2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题03 平面直角坐标系 (5个知识点+6个核心考点+复习提升) (学生版)

专题03平面直角坐标系

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

【知识点1平面直角坐标系有关概念】

1.平面直角坐标系的概念：

平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。

①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。

②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。

③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。

2.象限：

如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到

第二象限、第三象限以及第四象限。特别地，坐标轴不属于任何一个象限。

【典例1】在平面直角坐标系中，点P1m,92m（m为实数）不可能在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【知识点2平面直角坐标系内点的坐标及其特征】

1.点的坐标：

横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标；

纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标；

2.象限内的点的坐标特点：

第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为（+，+）。

第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。

第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。

第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。

3.坐标轴上的点的坐标特点：

①x轴上的所有点的纵坐标等于0，可表示为（x，0）。

②y轴上的所有点的横坐标等于0，可表示为（0，y）。

4.象限角平分线上的点的坐标特点：

①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等。

②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。

5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点：

平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标纵坐标相等。

6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点：

平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标横坐标相等。

7.点到坐标轴的距离：

点到横坐标轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值。

点到纵坐标轴的距离等于该点的横坐标的绝对值。

【典例2】已知直线MNx轴，M点的坐标为1,2，并且线段MN5，则点N的坐标为（）

A．4,2B．6,2

C．4,2或6,2D．1,7或1,3

【典例3】已知点a1,2b4在y轴上，点B3a6,b4在x轴上，则点Ca,b的坐标为．

【典例4】在平面直角坐标系中，将点P向左平移了5个单位后得到点P，点P到x轴的距离为6，到y轴

的距离为8，请你写出符合条件的所有点P的坐标．

【知识点3利用坐标表示位置】

1.建立平面直角坐标系表示地理位置：

第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。

第二步：根据具体问题确定单位长度。

第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。

2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置：

以一点为参照点，用某个方向加上与该参照点的距离来确定一点的位置。

【典例5】在如图的中国象棋盘中若建立直角坐标系后，棋子“士”所在位置的坐标为1,1，棋子“帅”所在

的位的坐标为0,1，那么棋子“炮”所在位置的坐标为（）

A．3,2B．3,2C．3,2D．2,3

【知识点4点在坐标系中的平移】

左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标不变，横坐标进行加减。向右平移时加，

向左平移时减。

巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。

上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减。向上平移时加，

向下平移时减。

巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。

【典例6】平面直角坐标系中，线段AB经过平移得到线段AB，若点A(1,2)的对应点A的坐标为(1,1)，则

点B(m,n)的对应点B的坐标为（）

A．(m2,n3)B．(m2,n3)C．(m2,n3)D．(m2,n3)

【知识点5图形在坐标系中的平移】

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把

原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形

就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

【易错点剖析】

平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标

发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，

横不变”．

【典例7】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，VABC的顶点均在格点上．

(1)请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为0,3和4,2，并写出点C的坐标为_______．

(2)在（1）的条件下，VABC中任意一点Px0,y0经平移后对应点P1x02,y04，将VABC作同样的平移

得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标______．

考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征

例1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为2m1,m5．

(1)若点A在第一象限内，且到x轴、y轴的距离之和为7，求点A的坐标；

(2)若将点A向右平移2个单位长度后，恰好落在y轴上，求点A的坐标．

【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为3a2,a6．

(1)若点P在第二象限，且到两个坐标轴的距离相等，请求出点P的坐标；

(2)若点M的坐标为2,3，且PM∥x轴，试求点P的坐标．

【变式1-2】已知点P2a2,a5，解答下列各题：

(1)若点P在x轴上，求出点P的坐标；

(2)若点Q的坐标为4,5，直线PQ∥x轴，求出点P的坐标；

(3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a的值．

【变式1-3】已知点P2x,3x1是平面直角坐标系中的点．

(1)若x938，求点P的坐标；

(2)若点P在第一象限的角平分线上，求x的值；

(3)若点P到两坐标轴的距离之和为14，求x的值．

考点二：坐标系中的平移变换

例2.已知三角形ABC的边AB上任意一点Px0,y0经过一次平移后的对应点为P1x04,y03．

、、

(1)将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1，并直接写出A1B1C1的坐标；

(2)三角形A1B1C1的面积为___________；

(3)连接AC1，D为AC1上的动点，直接写出CD长的最小值．

【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中三角形ABC，其中A(2,3),B(4,1)．

(1)按照题目条件，在图中建立平面直角坐标系，写出点C的坐标；

(2)点Px0,y0是三角形ABC上任意一点，将三角形ABC平移，得到三角形A1B1C1,Px0,y0平移后的对应

点为P1x05,y03．画出平移后的三角形A1B1C1，并写出点A1,B1,C1的坐标．

【变式2-2】在平面直角坐标系中，三角形ABC各顶点的坐标分别为A1,4，B4,1，C1,0，若将三

角形ABC平移后得到三角形A1B1C1，点A的对应点A1的坐标是3,a，点C的对应点C1的坐标是b,2．

(1)直接写出a，b的值及点B1的坐标；

(2)画出平移后的三角形A1B1C1；

(3)若点P在x轴上，且三角形ACP的面积等于三角形A1B1C1面积，请直接写出点P的坐标．

【变式2-3】如图，三角形ABC中任意一点Pm,n经平移后的对应点为Qm4,n2，将三角形ABC作同

样的平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．

(1)画出三角形DEF，并直接写出点D、E、F的坐标；

(2)请说明三角形DEF是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；

(3)若点Mab,b是三角形ABC内部一点，则平移后对应点N的坐标为2b,2ba，求点M的坐标．

考点三：坐标系中的新定义问题

例3.在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称

点是点的“级关联点”．例如，点��的,�“4级关联�点”点的坐�标�为+�,�+���，即

��．��−1,3�−1×4+3,−1+4×3

(�1)−若1点,11的“2级关联点”点在轴上，求点的坐标；

(2)在（1�）2的,�条件下，若存在点�，使�得轴�，且，求点的坐标．（提示：先由（1）求出点

的坐标）���∥���=5��

【变式3-1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点

到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．�����

(1)�点�的“长距”为_____；�

(2)若点�−3,5是“完美点”，求的值；

(3)若点�4−2�,−2的长距为4，且点�在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”．

【变式3�-2】−2在,3平�−面2直角坐标系中，点�是坐标原点，定义�点和点的9相−关2�系,−数5如下：若�点，，

在一条直线上，则；若点�，，不在一条直线上�，则��．,�如图，已知点�的�坐标�

为，点的坐标�为,�=，0点�为�平面�直角坐标系内一动点，�请,�回=答�下△列��问�题：�

3,0�0,4��,�

(1)_____．

(2)若�,�=，，求点的坐标．

(3)点�在,�第=二象3限�，,�若=0�，且点的纵坐标为，求点的坐标．

��,�=2�,��2�

(4)当时，直接写出点的横坐标．

1

�,�=2�,��

【变式3-3】若点的坐标满足，我们称点为“横和点”．

(1)已知点�为�“横,�和点”，求的�值−；2�=−2��,�

(2)在平面直�角�,3坐标系中，将三角�形平移得到三角形，点的对应点分别是点，已知点

，点，点，点�为��“横和点”，点的�横�坐�标为�,�．,��,�,�

�①若�,点�为“横�和0,点�”，且�三�角,�形�的面积为8，求点�的坐标；�

�����

②若点的坐标是，点在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由．

11

考点四�：坐标系中点�−的�坐−标3规,2律�探+索4����

例4.如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，

�2,24,0

第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（）

6,4

A．B．C．D．

【变式4-21】02如5,2图，在平面直4角05坐0标,0系中，把一个点2从02原4,点4开始向上平移14个05单0,位2，再向右平移1个单位，

得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个

单位，再�1向(1左,1)平移3个�1单位，得到点；把点向下平移4个单位�，2(再−向1,右3)平移4�个2单位，得到点

33

，…；按此做法进行下去，�则(点−4,0)的坐标�为（）

�4(0,−4)�2025

A．B．C．D．

【变式4-−2】20如24图,1，在平面直角20坐24标,1系中，有一个“机−器20跳25蚤,1”，第一次从点2025,1跳动至点，第二次

从点跳动至点，第三次从点跳动至点，第四次从点�跳1动,0至点�1，−…1,…1依此规律

跳动下�1去，则点�22,与1点之间的�距2离是�3−2．,2�3�43,2

�2025�2026

【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，

，，，…，根据这个规律，第121个点的坐标为．1,02,02,1

1,11,22,2

考点五：坐标与图形综合（已知面积求点的坐标）

例5.如图，在平面直角坐标系中，已知三点，且a、b满足关系式

，．�0,�,��,0,�3,��−2+�−

2

3=0��=2��

(1)求a，b的值．

(2)求四边形的面积．

����

(3)是否存在点使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不

1

存在，请说明理�由�．,−3�△�������

【变式5-1】在平面直角坐标系中，，，．

�0,���,0�=3−�+�−3−4

(1)求点，点坐标；

(2)如图�1，�将线段平移，使点平移到，点平移到，在线段上，

过作轴于点��，延长至�使�，�若三角形�1,−的5面积�等于1�0，�求点坐标；

(3)�如图��2，⊥将�线段�平移使点��平�移到��=��，点平移到���，，点�在直线上，且

△���

，直接�写�出点坐标�．�4,1��0,−2�−2,4����=

5

2�△���+6�

【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，、，其中，满足．

��,−1�1,����−5+�+3=0

(1)求、的点坐标；

(2)如图��，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值；

(3)如图1，过点��,，2�+分2别向轴作垂线，垂足分别△为���、，在坐标9平面�内是否存在点，使得

与2的面积相�等�，且�与的面积相等�？若�存在，求出点坐标；若不存�在�，,�请说明理△由�．��

【变△式��5-�3】在平面直角坐△标�系�中�△���、，a、b满足�．

�−�,���,�2�−4+3�+�−12=0

(1)如图1，求点A、B的坐标；

(2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标；

(3)如图3，将线段沿x轴的△正�方��向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、

C，在坐标平面内是��否存在点，使得与的面积相等，且与的面

积相等？若存在，请求P点的�坐�标,�；0若<不�存<在6，请说明△理�由��．△���△���△���

考点六：坐标与图形综合（探究角的数量关系）

例6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足

��,0��,0�+3+

，现同时将点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到点A，

B�的−对2应�+点7C=，0D，连接，．

����

(1)请写出A，B，C，D四点坐标；

(2)在y轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；

若不存在，试说明理由．������

(3)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不

与，重合）�，请直接��写出，，�的��数量关系．�������

��∠���∠���∠���

【变式6-1】如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，，，，且满足（

△�����0��3��0�+

），线段交轴于点．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴

2

方�向运+动�（−点2+不4与−点�重=合0）．�������

��

(1)求点、、的坐标．

���

(2)在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存

2

在，请�说明理由．�△���△���3�

(3)如图2，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问

在点的运动过程�中�，的度数是否发生变�化，��若∥变�化�，请说明∠理�由��，若∠不��变�，请求出的�值．

【变式�6-2】如图1，点∠���，且满足．∠���

2

�0,�−3,��,0�−�+8+5−�=0

(1)直接写出M、N的坐标：M________，N________；

(2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半

轴运动，直线交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒．

①当时，�求�,��的面积；

4

②当�=3时△．���

（Ⅰ）用1代<数�<式2表示的面积和；

△���△���

（Ⅱ）求证：三角形三角形；

����=����

③如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点G为的角平分线上一

∠���+∠���=180°�����∠���

点，且满足，请将图2补全，并直接写出、、之间的数量关系．

1

∠���=2∠���∠���∠���∠�

【变式6-3】已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段

使点与原点重合，点的对应点为点．��⊥����,��−6+�−3=0��

���

(1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______；

(2)如图（），�点是线段上�的一个动点．�

①连接1，利用��,�，�，�的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个

关系式；��△���△���△�����

②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标．

(3)如图�（），�以∥�为边�作��，�交=线4段△于�点��，是线段5上一动点，�连接交于点，

当点在线2段上�运�动过程中∠�，�试�=说明∠���的值�是�定值�，并�求出该定��值．�����

∠���+∠���

���∠���

1．大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只

大雁F，G的坐标为，那么头雁A的坐标是（）

�−1,4,�−1,−2

A．B．C．D．

2．下列结3,1论正确的是（）4,14,25,1

A．点在第四象限

B．点�在−2第0二24象,20限2，5它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为

C．平面�直角坐标系中，点��位于坐标轴上，那么�−4,3

D．已知点，��，,�则直线轴��=0

3．如图，在平�面−直4角,6坐标�系−中3,6，内部��有∥一�点，若将先向右平移，再向下平移，平移后

点M对应点的坐标是△��，�已知点A的�坐�标,是�，△则��平�移后点的坐标是（）

′′

��+2,�−3−3,2�

A．B．C．D．

4．如图，−3已,2知两点的坐−标2分,−别3为−1,−，1将线段平移得−到5,线−段2，若点的对应点是

，则点�,的 �对应点的坐标是（�−4,2）,�2,−1�����

�−1,4��

A．（5，2）B．（5，1）C．（4，1）D．（4，2）

5．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、

处，点在x轴上，再将绕△点���顺时针旋转到△的�位�1置�1，点在x轴上，将�绕1点�1

顺时针�旋1转到的△位�置�1，�1点在�1x轴上，依次进△行�1下�1去�2…，若点�2，△，�1�1�2，则�2

点的坐标△为�（2�2）�2�2��=1.5��=2��=2.5

�2025

A．B．C．D．

6．对于平60面70直,0角坐标系6中07的2,任2意一点，6给07出6,0如下定义：记6078,2，，将点

与点称为点M的一��对�卫星点．例如�，点�,�与点为�点=�+��的=一−对�+卫�星点．将�点�,�

��,�向右平移m个单位长�度1,，−5向下移�动−m5个,1单位，�得3到,−点2，若点的一对卫星点

′′

�重合2�，−则1,−�+1�．>0��

7．如图，�在=平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为