2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题05 不等式与不等式组 (5个知识点+7个核心考点+复习提升) (学生版)

专题05不等式与不等式组

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

【知识点1不等式】

1．不等式的定义：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

（1）不等式表示方法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。

一般用x>a、x<a、x≥a、x≤a来表示。

（2）数轴表示法：

4．解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．

【典例1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式

2

的有（）3<54�+5>0�=3�+��≠−4�+2≥�+1

A．4个B．3个C．2个D．1个

【典例2】用不等式表示：

(1)x的与3的差大于2；(2)与3的和小于或等于零；(3)a的2倍与4的差是正数；

1

24�

(4)b的与c的和是非负数；(5)x与17的和比x的5倍小．

1

2

【知识点2不等式的性质】

1．不等式的性质1：

不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

即若a＞b，则ac＞bc。

2．不等式的性质2：

不等式的两边同时乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

ab

若a＞b，c＞0，则ac＞bc(＞)。

cc

3．不等式的性质3：

不等式的两边同时乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

ab

若a＞b，c＜0，则ac＜bc(＜)。

cc

【典例3】有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则

22

；④若，则�>�．其�中�正>确��的是�+�（>填2�序+号1）．�>��>��=�

22

��>����>���>�

【知识点3一元一次不等式（组）的概念】

1．一元一次不等式的概念：

只含有1个未知数，且未知数的次数是1的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母

不含有字母。

2．一元一次不等式组的概念：

把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。

3．一元一次不等式组的解集：

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。

4．一元一次不等式组的解集的求法：

先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的公共部分。

5．不等式组的解的情况与图示（a<b）：

x＞a

①同大取大：，图示：，解集为x>b。

x＞b

x＜a

②同小取小：，图示：，解集为x<a。

x＜b

x＞a

③大小小大中间找：，图示：，解集为a<x<b。

x＜b

x＞b

④大大小小无解答：，图示：，解集为无解。

x＜a

【典例4】有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一

2�−1

次不等式有（填序号−）4<．0�+2>2��−3>2�π>53�>−3

【典例5】已知是关于的一元一次不等式，则的值为．

�−2

�−3�≤5��

【典例6】将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）

−12�+9≤3

5�−1<0

A．B．

C．D．

【知识点4解一元一次不等式（组）】

解一元一次不等式具体步骤：

①去分母：在不等式两边同时乘上分母的最小公倍数。（根据等式的性质2）

②去括号：利用去括号的法则去括号。

③移项：把含有未知数的移到等号的左边，常数移到等号的右边。（根据等式的性质1）

④并：利用合并同类项法则进行合并。

⑤系数化为1：不等式两边除以系数或乘上系数的倒数。当系数为负数时，不等号方向一定要改变。

（根据不等式的性质2或3）

【典例7】解不等式组：，并求出不等式组所有整数解的和（完成下列各空）．

3−23�−�2−2≤9①

4<1②

(1)解不等式①，得___________；

(2)解不等式②，得___________；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)原不等式组的解集为：___________．

(5)原不等式组所有整数解的和为：___________．

【知识点5用一元一次不等式（组）解决实际问题】

列不等式（组）解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关

键词的含义；

（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；

（5）解：解出所列的不等式（组）的解集；

（6）答：检验是否符合题意，写出答案.

考点一：由不等式（组）的解集求参

例1.若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是（）

�+57

2>−�−2�>2�+1�

A．B．C．D．

5533

�≤2�≤−2�≤−2�≤2

【变式1-1】已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（）

�−�≥�

4≤�<6

A．，B．，2�−�<2C�．+1，D．，

【变式1�-2=】7关于�x=的−不3等式�组=6�=−3的解集�中=每−一3个�值=均6不在�=−3的�范=围7中，则a的取值范

2�−�>3

−1≤�≤5

围是（）2�+8>4�

A．或B．或

C．�<1或�>4.5D．�≤1或�≥4.5

�>4�<1.5�≥4�≤1.5

【变式1-3】如果不等式组的解集是．

�+8<4�−1

�>3

(1)求的取值范围；�>�

(2)不等�式的解集为，求m的取值范围．

考点二：由�不−等1式�（>组�）−中1的整数解求�<参1

例2．关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（）

A．2�+�≤0B．

C．−6<�≤−4D．−6<�<−4

【变式−6】≤若�关≤于−4的不等式组−6≤�<−4恰有三个整数解，则实数的取值范围是（）

2-1x��+1a

2+3>0

A．B．3�+5�+4>C．4�+1+3�D．

1331

0<�<21<�≤2−1≤�≤21<�<2

【变式2-2】如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（）

A．�B．2�−5≤2�+C1．D．�

【变式1≤】�若≤关2于的不等1式<组�<2�的≥所1有整数解之和等于�>1，则所有满足条件的整数的

2-3120

23�−2≤�+2

值之和为（）��

5�+3>�+2�

A．15B．21C．D．24

考点三：由不等式（组）有解和无解情况求参−6

例3．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（）

�−�≥0

��

A．B．7−3�−C1．>4D．

�>−2�≥−2�<2�≤2

【变式3-1】若关于x的不等式组1无解，则的取值范围是（）

−2(�−�)>0

2�+1�

A．B．�−1≥3C．D．

�≥4�≤4�>4�<4

【变式3-2】已知关于x的不等式．

4�−��1

4>4�−1

(1)当时，求该不等式的正整数解．

(2)当�a=取1何值时，该不等式有解？并求出其解集．

【变式3-3】已知关于x的不等式．

7−3��

4+��>2

(1)当时，求该不等式的解集；

(2)a符�合=什5么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）．

考点四：由不等式（组）与方程（组）综合求参

例4．已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（）

�+3�=4−�

��−3≤�<1

①当时，、的值互为相反数；②�−�=3�是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程

�=−5

�=−2���=−1�+

的解；④若，则．�=4

3

�=�+2�<02<�≤4

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式4-1】若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组1−�8+2�至多有三个

2−���2≤3−1

��−4=2+2��+�

整数解，则符合条件的所有整数的和为．2+1>�+�

�

【变式4-2】关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组

3�+3≥2�+5��−2�=0

的解中，x的解为整数，那么满足条�−件2的<整�数a的值为．�+�=4

【变式4-3】已知关于x，y的方程组（m是常数）．

�−�=−5

(1)若此方程组的解也是方程2�+的�解=，6�求+常1数3m的值；

(2)若x，y满足，试化�简−：2�=−7；

(3)若x，y满足�>2�，．求1−�−的取�值+范2围．

考点五：不等式�（<组−）1中�新>定1义问题2�−�

例5．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元

一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，

�>−1

�−2=1�=3−1<�<4

�<4

因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．

�>−1

�=3−1<�<4�−2=1

(1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的�<“关4联方程”．

2�+5>0

2�+1=−�

(2)已知关于的方程是不等式组的�−“关3联<−方1程”，求的取值范围．

�−1>0

��+2�=5�

(3)已知关于的方程是关于的不等2�式−组7<−1的“关联方程”，直接写出的取值范

�+2�−1>2�

��−2�=1��

围为______．�−�<3

【变式5-1】定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，

之一互换，得到的方程叫�“换�参方程”，例如：��+��=�的“换�参≠方�程≠”为�或�．��

(1)方程与它的“换参方程”组成的方�程�组+的��解=为�__________；��+��=���+��=�

(2)已知关�+于2�，=的4二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组

成的方程组的�解�恰好是关于，的��二+元�一�=次�方程�+�的+一�=个0解，求�代�+数�式�=�

的值；����+��=�(�+�)�−�(�+�)+

(230)2已5知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方

程���的�“<换�参<方�程+”，4求的(值3�．−�)�+2025�=�+2���

【变(6式+5�-2)】�+定2义02：5�如=果2一�元−一1次方程的解也是一元�一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组

的“浯溪水亦香方程”．例如的解为，不等式组的解集为，因为

�−2>0

2�−6=0�=32<�<52<3<

，所以方程为不等式组，的“浯溪水亦香�方<程5”．

�−2>0

52�−6=0

(1)方程是下列哪些不等式组�的<__5____“浯溪水亦香方程”：（填序号）

①2�+；3=②1；③．

13�−1

�−2>22�+3>42<3

(2)若关�≥于3的方程�+3<0是不等式�组+5>0的“浯溪水亦香方程”，求的取值范围；

3�−6>4−�

�2�−�=2�

(3)若方程，都是关于的�不−等1≥式4组�−10的“浯溪水亦香方程”，其中，

2�

�−2�<�−2

2�+4=03=−1��≠2

求的取值范围．�+5≥�

【变�式5-3】如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）

的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使

2�−1=1�+1>0�=1

得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解

�+�=7�=4

�+1=2>02�+3�>15

可使得�−�=1成立．�=3

(1)方程2�+3�=2×是4下+列3不×等3=式1（7组>）15中_______（填序号）的“偏解方程”；

3�+2=−4

①；②；③；

�+3≥0

2�+1>3�+33�+1≤6

(2)已知关于，方程组是�−不1等<式0的“偏解方程组”，求的取值范围；

2�−�=−41

���−2�>7�

(3)已知关于的不等式组�+2�=5�恰+有35个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的

�+10≥�

���+�=0�

取值范围．�+9<2�

考点六：一元一次不等式（组）解最多至少问题

例6．综合与实践

某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备

在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙

工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，

设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．

【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是米；

甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是米；（用含有字母的代数式表示）

【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？

【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲

队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过

12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？

【变式6-1】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式

计费价格表的一部分信息如下：

自来水销售价污水处理价

每户每月用水量

格格

及以下a元/1.40元/

333

18mmm

超过不超过的部

33b元/1.40元/

18m分30m33

mm

超过的部分6.00元/1.40元/

333

30mmm

[说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费]

已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；=5月份用水+，交水费89元．

33

20m25m

(1)求a，b的值．

(2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为

11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？2%

【变式6-2】随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客

户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车

的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每

辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元．�

(1)求该汽车销售公司单独购进�，型�号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？

(2)因资金紧张，该公司计划以不�超�过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进

价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽�车全部售出，

至少要获利10.5万元，该公司有哪几�种购进方案？哪种方案获得的5%利润最多，最多利润是多少？

【变式6-3】一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电

脑公司购进电脑．����2500

(1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可

以买20台型电脑�．求型电脑和�型电脑的售24价00．0��

(2)这家电脑�公司为提高�型电脑销�量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵

值1000元．该中学计划�只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑�数量一共是台．若要使购买

型电脑的数量是旧电脑数量的�倍，且购买型电脑的实际总费用�不少于元，3则0要在计划的基础上�

再多买台型电脑，此时该中学2需要再拿出�台的旧电脑参加抵值活动，1求00该00中0学至少需要再拿出多少台

1

旧电脑进�行�抵值？3�

考点七：一元一次不等式（组）解方案选择问题

例7．冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市

近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）：

销售数量

销售时段销售收入

A型号B型号

第一天3台4台760元

第二天5台7台1300元

(1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价．

(2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多

少台？

(3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相

应的购进方案；若不能，请说明理由．

【变式7-1】中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，

沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的

土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土

运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨．

(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？

(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费

用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你

作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？

【变式7-2】“保护环境，低碳出行”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买

型和型两种环保节能公交车共10辆．已知购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需650万元；购买

�型公交�车2辆，型公交车1辆，共需350万元．���

（1）求购买型和�型公交车每辆各需多少万元？

（2）预计在该�线路�上型和型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买型公

交车辆，完成下表：���

�数量（辆）购买总费用（万元）载客总量（万人次）

型车

��100�60�

型车

�10−�

（3）若该公司购买型和型公交车的总费用不超过1150万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客

量总和不少于640万�人次�，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？

【变式7-3】某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种

笔记本的销售单价保持不变）

月份销售数量（本）销售数量（本）销售额（元）

甲款乙款

二月份4020880

三月份2040800

(1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元；

(2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620

元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案；

(3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案

获利相同，求的值．�

�

1．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）

A．�B2．−��>2−�C．�<1�D．

2．小明�同>学0早上前要�到<达0班级，出家门时是�<2，已知他家离学校�距>离2为，他跑步的速度为

，走路的8:2速0度为，小明同学至少8:跑00步多长时间才能保证不迟到1，50设0m小明同学跑步时间

为120m/m，in根据题意可列不等6式0m正/确mi的n为（）

�Am．inB．

120�+6020−�<1500120�−20+60�>1500

C．D．

1500−120�1500−120�

�+60<20�+60>20

3．已知实数，，，满足，，，则下列判断错误的是（）

�+�−�−�−�+�

����+�+�<1�=2�=3

A．B．C．D．

31

�=3��>22�+3�=0�<2

4．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（）

�

A．B．C．D．

1<�≤41≤�<42≤�<52<�≤5

5．关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有

6�−4��+>32�−1−1

�2�−3�=�−7�

3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（）