2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题01 相交线与平行线 (8个知识点+7个核心考点+复习提升) (学生版)

专题01相交线与平行线内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破【知识点1两条直线相交】【邻补角的概念与性质】1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线.2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.3.性质：邻补角互补.【对顶角的概念与性质】1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.2.性质：对顶角相等.【典例1】如图直线AB,CD,EF相交于点O，是∠AOC的邻补角是，∠DOA的对顶角是，若∠AOC=50°，则∠BOD=度，∠COB=度．【知识点2两条直线垂直】【垂直的定义】1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.【垂线的画法及性质】1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线.一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.【典例2】已知三角形ABC，用直角三角板过点A作直线BC的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（

）A． B．C． D．【垂线段最短】1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段.2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短.【典例3】如图，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（

）A．4.5 B．4.8 C．5 D．6【点到直线的距离】定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.【典例4】在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线OB的距离的是（）A． B．C． D．【知识点3两条直线被第三条直线所截】1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．【典例5】如图所示的八个角中，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．【知识点4平行线的概念】【平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．【平行线的基本事实及其推论】（1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【典例6】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥c，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a【知识点5平行线的判定】定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．【典例7】如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠1+∠ACE=180°；⑤∠5=∠D．其中，能判定AD∥BE的条件有（A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【知识点6平行线的性质】定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．【典例8】如图，OP∥QR∥ST，若∠2=100°，∠3=120°，则∠1=．【知识点7定义、命题、定理】命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.像这样的例子叫作反例.【命题与证明综合应用】（1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理.（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如本章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明.（3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方法.【典例9】命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角．(1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式；(2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．【知识点8平移】【平移定义】1.定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移．2.平移的条件：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离.【平移的性质】（1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同.（2）平移后，新图形和原图形对应线段平行(或共线)且相等；对应角相等；对应点所连线段平行(或共线)且相等.【平移作图】（1）定：确定平移的方向和距离；（2）找：找出原图形中的关键点；（3）移：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段得到关键点平移后的对应点；（4）连：按原图形顺序依次连接各个对应点得到的图形即为平移后的图形.【典例10】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，若平移距离为7，则阴影部分面积为．考点一：相交线中的角度计算例1．如图所示，直线AB,CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，已知∠AOC:∠EOC=1:4．(1)若OF平分∠BOE，求∠COF的度数；(2)若∠AOF的度数比∠EOF的度数的3倍多54°，试判断OC与OF垂直吗，并说明理由．【变式1-1】如图，直线AB、DF相交于点O，OC⊥DF，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；(2)若∠AOC=α．①用含α的代数式分别表示∠AOF和∠DOE；②求∠DOE+1【变式1-2】如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠AOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．(1)如果∠BOC=42∘，求(2)设∠BOC=α，求证：∠EOP=1【变式1-3】若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．(1)若∠BOD=58°，求∠AOF和∠EOF的度数？(2)若∠BOD是任意角α(0°<α<90°)，求∠EOF的度数？(3)请猜想，∠EOF度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠EOF度数是多少？考点二：填写推理依据，完善证明过程例2.完成下面的推理填空：如图，已知AB∥CD,∠1=∠2，∠3=∠4证明：∵AB∥CD，∴∠2=∠BAE（_________）．∵∠BAE=∠3+_________，∴∠2=∠3+_________，∵∠3=∠4，∴∠2=∠4+∠CAE=∠CAD，又∵∠1=∠2，∴∠CAD=_________，∴AD∥_________（_________）．∴∠D=∠DCE．（_________）．【变式1-1】如图，∠1+∠2=180°,∠DEF=∠A,∠BED=60°，求∠ACB的度数．解：∵∠1+∠2=180°（已知）∠2+∠BDC=180°（）∴∠1=∠BDC（）∴AB∥（∴∠DEF+∠ADE=180°（）又∵∠DEF=∠A（已知）∴∠A+_____=180°（等量代换）∴AC∥DE（∴∠ACB=∠BED=60°（）【变式1-2】将下面的说理过程补充完整．已知：如图，∠1=∠C,EF⊥BC，垂足为F,∠2+∠3=180°．（1）试说明∠2=∠4；（2）试求出∠ADC的度数．解：（1）∵∠1=∠C（已知），∴DP∥∴∠2=∠4（______________）．（2）∵EF⊥BC（已知），∴∠EFC=90°（垂直的定义）．∵∠2=∠4（已证），∠2+∠3=180°（已知），∴∠3+∠4=180°（______________）．∴AD∥∴∠ADC=∠______________．∴∠ADC的度数为______________．【变式1-3】把下列推理过程补充完整：如图，已知MN⊥BC交BC于点M，AD⊥BC交BC于点E，∠1=∠C，∠2=∠3，求证：AB∥证明：∵MN⊥BC，AD⊥BC，∴∠CMN=90°，∠CED=90°（①）．∴∠CMN=∠CED（等量代换）．∴MN∥ED（②）．∴∠3=③（两直线平行，同位角相等）．∵∠2=∠3，∴∠2=∠CDE（等量代换）．∴EF∥④∵∠1=∠C，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴AB∥EF（⑤）．考点三：平行线的判定与性质证明例3.如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，点F，G在AC边上，连接DE，DF，GE，已知∠AFD=∠DEB，∠DFC+∠C=180°．(1)求证：DE∥(2)若∠C=38°，EG平分∠DEC，求∠EGC的度数．【变式1-1】如图，在三角形ABC中，点D,F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1=∠B，∠2+∠3=180°．(1)判断EH与AD的位置关系，并说明理由；(2)若∠DGC=58°，且∠H=∠4+10°，求∠H的度数．【变式1-2】已知：如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，∠AMD=∠AGF，∠1=∠2．求证：【变式1-3】如图，已知∠1+∠BDE=180°，∠2+∠4=180°．

(1)证明：AD∥(2)若∠3=90°，①∠4=140°，求∠BAC的度数；②求证：∠FED−∠BAC=90°考点四：平行线中的拐点问题例4.如图，AB∥CD，∠CDP=120°，∠P=3∠A，则∠P=【变式1-1】如图，已知：AB∥CD，∠A=x°，∠C=y°，∠E=z°．则x，y，z之间的数量关系是（A．x+y+z=180 B．x+y−z=180C．x+z=y D．x+y+z=360【变式1-2】如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，G，C，D，E，F顺次首尾连接．若B，G，C三点共线，AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B=∠BCD+10°，∠D=105°，则∠B−∠CGF为（

）A．115° B．95° C．90° D．85°【变式1-3】【问题初探】（1）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A右侧，求证：【类比探究】（2）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图2，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A左侧，直接写出∠AEC，∠BAE，【学以致用】（3）如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知AB∥CD，FD⊥CD，测量得知∠ABE=75°，∠DFE=115°，求考点五：平行线中多结论问题例5.如图，在四边形ABDC中，AB∥CD，点E在CA的延长线上，连接DE交AB于点F,∠EFA=55°，点P,Q在CD上，连接FP，FQ，已知∠PFD=10°，∠FQP=∠QFP,∠BDE=∠AEF；下列结论：①∠FEA与∠ECD互为同位角；②CE∥BD；③FQ平分∠AFP；④∠FQD=50°．其中所有正确结论的序号为【变式1-1】如图，AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的右侧），点Q在直线CD上，EH⊥HQ，I为线段EH上的一点，连接FQ，IQ，∠AFQ与∠HQF的角平分线交于点G，且点G在直线AB，CD之间，下列结论：①∠AEH+∠CQH=90°；②∠AEH+2∠FGQ=270°；③若∠IQH=2∠CQH，则

【变式1-2】如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG=2∠D，则下列结论：①∠D=30°；②FH平分∠GFD；③∠HFD=∠DFB；④∠AFE+∠CHE=∠FEH；⑤【变式1-3】如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，∠CED=90°，CE平分∠AEG，且∠CGE=50°，则下列结论：①∠AEC=75°；②DE平分∠GEB；③∠CEF=∠GED；④∠FED+∠BEC=180°；其中正确的有考点六：平行线中的判定与性质综合探究题例6.综合与探究如图，AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，(1)如图1，E是直线AB，CD之间一点，连接PE，QE．试说明∠PEQ=∠APE+∠CQE．(2)如图2，F是直线AB，CD之间一点，连接PF，QF．若∠APF=11°，∠DQF=72°，求∠PFQ的度数．(3)如图3，PF平分∠APE，QF平分∠DQE，试探究∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．【变式1-1】【探究结论】如图1，AB∥CD，G为平行线内一点，连接BG、DG得到∠BGD，经推理证明可得【探究应用】利用以上结论解决下面问题：(1)如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G，∠G的度数是________；(2)如图3，EI和EK为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点I和K，试说明∠FIE+∠K=180°；(3)如图4，点Q为线段EF（端点除外）上的一个动点，过点Q作EF的垂线交AB于R，交CD于J，∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，则∠EPJ=________∘．【变式1-2】已知直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三板PMN∠P=90°,∠PMN=60°按如图1所示位置摆放，使N,M分别在AB,CD上，P在AB,CD(1)比较：∠PNB+∠PMD_______∠P（填“>”“<”或“=”）；(2)如图2，分别画∠BNM,∠PMD的平分线，交于点Q，求∠NQM的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，若NE平分∠ANP，交CD于点E，过点N作NF∥MQ，交CD于点F．请在图3中补全图形，并判断【变式1-3】已知直线AB∥CD，点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG．(1)如图1，若∠BMG=α，∠DNG=β，试说明(2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分∠BMP，ND平分∠GNP．若∠BMG=35°，求∠G+∠P的度数；(3)如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN，若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为∠AMP的三等分线，NP平分∠CNG，∠MGN=100°−2∠P，则∠AMP=_________．考点七：：平行线中的动态旋转问题例7.如图1，点O为直线AB上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点O处，直角边OD，OE分别在射线OA，OB上，且∠COD=60°，∠EOF=45°．(1)将图1中的三角板OEF绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得OF落在射线OB上，此时三角板OEF旋转的角度为___________度．(2)继续将图2中的三角板OEF绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得OF在∠AOC的内部，试探究∠AOE与∠COF之间满足什么等量关系，并说明理由．(3)在上述直角三角板OEF从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒6°的速度旋转，当直角三角板OEF的边所在的直线恰好平行于直角三角板DOC的一边时，直接写出此时三角板OEF绕点O的运动时间tt>0【变式1-1】如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．AI(1)求∠DEQ的度数．(2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当BG落在射线BM上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当BG落在射线BN上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当∠GBN的角平分线与∠HEK的角平分线平行时t的值．【变式1-2】如图，直线PQ∥MN，一副三角板（∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°）按如图1放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分(1)求∠DEQ的度数；(2)如图2，若将△ABC绕B点以每秒6°的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒0≤t≤60；①在旋转过程中，若边BG∥CD，求②若在△ABC绕B点旋转的同时，△CDE绕E点以每秒3°的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出EK与BG平行时t的值．【变式1-3】如图，已知AB∥CD,P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE=120°．(1)∠AEP=．(2)如图2，射线PN从PF出发，以每秒45°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒20°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．①当∠MEP=10°时，请求出∠EPN的度数；②当EM∥PN时，请求出1．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边a∥b的有（

）①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°；⑤∠1+∠4=90°．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．下列命题中，①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种；④不相交的两条直线是平行线；⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为补角是假命题的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，CF，BG交于点A，FG∥DE∥BC，∠FAG=40°，AC平分∠BAD，若设∠ADE=x°，∠G=y°，则x和y之间的关系是(

)A．x+2y=180 B．x−2y=60 C．x−y=80 D．x+y=1504．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB，∠FGH=2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH=2∠EHG；③∠EHG+∠EFM=90°；④3∠EHG−∠EFM=180°．其中正确的结论是（A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③5．如图，图①是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是．6．直线AB,CD,EF相交于点O，且CD⊥EF，OG平分∠BOF．(1)如图1，①∠AOD的余角有_______．（填写所有符合情况的角）②若∠AOD:∠COG=2:3，求∠AOD的度数．(2)如图2，请直接写出∠AOD与∠COG的数量关系为__