专题3.2实数（课堂）（原卷版）

专题3.2.实数1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类；2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；3、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；4、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。TOC\o"14"\h\z\u 1考点1.无理数的相关概念与识别 1考点2.实数的概念理解及实数的分类 3考点3.实数的性质 4考点4.实数的估算 5考点5.实数与数轴 7考点6.实数的大小比较 8 9考点1.无理数的相关概念与识别有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数。无限不循环小数又叫无理数。（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限。无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。（2）常见的无理数有三种形式：①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③构造数（看似有规律，实则无循环节的数），如：1.313113111…….A． B． C．3.14 D．例2．（2425七年级下·山东·期中）有理数和无理数的区别在于（）A．有理数是有限小数，无理数是无限小数 B．有理数能用分数表示，而无理数不能C．有理数是正的，无理数是负的 D．有理数是整数，无理数是分数变式2．（2425八年级下·山东潍坊·期中）下列说法正确的是（

）A．所有的无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数C．是最小的无理数 D．有理数能用分数表示，而无理数不能考点2.实数的概念理解及实数的分类实数：有理数和无理数统称为实数。实数的分类(1)正无理数集合：{____________…}；(2)负无理数集合：{____________…}；(3)整数集合：{____________…}；(4)正实数集合：{____________…}；(5)负实数集合：{____________…}．无理数是___________整数是___________分数是___________变式2．（2425七年级下·四川德阳·阶段练习）判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中：正实数集合{_____________________________________________…}；无理数集合{_____________________________________________…}；整数集合{_______________________________________________…}；分数集合{_______________________________________________…}．考点3.实数的性质实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。变式2．（2425七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生，，，争先恐后地说出了这个数的一些特征：学生：在数轴上表示这个数的点在原点的左边；学生：它是一个无理数；学生：它的绝对值小于2；学生：它的平方大于1．老师表扬了，，，四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的这个数可能是下列四个数中哪一个？（）变式3．（2025·广东深圳·一模）求下列各数的绝对值和相反数．考点4.实数的估算估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“两边逼近法”，确定真正值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。需要记忆常用数的近似值：≈1.414≈1.732≈2.236例1．（2025·广西南宁·一模）估计的值在（

）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间例2．（2425七年级下·广东阳江·期中）如图，用边长均为4的两个小正方形剪拼成一个面积为32的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7A．在4和5之间B．在5和6之间C．在6和7之间D．在7和8之间A．3 B．4 C．5 D．6考点5.实数与数轴实数与数轴上的点的关系：在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。故实数和数轴上的点一一对应。例1．（2324八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（

）

变式1．（2223八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（

）①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．A．①② B．②③ C．③④ D．②③④变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（）变式3．（2425八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于．考点6.实数的大小比较两个实数比较大小①在数轴上表示的两个实数，右边的数比左边的数大。例1．（2425八年级下·辽宁本溪·开学考试）比较实数的大小：3（填“”，“”或“”）．变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较大小：9．（填“”、“”或“”变式3．（2324八年级下·河南郑州·开学考试）请写出一个大于且小于的整数．1．（2025·广东·二模）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（

）A． B． C． D．2．（2324七年级下·江苏·期中）关于实数和，下列判断中，正确的是（

）A．都不是分数 B．都是分数C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数4．（2425七年级下·湖南长沙·期中）无理数a在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（

）A． B． C． D．6．（2425七年级下·湖南长沙·期中）实数的倒数是（

）A．2 B． C． D．8．（2425七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．含有无限小数的数都是无理数B．含有根号的数都是无理数C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点9．（2425七年级下·江西南昌·期中）估计的值（

）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在1和2之间A． B．2 C． D．无法确定A．3 B．2 C．1 D．012．（2425七年级下·天津北辰·期中）如图，数轴上一动点在和之间，则点表示的无理数可能是（任写一个）14．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空：（1）的相反数是，绝对值是；16．（2425七年级上·浙江·期中）如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f．(1)点A表示的数是______，表示的点可能是______；(2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大；(4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______．(1)有理数集合：（

……）(2)无理数集合：（

……）(3)负实数集合：（

……）18.（2024七年级上·浙江·专题练习）把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来：

阅读材料：“无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．所以b也是2的倍数，可见a、