第二十一章一元二次方程（复习讲义）（原卷版）数学人教版九年级上册

第二十一章一元二次方程（复习讲义）1．了解一元二次方程的概念和意义，体会其在数学中的整体联系。①了解一元二次方程的定义及其一般形式。②理解一元二次方程的解（根）的意义，知道一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解。③体会一元二次方程的概念、解法和应用之间的整体联系。2．能用多种方法解一元二次方程。①掌握直接开平方法解一元二次方程。②熟练运用配方法解一元二次方程。③理解并应用公式法解一元二次方程。④学会因式分解法解一元二次方程。3．理解并利用一元二次方程解决实际问题。①掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤。②能够识别并解决一元二次方程应用题中常见的问题。③通过实际问题的解决，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。通过以上目标的复习，学生能够全面掌握一元二次方程的相关知识，提升解题能力和应用能力。一、一元二次方程的概念1、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2、一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．二、一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．三、一元二次方程的解法1、解一元二次方程直接开平方形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．2、解一元二次方程配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3、解一元二次方程公式法（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．4、解一元二次方程因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．四、一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．题型一题型一判断是否是一元二次方程【例1】（2425八年级下·安徽亳州·期中）下列方程是一元二次方程的是（

）【变式11】（2425八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（

）A．2 B．3 C．4 D．5A． B． C． D．题型二题型二一元二次方程的一般形式A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2，A．，， B．，， C．，， D．，，题型三题型三解一元二次方程【例3】用适当的方法解下列方程：【变式31】（2425八年级下·山东淄博·期中）解方程：【变式32】（2425八年级下·浙江杭州·期中）选择适当的方法解方程：【变式33】（2425八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程：【变式34】（2324九年级上·广东江门·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：题型题型四解一元二次方程错解复原问题甲：原方程可变形为：乙：原方程可变形为：第四步(1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的；(2)请写出正确的解答过程．∴原方程没有实数根．根据小明的解题过程，解答下列问题：(1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误．(2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法），(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________；(2)请你写出正确的解答过程．【变式43】（2425九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．请完成下列任务：(1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”）(2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程．题型题型五根据判别式判断一元二次方程根的情况A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断根的情况A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．无法确定题型题型六一元二次方程根与系数的关系题型题型七用一元二次方程解决实际问题【例7】一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价10元，每月可多售出200顶．(1)头盔每降价1元，每月可多售出顶；(2)若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？【变式71】（2425八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒．现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）．【变式72】在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？【变式74】（2425八年级下·广西梧州·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系．(1)求出与的函数关系式；基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A．3， B．3，1 C．3， D．3，04．下列方程中，有两个相等实数根的是（

）二、填空题8．原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经调查发现，每件该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元．设将该商品每件降价x元，根据题意，可列方程为．三、解答题11．（2425八年级下·山东烟台·期中）解方程：12．解下列方程：(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________；(2)请你写出正确的解答过程．(1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题A．2029 B．2028 C．2027 D．2026二、填空题三、解答题9．用合适的方法解下列方程：(1)若方程有一根为，求的值及另一根的值；(2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围；(1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根．(1)当方程有两个实数根时，求的取值范围．(1)设该景区4月份的游客