2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第04讲 充分条件与必要条件（3个知识点+5个考点+过关测）（学生版）

第04讲充分条件与必要条件

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1充分条件与必要条件

1、命题

（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。

判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题。

（2）中学数学中许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条

件，q称为命题的结论。

2、充分条件与必要条件

命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题

推出关系pqpq

是的充分条件不是的充分条件

条件关系pqpq

q⇒是p的必要条件q不是p的必要条件

知识点2充要条件

(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果pq，⇒那么p与q⇒互为充要条件⇔．

(2)若pq，但q⇔p，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若p⇒q，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

知识点3从集合角度看充分、必要条件

若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的

充分⊆不必要条件

若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的

必要⊆不充分条件

若A=B，则p，q互为充要条件

若AB或AB，但ABA且ABB

则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解题方法

（1）一方面若“a是有理数”，则必

定有“a是实数”；

另一方面若“a是实数”，则不一定有

“a是有理数”，因为“a可能是无理

数”，

所以“a是有理数”是“a是实数”的充

分条件但不是必要条件；

（2）若x240，则x2，

教材习题01

所以“x240”是“x2”的必要

用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分

条件但不是充分条件；

条件”或“充要条件”填空：

（3）因为x240当且仅当x2，

（1）“a是有理数”是“a是实数”的；

而x2当且仅当x2，

（2）“x240”是“x2”的；

2

2所以“”是“x2”的充要

（3）“x40”是“x2”的；x40

条件；

（4）“ABB”是“A”的．

（4）一方面设A0,B0,1，

则AB00,10,1B，但

A0，

这说明了“ABB”不是“A”

的充分条件，

另一方面若A，则

ABBB，

这说明了“ABB”是“A”的

必要条件，

结合以上两方面可知“ABB”是

“A”的必要条件但不是充分条

件.

【答案】充分条件但不是必要条件必要条件但不是充分条件充要条件必要

条件但不是充分条件

解题方法

（1）当xN时，一定有xQ成立，

1

但反之不一定成立，如xQ，

2

1

但N，故填充分条件；

2

教材习题02

（）当时，2，

用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空：2x223220

反之当2时，或

（1）“xN”是“xQ”的；x3x20x1

2x2，故填充分条件；

（2）“x2”是“x3x20”的；

（）当时，不一定成立，

（3）“x2”是“x3”的；3x2x3

x如x52，但53，反之x3

（4）“0”是“xy0”的．

y时，x2一定成立，故填必要条件；

x

（4）当0时，说明x，y同号，

y

即xy0成立，反之当xy0时，

x

0一定成立，故填充要条件.

y

【答案】充分条件充分条件必要条件充要条件

解题方法

教材习题03

（1）当aN时，则aZ，∴“aN”

判断下列说法是否正确：

是“aZ”的充分条件，∴正确；

（1）“aN”是“aZ”的充分条件；()

（2）当a5,b0时，满足ab0，

（2）“ab0”是“a2b20”的充要条件；()

但a2b20不成立，

（3）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分

∴“ab0”不是“a2b20”的充要

条件；()

条件，∴错误；

（4）“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相

（3）当两个三角形全等时，则两个

等”是“两个三角形全等”的充要条件．()

三角形相似，

∴“两个三角形全等”是“两个三角形

相似”的充分条件，∴正确；

（4）当两个三角形中有两边及其中

一边的对角分别相等，两个三角形不

一定全等，

∴“两个三角形中有两边及其中一边

的对角分别相等”不是“两个三角形

全等”的充要条件，∴错误．

【答案】正确错误正确错误

考点一判断命题的真假

1．下列命题为假命题的是（）

A．正方形既是矩形又是菱形B．若x3或x7，则x3x70

C．一个奇数是两个整数的平方差D．当x4时，2x10

2．下列语句是命题的有（）

A．求证：y=x2的对称轴是y轴B．你是高一学生吗？

C．若a45，则tan1D．三角形的内角和是180

（多选题）3．下列语句中，真命题有（）

A．若xy1，则x，y互为倒数

B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形

C．平行四边形是梯形

D．若a2b2，则|a||b|

考点二充分条件的判定及性质

1．已知集合A{x|x3}，集合B{x|xa}，若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围是

2．已知集合P＝x2＜x＜4，Qx3m2x5m＋2，mR．若P的充分条件为Q，则实数m的取值

范围为．

3．已知集合Ax|a2x2a1，Bx|0x7.

(1)若a1，求AB；

(2)若xA是xB的充分条件，求实数a的取值范围.

考点三必要条件的判定及性质

（多选题）1．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（）

A．若x1，则x21

B．若x2y2，则xy

C．若mn为无理数，则m，n为无理数

D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形

2．若“xa”是“x6”的必要条件，则实数a的取值范围是.

3．设集合Ax|x23x20，Bx|x22a1xa250.

(1)若AB2，求实数a的值；

(2)若“xA”是“xB”的必要条件，求实数a的取值范围.

考点四充要条件的证明

1．已知a，bR，则“ab1”是“a1b10”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

ð

2．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件

2

3．“一元二次方程ax2bxc0有实数根”是“b4ac0a0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点五探究命题为真的充要条件

1．已知集合A1,a,B1,2，则“a2”是“AB1,2”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

2．等式3a5b3a5b成立的充要条件是（）

A．ab0B．ab≤0

C．ab0D．ab0

3．已知集合M1，集合Nx0x2，则“xN”是“xMN”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．设集合M∣ttm2n2,m,nZ．

(1)证明：“t1M,t2M”是“t1t2M”的充分不必要条件；

(2)写出“偶数2k(kZ)属于M”的一个充要条件并证明．

知识导图记忆

知识目标复核

1．充分条件与必要条件

2．充要条件

3．从集合角度看充分、必要条件

1．“x1”是“x21”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．“ab”是“a2b2”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．若“x2axb0”是“x1”的充要条件，则ab的值为（）

A．2B．1C．1D．2

4．已知Ax1x2，Bx2xa0，若xB是xA的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

（）

A．aa4B．aa4C．aa2D．aa2

5．若1x1是xa或x3的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（）

A．aa1B．aa1C．aa2D．aa1

6．命题A：x是无理数，命题B：x2是无理数，则命题A是命题B的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．“x2-9=0”是“x3”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

8．设a，b，c分别是VABC的三条边，且abc，则VABC为锐角三角形的充要条件是（）

A．a2b2c2B．a2b2c2C．a2b2c2D．a2b2c2

（多选题）9．在下列条件中，能成为“使二次方程ax2bxc0的两根为正数”的必要不充分条件是（）

A．b24ac0B．ac0