高中数学北师大版选修1-1学案第三章变化率与导数章末复习提升

1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比eq\f(Δy,Δx)的极限，即eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx).函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．题型一函数与方程思想在利用导数的几何意义求解相关问题时，通常要设出坐标(相关参数)，然后列出方程(组)进行求解，这就是函数与方程思想在导数中的应用．例1已知曲线C：y＝f(x)＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且l与C切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点的坐标．解由直线l过原点，可知k＝eq\f(y0,x0)(x0≠0)．∵点(x0，y0)在曲线C上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.又∵y′＝f′(x)＝3x2－6x＋2，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2＝k，即3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.解得x0＝0或x0＝eq\f(3,2).∵x0≠0，∴x0＝eq\f(3,2)，y0＝(eq\f(3,2))3－3×(eq\f(3,2))2＋2×eq\f(3,2)＝－eq\f(3,8).∴k＝eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,4).∴直线l的方程为y＝－eq\f(1,4)x，切点坐标为(eq\f(3,2)，－eq\f(3,8))．跟踪训练1已知抛物线y＝f(x)＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与直线y＝x－2平行，求b，c的值．解∵点(1,2)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴2＝1＋b＋c，即b＋c＝1.①∵y′＝f′(x)＝2x＋b，∴f′(1)＝2＋b.∵抛物线在点(1,2)处的切线与直线y＝x－2平行，∴2＋b＝1.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝2.))题型二转化与化归思想转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终使问题得到解决．转化与化归思想的策略：①化难为易；②化生为熟；③化繁为简．例2已知f(x)在x0处的导数值f′(x0)＝A，求下列极限值．(1)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0－k)－f(x0),2k)；(2)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h),h).解(1)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0－k)－f(x0),2k)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0－k)－f(x0),－k)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－eq\f(A,2).(2)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h),h)＝eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0)＋f(x0)－f(x0＋h),h)＝eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0),)＋eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0)－f(x0－h),h)＝eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0),h)＋eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0－h)－f(x),－h)＝f′(x0)＋f′(x0)＝2f′(x0)＝2A.跟踪训练2已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，求eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x),x－3)的值．解由f′(3)＝－2，得f′(3)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f(3＋Δx)－f(3),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→3))＝eq\f(f(x)－f(3),x－3)＝－2.所以eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x),x－3)＝eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(2x－6＋6－3f(x),x－3)＝eq\o(lim,\s\do4(x→3))[2＋eq\f(6－3f(x),x－3)]＝2＋3eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(2－f(x),x－3)＝2－3eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(f(x)－f(3),x－3)＝2－3f′(3)＝8.题型三数形结合思想数形结合思想在解决关于导数的问题时，也是很重要的思想方法，它把问题通过图像很形象地表达出来，使问题形象化、直观化、进而使问题得到解决．例3如图所示，已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，O是坐标原点，在抛物线的弧AOB上是否存在一点P，使△PAB的面积最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．解由题意知|AB|为定值，∴要使△PAB的面积最大，则需点P到AB的距离最大，∴点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点．设点P的坐标为(x0，y0)，结合图像知点P所在的曲线方程为f(x)＝y＝－2eq\r(x)，∵直线方程为x＋2y－4＝0，f′(x0)＝－eq\f(1,\r(x0))，∴－eq\f(1,\r(x0))＝－eq\f(1,2)，解得x0＝4，∴点P的坐标为(4，－4)，故存在点P(4，－4)，使△PAB的面积最大．跟踪训练3已知直线y＝kx与曲线y＝2lnx有公共点，则k的最大值为________．答案eq\f(2,e)解析如图，直线l与曲线y＝2lnx交于两个不同的点，l绕原点O按逆时针方向旋转，当l与曲线y＝2lnx相切时，k取到最大值．设切点P(x0，2lnx0)(x0>0)，则k＝eq\f(2,x0)，又k＝eq\f(2lnx0,x0)，∴eq\f(2,x0)＝eq\f(2lnx0,x0)，∴lnx0＝1，解得x0＝e，此时k＝eq\f(2,e)，∴k的最大值为eq\f(2,e).1.函数f(x)在x＝x0处的导数即为函数f(x)在x＝x0这点处的瞬时变化率．函数f(x)在x＝x0处可导意味着(1)函数f(x)在x＝x0处有定义．(2)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δf,Δx)存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且其导数即为极限值．显然eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δf,Δx)不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．2．利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程的步骤第一步：求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．求一个函数y＝f(x)的导函数的步骤(1)求函数的变化量：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求平均变化率：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)；(3)取极限得导数：f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).4．运用导数运算法则的注意事项(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f′2(x)±…±fn′(x)．②[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)；③当f(x)＝1时，有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,g(x))))′＝－eq\f(g′(x),g2(x)).(3)对