∵∠,1∴=∠2�,�故∥②��不符合题意;
③∵∠3=∠4,∴𝐴∥𝐶,故③不符合题意;
④∵∠�=∠5𝐴∥�,�∴,故④符合题意;
⑤∵∠1+∠��,�∴=180°,�故�⑤∥符��合题意;
综上所∠5述=,∠正�确的�有�①∥④��⑤,共个,
故选:C.3
【知识点6平行线的性质】
定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.
定理2:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.
【典例8】如图,,若,,则.
��∥��∥𝑆∠2=100°∠3=120°∠1=
【分析】∵,
∴��∥��∥�,�
∠𝑄�=∠3=120°
,
∠∴𝑄�=180°−∠2=180°−100°=80°.
故答∠1案=为∠:𝑄�−∠𝑄�=120°−80°=40°
40°
【知识点7定义、命题、定理】
命题的定义:可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句,叫作命题.
命题的真假:被判断为正确(或真)的命题叫作真命题,被判断为错误(或假)的命题叫作假命题.
命题的组成:命题由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.通常可以写
成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设,“那么”后面的部分是结论.
举反例:要说明一个命题是假命题,只要举出一个符合命题的题设,但不满足命题的结论的例子就可以了.
像这样的例子叫作反例.
【命题与证明综合应用】
(1)定理:有些真命题,它们的正确性是经过推理证实的,这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行于
同一直线的两条直线平行”都可以看作定理.
(2)证明:在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理过程叫作证明,如本
章我们做过的一些证明题,其过程就是在证明.
(3)证明的一般步骤是:1.根据题意画:出图形;2.个依据题设、结论,结合图形写出已知、求证;3.个经过
分析,由已知条件推出结论,或依据结论探寻所需要的条件,再由题设进行挖掘,寻求证明的途径,然后
书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方法.
【典例9】命题:互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角.
(1)将该命题改写成“如果……,那么……”的形式;
(2)该命题是真命题还是假命题?如果是假命题,请举一个反例.
【分析】(1)解:由题意得:如果两个角互补,那么这两个角一个是锐角,一个是钝角;
(2)解:该命题是假命题,反例为两个直角相加也为180度.
【知识点8平移】
【平移定义】
1.定义:一般地,在平面内,将一个图形按某一方向移动一定的距离,这样的图形运动叫作平移.
2.平移的条件:决定平移的条件是平移的方向和平移的距离.
【平移的性质】
(1)平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同.
(2)平移后,新图形和原图形对应线段平行(或共线)且相等;对应角相等;对应点所连线段平行(或共线)且
相等.
【平移作图】
(1)定:确定平移的方向和距离;
(2)找:找出原图形中的关键点;
(3)移:过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段得到关键点平移后的对应点;
(4)连:按原图形顺序依次连接各个对应点得到的图形即为平移后的图形.
【典例10】如图,两个完全一样的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平
移到的位置,,,若平移距离为7,则阴影部分面积为.
△�𝐸𝐴=10��=4
【分析】由平移的性质知,,,
��=,7��=𝐴=10
∴∵�平�移=,��−��=10−4,=6
∴�△𝐴�=�△�𝐸
四边形梯形,
11
∴�𝐶��=�𝐴��=2𝐴+��⋅��=2×10+6×7=56
故答案为:56.
考点一:相交线中的角度计算
例1.如图所示,直线相交于点,,垂足为,已知.
𝐴,𝐶���⊥𝐴�∠���:∠���=1:4
(1)若平分,求的度数;
(2)若𝐸的∠度�数��比∠�的𝐸度数的倍多,试判断与垂直吗,并说明理由.
∠�𝐸∠�𝐸354°��𝐸
【分析】本题主要考查垂直判定和性质,角平分线的定义,几何中角度的计算,一元一次方程解角度问题,
理解图示,掌握角度的和差计算是关键.
(1)根据垂直及角的比例关系得到,,由角平分线的定义
14
∠���=90°×1+4=18°,∠���=1+4×90°=72°
得到,由即可求解;
1
∠�𝐸=∠�𝐸=2∠���=45°∠�𝐸=∠���+∠�𝐸=78°+45°=123°
(2)设,则,则,由此得到,则
由此即∠可�求𝐸解=.�∠�𝐸=3�+54°3�+54°=90°+��=18°∠���+∠�𝐸=90°
【详解】(1)解:∵,
∴��⊥𝐴,
∵∠���+∠���=∠�,��=∠���=90°
∴∠���:∠���=1:4,
14
∠���=90°×1+4=18°,∠���=1+4×90°=72°
若平分,则,
1
∴𝐸∠���∠�𝐸=∠�𝐸=2∠���;=45°
(2∠)�解𝐸:=∠���+,∠理�由𝐸如=下7,8°+45°=123°
设��,⊥则𝐸,
∵∠�𝐸=�∠�𝐸=3�+54°,
∴∠�𝐸=∠���+∠,�𝐸=90°+�
解得3�,+54°=9,0°+�
∴�=18°,
∵∠�𝐸=18°,
∴∠���+∠.�𝐸=72°+18°=90°
【变�式�⊥1-�1】�如图,直线、相交于点O,,平分.
𝐴����⊥����∠���
(1)若,求的度数;
(2)若∠���=40.°∠���
∠���=�
①用含的代数式分别表示和;
②求�的度数∠.�𝐸∠���
1
【分析∠】��本�题+主2∠要�考𝐸查了几何图形中角度的计算,垂线的定义,角平分线的定义,熟知垂线的定义和角平分
线的定义是条件的关键.
(1)先由平角的定义求出的度数,再由角平分线的定义求出的度数,最后根据垂线的定义得到
的度数即可得到答案∠;���∠���
(∠2�)�①�由垂线的定义得到的度数,则可求出的度数,则由对顶角相等得到的度数,同理求
出的度数即可得到答∠�案�;�②根据①所求即可∠得�到𝐸答案.∠�𝐶
【详∠解��】�(1)解:∵,
∴∠���=40°,
∵∠�平��分=180°,−∠���=140°
∴��∠���,
1
∵∠���=,2∠���=70°
∴��⊥��,
∴∠�𝐶=90°;
(2∠)�解�:�=①∠∵�𝐶−∠�,��=20°
∴�,�⊥��
∴∠�𝐸=90°,
∴∠�𝐸=90°−∠���=90,°−�
∵∠�𝐶=∠,�𝐸=90°−�
∴∠���=�,
∵∠�平��分=180°,−∠���=180°−�
∴��∠���,
11
∠���=2∠���=90°−2�
∴;
11
∠���=∠���−∠�𝐶=90°−2�−90°−�=2�
②由①得:.
111
∠���+2∠�𝐸=2�+290°−�=45°
【变式1-2】如图,直线与相交于点,是的平分线,,.
𝐴𝐶���∠�����⊥𝐴𝐸⊥𝐶
(1)如果,求的度数;
∘
∠���=42∠�𝐸
(2)设,求证:.
1
【分析∠】��本�题=考�查了对顶角∠�的�性�质=,2�互余的性质,角平分线的定义等知识,熟练利用这两个性质是解题的关
键.
(1)由对顶角相等得,再利用互余关系即可求解;
(2)由对顶角的性质及∠�互�余�的=性∠�质�得�,再由是的平分线,得,从而得
,利用互余的性质得∠���=∠���,从�而�得∠证�.��∠���=∠���
【∠详��解�】=(∠1�)𝐸解:∵,∠�𝐸=∠���=�
∘
∴∠��;�=42
∵∠�𝐶=,∠���=42°
∴𝐸⊥𝐶,
∴∠�𝐸+∠�𝐶=90°;
(2)∠�解𝐸:=∵90°−∠�,𝐶=48°,
∴𝐸⊥𝐶�,�⊥𝐴,
∵∠�𝐸+∠�𝐶,=90°∠���+∠���=90°
∴∠�𝐶=∠���,
∵∠��是�=∠�的��平分线,
∴��∠���,
即∠���=∠���,
∴∠���+∠���=∠�𝐸+;∠�𝐸
1
∵∠���=∠�𝐸=2∠�,𝐸
∴∠���=∠�𝐴=90°,
∴∠���+∠���=∠�,��+∠���=90°
∴∠�𝐸=∠�.��=�
1
∠���=2�
【变式1-3】若直线和直线相交于点,为内部的射线,平分,平分.
𝐴𝐶���∠�����∠���𝐸∠���
(1)若,求和的度数?
(2)若∠�𝐶是=任58意°角∠�𝐸∠�𝐸,求的度数?
(3)请猜∠�想�,�度数�(会0°改<变�吗<?90若°)改变,∠�请�说�明理由;若不改变,则度数是多少?
【分析】本题∠考��查�角的计算,角平分线的定义,对顶角,熟练计算角度是∠�解�题�的关键.
(1)由对顶角的性质,得到,再由角平分线的定义即可求解;
(2)由角平分线的定义,对顶∠�角��的=性5质8得°到,,,从而求出的度数;
∠���=�∠�𝐸=90°−�∠�𝐸
(3)由角平分线的定义推出,即可得到答案.
1
∠�𝐸=2∠�𝐴
【详解】(1)解:平分,平分,
,∵��∠����,�∠���
11
∴∠���=2∠���∠�𝐸=2∠���
,
1
∴∠���+∠�𝐸=2(∠���+∠���)
,
11
∴∠�𝐸=2∠�𝐴=2×,180°=90°
∵∠���=∠�𝐶=58°,
(∴2∠)�解𝐸:=∠��平�分+∠�𝐸,=58°+90°=148°
∵��,∠���
∴∠���=2∠���,
∵∠���=∠�,𝐶=�
∴∠���=2�,
∴∠�平��分=180°,−2�
∵𝐸∠���,
1
∴∠�𝐸=2∠���=90°−�;
∴∠�𝐸=∠���+∠�𝐸=�+90°−�=90°
(3)解:的度数不变,
平分∠�𝐸,平分,
∵��∠����,�∠���,
11
∴∠���=2∠���∠�𝐸=2∠���
,
1
∴∠���+∠�𝐸=2(∠���+∠���)
.
11
考∴∠点�二𝐸:=填2写∠�推�理�依=据2×,1完80善°证=明90过°程
例2.完成下面的推理填空:
如图,已知,,求证:.
𝐴∥𝐶,∠1=∠2∠3=∠4∠�=∠���
证明:,
∵𝐴∥(𝐶_________).
∴∠2=∠���_________,
∵∠���=∠3__+_______,
∴∠2=∠3,+
∵∠3=∠4,
∴又∠2=∠4+,∠���=∠�𝐶
∵∠1=∠__2_______,
∴∠�𝐶__=_______(_________).
∴𝐶∥.(_________).
【∴分∠析�=】本∠�题�考�查平行线的判定与性质,熟记平行线的性质与判定方法并灵活运用是解本题的关键.先根据
平行线的性质证明,得出,即可证明,根据平行线的性质即可得答案.
【详解】证明:∠2=∠,3+∠���∠2=∠�𝐶𝐶∥��
(∵两�直�∥线�平�行,同位角相等),
∴∠2=∠���,
∵∠���=∠3+∠�,��
∴∠2=∠3+∠���
,
∵∠3=∠4,
∴又∠2=∠4+,∠���=∠�𝐶
∵∠1=∠2,
∴∠�𝐶=(∠1内错角相等,两直线平行).
∴𝐶∥��.(两直线平行,内错角相等).
【∴变∠式�=1-∠1】��如�图,,求的度数.
∠1+∠2=180°,∠�𝐸=∠�,∠�𝐶=60°∠�𝐴
解:∵(已知)
∠1+∠2=1(80°)
∠∴2+∠���=(180°)
∴∠1=∠��(�)
∴𝐴∥()
又∠∵�𝐸+∠𝐶�(=已1知80)°
∴∠�𝐸=∠�(等量代换)
∴∠�+__(___=180°)
∴��∥��()
【分∠析��】�本=题∠主��要�考=查60了°平行线的性质和判定,熟知相关性质定理是正确解答此题的关键.
根据平行线的性质和判定补充证明过程即可得答案.
【详解】解:∵(已知)
∠1+(∠邻2补=角18互0°补)
∠∴2+∠���=(18同0°角的补角相等)
∴∠1=∠�(��同位角相等,两直线平行)
∴𝐴∥𝐸(两直线平行,同旁内角互补)
又∠∵�𝐸+∠𝐶�(=已1知80)°
∴∠�𝐸=∠�(等量代换)
∠�+∠𝐶�=180°
∴(同旁内角互补,两直线平行)
∴��∥��(两直线平行,同位角相等)
【变∠式��1�-2=】∠将�下𝐶面=的6说0°理过程补充完整.
已知:如图,,垂足为.
∠1=∠�,𝐸⊥���,∠2+∠3=180°
(1)试说明;
(2)试求出∠2=∠的4度数.
解:(1)∠𝐶�(已知),
____∵__∠_1__=__∠_�__(______________).
∴��∥(______________).
(∴2∠)2=∠4(已知),
∵𝐸⊥��(垂直的定义).
∴∠𝐸�=(90已°证),(已知),
∵∠2=∠4(__∠_2__+__∠_3__=__1_8_0)°.
∴∠3+__∠_4__=__1_8_0_°____(______________).
∴𝐶∥______________.
∴∠𝐶�的=度∠数为______________.
【∴分∠析𝐶】�本题考查了平行线的判定与性质,垂线的定义,熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.
(1)证明可得;
(2)由垂直��的∥�定�义得∠2=∠4,由等量代换得,从而,然后根据平行线的性质即
可求解.∠𝐸�=90°∠3+∠4=180°𝐶∥𝐸
【详解】解:(1)(已知),
(同位角相∵∠等1,=两∠直�线平行),
∴��∥��(两直线平行,内错角相等),
∴故∠答2案=为∠:4;同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;
��
(2)(已知),
∵𝐸⊥��(垂直的定义),
∴∠𝐸�=(90已°证),(已知),
∵∠2=∠4(等∠量2代+换∠3)=,180°
∴∠3+∠(4=同1旁8内0°角互补,两直线平行),
∴𝐶∥𝐸,
∴∠𝐶�的=度∠�数�为�,
∴故∠答�案��为:等量代9换0°;;同旁内角互补,两直线平行;;.
【变式1-3】把下列推理�过�程补充完整:𝐸�90°
如图,已知交BC于点M,交BC于点E,,,求证:.
𝑀⊥��𝐶⊥��∠1=∠�∠2=∠3𝐴∥𝐸
证明:,,
∵𝑀⊥,��𝐶⊥��(①).
∴∠�𝑀=90°∠(�等𝐶量=代9换0°).
∴∠�𝑀=(∠��②�).
∴𝑀∥③𝐶(两直线平行,同位角相等).
∴∠3=,
∵∠2=∠3(等量代换).
∴∠2=∠�(�内�错角相等,两直线平行).
∴𝐸∥④,
∵∠1=∠�(内错角相等,两直线平行).
∴𝐴∥𝐶(⑤).
【∴分𝐴析∥】�本�题考查平行线的判定和性质,根据垂直的定义,平行线的判定方法,平行线的性质进行作答即可,
熟练掌握相关知识点,是解题的关键.
【详解】证明:,,
,∵𝑀⊥���(�垂⊥直��的定义).
∴∠�𝑀=90°∠�𝐶=90°
(等量代换).
∴∠�𝑀=(∠�同�位�角相等,两直线平行).
∴𝑀∥𝐶(两直线平行,同位角相等).
∴∠3=∠�,��
∵∠2=∠3(等量代换).
∴∠2=∠𝐶(�内错角相等,两直线平行).
∴𝐸∥𝐶,
∵∠1=∠�(内错角相等,两直线平行).
∴𝐴∥𝐶(平行于同一条直线的两直线平行).
∴考�点�三∥:𝐸平行线的判定与性质证明
例3.如图,在三角形中,、分别是、边上的点,点,在边上,连接,,,
已知,𝐴���.𝐴������������
∠𝐸�=∠�𝐴∠���+∠�=180°
(1)求证:;
(2)若��∥�,�平分,求的度数.
【分析∠】�本=题38考°查�了�平行∠线�的��判定与∠性��质�,角平分线的定义,熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.
(1)利用平行线的判定及性质即可求证结论;
(2)利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解.
【详解】(1)证明:,
,∵∠���+∠�=180°
∴��∥��,
∴∠�𝐴=∠𝐶�,
∵∠𝐸�=∠�𝐴,
∴∠𝐶�=;∠𝐸�
(∴2�)�解∥�:�,
∵��∥��,
∴∠�+∠���=180°
,
∵∠�=38°,
∴∠�平��分=180°,−38°=142°
∵��∠���,
1
∴∠���=,2∠���=71°
∵��∥��.
【∴变∠式��1�-1=】∠如��图�,=在7三1°角形中,点在边上,点在边上,点在边上,与的延长线交
于点,,𝐴�.�,����𝐴���𝐸𝐶
�∠1=∠�∠2+∠3=180°
(1)判断与的位置关系,并说明理由;
(2)若��𝐶,且,求的度数.
【分析∠】�本��题=主5要8°考查了∠�平=行∠线4的+性10质°与判∠定�,熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键.
(1)先由,得到,则,进而得到,由此即可证明;
(2)先由平∠1行=线∠的�性质得�到�∥��∠,3+∠�=180°,再∠证2=明∠�,
结合进行求解∠即2=可∠.�𝐶∠���=∠���=58°∠���=∠�𝐶+∠4=2∠4+10°
【详解∠】�(=1∠)4解+:10°,理由如下:
,��∥,𝐶
∵∠1=∠�∴��,∥��∴∠2=∠�𝐶
∵∠2+∠3=180°
∴∠�𝐶+;∠3=180°
(∴2�)�解∥�:�,,
,∵��∥𝐶∴∠�,=∠2
∵��∥��∴∠,2=∠�𝐶∠���=∠���
∴∠�𝐶=∠�
∴∠���=∠���,=∠�𝐶+∠4=∠�+∠4=58°
∵∠�=∠4+10°
,
∴∠4+10°,+∠4=58°
∴∠4=24°.
【∴变∠式�=1-2】4已°+知1:0如°=图3,4点°E在上,,,垂足分别为D、F,点M、G在上,,
.求证:����⊥.��𝐸⊥��𝐴∠�𝐶=∠�𝐸
∠1=∠2∠�𝐴+∠𝐴�=180°
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质,垂直的定义,先证明,再证明,再证明,
,再进一步可得结论.��∥𝐸∠𝐴�=∠1𝐸∥��
【�详�∥解�】�证明:,,垂足分别为D、F(已知).
,∵��⊥���(�垂⊥直��的定义).
∴∠���=90°∠(�等��量=代9换0°).
∴∠���=(∠同�位��角相等,两直线平行).
∴��∥𝐸(两直线平行,同位角相等).
∴∠𝐴�=(∠2已知).
∵∠1=∠2(等量代换).
∴∠𝐴�=(∠内1错角相等,两直线平行).
∴𝐸∥��(已知).
∵∠�𝐶=(∠同�位𝐸角相等,两直线平行).
∴𝐸∥𝐶(平行于同一条直线的两条直线平行).
∴��∥𝐶(两直线平行,同旁内角互补).
【∴变∠式��1�-3+】∠如�图��,=已1知80°,.
∠1+∠���=180°∠2+∠4=180°
(1)证明:;
(2)若𝐶∥�,�
①∠3=90,°求的度数;
②∠求4证=:140°∠���
【分析】此∠题��考�查−了∠�平�行�线=的90判°定和性质,证明是关键.
(1)先根据平行线的判定可得,再根据平�行�线∥�的�性质可得,从而可得,
然后根据平行线的判定即可得�证�;∥��∠2=∠𝐶�∠𝐶�+∠4=180°
(2)①先根据角的和差可得,再根据平行线的性质可得,然后根据角的和差即
可得.②证明∠2=40°,由∠�𝐶,=即∠可3证=明90结°论.
【详解】(1)证∠2明=:∠�𝐶−∠���=90°−,∠���∠2+∠4=180°
,∵∠1+∠���=180°
∴��∥��,
∴∠2=∠𝐶�,
∵∠2+∠4=180°,
∴∠𝐶�+.∠4=180°
(∴2�)�①∥解𝐸:,,
∵∠2+∠4=18,0°∠4=140°
∴由∠(21=)1已80证°:−140°=4,0°
𝐶∥,𝐸
∴∠�𝐶=∠3=90°.
∴②∠∵���=∠�,𝐶−∠2=90°−40°=50°
∴𝐶∥𝐸,
∴∠�𝐶=∠3=90°,
∵∠2=∠�𝐶−∠.���=90°−∠���
∠2+∠4=180°
∵.
∴90°−∠���+∠�𝐶=180°
考∠点�四𝐶:−平∠行�线��中=的9拐0°点问题
例4.如图,,,,则.
𝐴∥𝐶∠𝐶�=120°∠�=3∠�∠�=
【分析】本题主要考查了平行线的性质,掌握两直线平行、同旁内角互补、内错角相等成为解题的关键.
如图:过P作,然后利用平行线的性质可得,再根据条件,设出未知数列
出方程求解即可��.∥𝐴∠�𝐶=60°∠�𝐶=3∠�
【详解】解:如图:过P作,
��∥𝐴
∵,
∴𝐴∥𝐶
∴𝐴∥𝐶∥��,,
∵∠�+∠�𝐶=,180°∠�=∠���
∴∠𝐶�=120°,
设∠�𝐶=,1则80°−120°=6,0°
∴∠�=�°,∠�解�得�:=3�°,
∴3�−�=60.�=30
故答∠�案𝐶为=:90°.
【变式1-1】9如0图°,已知:,,,.则x,y,z之间的数量关系是()
𝐴∥𝐶∠�=�°∠�=�°∠�=�°
A.B.
C.�+�+�=180D.�+�−�=180
【分析】�本+题�主=要�考查了平行线的性质与判定,过点�+E�作+�=360,则,由平行线的性质可得
,,据此�根�据∥�角�的和差𝐴关∥�系�求∥解𝐸即可.
【∠详��解�】=解∠�:=如�图°所∠示�,𝐸过=点18E0作°−∠�=1,80°−�°
∵,𝐸∥𝐴
∴𝐴∥𝐶,
∴𝐴∥𝐶∥𝐸,,
∴∠�𝐸=∠�=�°∠�𝐸=180°−∠�=180°−�°,
∴∠���=∠�𝐸−∠�,𝐸=�°−180°−�°=�°+�°−180°
∴�°=�°+�°−1,80°
故选�+:�B−.�=180
【变式1-2】如图①为北斗七星的位置图,如图②将北斗七星分别标为A,B,G,C,D,E,F,将A,B,
G,C,D,E,F顺次首尾连接.若B,G,C三点共线,恰好经过点G,且,,
,则为()𝐸𝐸∥��∠�=∠�𝐶+10°
∠�=105°∠�−∠�𝐸
A.B.C.D.
【分析】1本15题°主要考查了平行95线°的判定和性质,平行90公°理的推论,熟练掌握85平°行线的判定和性质是解题的关
键.
过点作,则,得到,,进而得出,
计算即�可�得�到∥�答�案.𝐸∥��∥��∠�𝐸=∠���∠�=∠���∠�𝐶=105°+∠�𝐸
【详解】解:如图,过点作,
���∥𝐸
,
,∵𝐸∥��
∴𝐸∥��∥��,,
∴∠�𝐸=∠���∠�=∠���,
∴∠�𝐶=∠���+∠,���=∠�+∠�𝐸=105°+∠�𝐸
∵∠�=∠�𝐶+10°.
∘
∴故∠选�:−A∠.�𝐸=∠�𝐶+10°−∠�𝐸=105+∠�𝐸+10°−∠�𝐸=115°
【变式1-3】【问题初探】
()数学活动课上,王老师给出如下问题:如图,,点在,之间且点在点右侧,求证:
1;1𝐴∥𝐶�𝐴𝐶��∠���=
【∠类��比�探+究∠�】��
()李明对王老师给出的问题进行了改编:如图,,点在,之间且点在点左侧,直接写
出2,,之间的数量关系;2𝐴∥𝐶�𝐴𝐶��
【学∠以��致�用】∠���∠���
()如图是超市购物车,图是其侧面示意图,已知,,测量得
知33,,4求的度数.𝐴∥𝐶��⊥𝐶
∠𝐴�=75°∠���=115°∠�𝐸
【分析】()如图,过点作,可得,,即得,进而即可求证;
()如图1,过点1作�,�可�得∥𝐴∠���=∠��,�𝐸∥�,�即得∠���=∠�𝐸,进而即可
求2证;2�𝐸∥𝐴∠���+∠�𝐸=180°𝐸∥𝐶∠�𝐸+∠���=180°
()如图,过点作,过点作,可得,,即得
34,即得�到��∥𝐴���∥𝐶,∠又��由�平=行∠公𝐴理�的=推7论5°得∠���+,∠即��可�得=180°
∠���=90°,进而即可∠�求��解=;∠���−∠���=25°��∥��∠���=
∠本�题��考=查2了5平°行线的判定和性质,正确作出辅助线是解题的关键.
【详解】()证明:如图,过点作,则,
11�𝐸∥𝐴∠���=∠�𝐸
∵,
∴𝐴∥𝐶,
∴𝐸∥𝐶,
∵∠���=∠�𝐸,
∴∠���=∠�𝐸+∠�𝐸;
(∠)�如��图=∠,�过��点+作∠���,则,
22�𝐸∥𝐴∠���+∠�𝐸=180°
∵,
∴𝐴∥𝐶,
∴𝐸∥𝐶,
∴∠�𝐸+∠���=180°,
∠���+∠�𝐸+∠�𝐸+∠���=180°+180°
即;
(∠)�如��图+∠,�过��点+∠作���=3,60过°点作,
34���∥𝐴���∥𝐶
∴,,
∵∠���=,∠𝐴�=75°∠���+∠���=180°
∴��⊥𝐶,
∴∠���=90°,
∵∠���=180°,−∠���=90°
∴∠���=115°,
∵∠𝐸�=,∠���−∠���=115−90°=25°
∴𝐴∥𝐶,
∴��∥��,
∴∠���=∠𝐸�=25°.
考∠点�五𝐸:=平∠行�线��中+多∠结�论��问=题75°+25°=100°
例5.如图,在四边形中,,点在的延长线上,连接交于点,
点在上,连接,,已𝐴知��𝐴∥�,�����;�下列�结�论:�①,∠𝐸�与=55°
互为�,同�位�角�;②��;��③平∠分𝐸�=;10④°∠���=∠�.��其,∠中�所��有=正∠确��结�论的序号为∠���.∠�𝐶
��∥����∠𝐸�∠���=50°
【分析】本题考查同旁内角,对顶角相等,角平分的定义,平行线的判定和性质,根据同旁内角的定义判断
①,根据内错角相等两直线平行判断②,进而根据平行线的性质以及已知条件判断③,根据已知条件结合
角平分线的定义得出,即可判断④,即可求解.
∠���=∠𝐸�=57.5°
【详解】解:与位于之间,的右侧,与互为同旁内角,故①错误;
∵∠���,∠�𝐶𝐶,𝐶��∠���∠�𝐶
∴∠���=,∠故��②�正确;
∵��∥��,
∴𝐴∥𝐶,
∵∠𝐸�=∠���,
∴∠���=∠���,
∴∠𝐸平�分=∠��;�故③正确;
∵��∠𝐸�
∴∠𝐸�=55°
∵∠���=∠𝐸,�=55°
∴∠𝐸�=10°,
∴∠���=∠���+∠𝐸�=55°+10°=65°
∵𝐸�平=分180°−65°=115°
∴��∠𝐸�
1
∵∠𝐸�=,2∠𝐸�=57.5°
∴𝐴∥𝐶,故④错误
故答∠�案��为=:∠②�③��.=57.5°
【变式1-1】如图,,点,在直线上(在的右侧),点在直线上,,为线段
上的一点,连接�,�∥�,��与�的�角�平分�线交�于点,且点�在直线𝐶,之��间⊥,�下�列结�论:��
①��𝑃;②∠𝐸�∠𝑃�;③若��,�则�𝐶;④
若∠���+∠𝑃�=,9则0°∠���+2∠�𝑃=.2其7中0°正确的∠结𝑃论�是=2∠𝑃�.3∠���+∠𝑃�=270°
1
∠𝑃�=�∠𝑃�∠���+�∠𝑃�=90°
【分析】本题主要考查了平行线的性质,角平分线的定义等知识点,作辅助线求得,是
解此题的关键.①过点作,利用平行线的性质以及已知即可证明;②利用∠角�平��分+线∠的𝑃性�质=以9及0°平行
�𝑆∥𝐴
线的性质得到,,结合①的结论即可证明;③由已知得
到∠3=,2结∠合2①∠的𝑃结�论+即2∠可1证+明∠;3=④1由8已0°知得到,结合①的结论即可证明.
【详∠解𝑃】�解=:3∠①𝑃过�点作,如图:∠𝑃�=(�+1)∠𝑃�
�𝑆∥𝐴
,,
,∵�,�∥𝐶∴𝐴∥𝑆∥𝐶
∴∠���=∠,�即𝑆∠𝑃�=∠�𝑆,
∵��⊥𝑃∠�𝑃=,∠故�①𝑆正+确∠;�𝑆=90°
∴②∠∵���+∠,𝑃�平=分90°,平分,
𝐴∥𝐶��∠𝐸���∠𝑃�
,,
,∴∠𝐸�=∠2∠𝑃�=∠1
∴∠3=∠𝐸�+∠2=2∠2,
∠即𝑃�+∠𝑃�+∠1+∠3=∠,𝑃�+2∠1+∠3=180°
2∠1=180°−2∠2−∠𝑃�,
∴2∠2+2∠1=180°−∠𝑃�,
∵∠�𝑃=180°−(∠2+∠1),
∴2∠�𝑃=360°−2(∠2+∠1)=360°−(180°−∠𝑃�)=180°,+故∠�②��正确;
∴③∠���+2∠�𝑃=,∠���+180°+∠𝑃�=180°+90°=270°
∵∠𝑃�=2∠𝑃,�
∴∠𝑃�=3∠𝑃�;
∴3∠���+∠𝑃�=3∠,��故�③+正3∠确�;��=3(∠���+∠𝑃�)=3×90°=270°
3④∠���+∠𝑃�=27,0°
∵∠𝑃�=�∠𝑃�
,即,
1
∴∠𝑃�=(�+1)∠𝑃�,∠𝑃�=�+1∠𝑃�
∵∠���+∠𝑃�=90°,故④不正确.
1
综∴∠上�,��①+②�③+1正∠�确��,=,90°
故答案为:①②③.
【变式1-2】如图,,F为上一点,,且平分,过点F作于点G,且,
则下列结论:①𝐴∥𝐶;②𝐴平分��∥�;�③��∠𝐸�;④��⊥��;∠�⑤��=2∠�
,其∠中�正=确30的°是��∠�填��序号)∠.𝐸�=∠���∠𝐸�+∠���=∠���2∠�+
∠���=90°
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义,熟练掌握平行线的性质是解题关键.
先根据平行线的性质可得,从而可得,再根据平行线的性质可得,
代入计算即可判断①;根据��平⊥行�线�的性质可得∠𝐸�+∠���=90,°由此即可判断⑤;过点E作∠�=∠�,��根
据平行线的性质证明即∠可�判��断=④∠;�根=据
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