2024-2025学年八年级（下）期末必考题型专项复习【40大考点】

-2025学年八年级（下）期末必考题型专项复习【40大考点】【考点1等腰三角形的性质】【例1】（24-25八年级·河北沧州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P是BC上一点，且∠BAP=90°，PC=4cm，则PB的长为（

）A．1cm B．2cm C．4cm【变式1-1】（24-25八年级·安徽亳州·期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和高．若AB=AC，∠ACE=32°，则∠BAD的度数为（

）A．32° B．29° C．28° D．25°【变式1-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°,AB=2，点D在CB延长线上，连接AD，以AD为边作等腰直角△ADE,∠DAE=90°，连接CE交AB于点F,DC=4AF，则BD=．【变式1-3】（24-25八年级·山东泰安·期末）在△ABC中，AB=AC．

(1)AD是BC上的高，AD=AE．①如图1，如果∠BAD=20∘，则②如图2，如果∠BAD=50∘，则(2)思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：_____．(3)如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【考点2等腰三角形的判定】【例2】（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点B′处，则线段B′FA．35 B．45 C．1 【变式2-1】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A=∠ABE，BD=1，BC=3，则AC的长为．【变式2-2】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．(1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求(2)若△ABC面积为40，AD=5，求AF的长．【变式2-3】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．【考点3等腰三角形的判定与性质】【例3】（24-25·山东淄博·八年级·期末）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个【变式3-1】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，△ABC的两条高线AD,CE相交于点F；点G是AC的中点，连接DG交CE于点H,DB=DF=DH．(1)求证：△ABD≌△CFD；(2)求∠ACE的度数；(3)若AE=3，求CF的长．【变式3-2】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是△ABC内的一点，且∠AMB=120°，以MC为直角边作等腰直角△MCN，使∠MCN=90°，MN交线段BC于点D，连接BN．(1)求证：AM=BN．(2)求∠MBN的度数．(3)当∠AMC为多少度时，△BMN是等腰三角形？【变式3-3】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC延长线上的一点，过点D作DE∥AB，与AC的延长线交于点

(1)求证：△CDE是等腰三角形；(2)在BC上截取AF=CE，连接FB,FD，判断FB,FD的数量关系，并说明理由．【考点4等边三角形的性质】【例4】（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P，Q（均不与端点重合），且AP=CQ,AQ,BP相交于点O．下列结论一定成立的是（

）A．∠ABP=20° B．BO=3OP C．∠BOQ=60° D．∠BAQ>∠QAC【变式4-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式4-2】（24-25八年级·广东广州·期末）如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD=b，点E在BD上运动，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是．【变式4-3】（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，直线CE与AB交于点F．过点E作EG∥AC交AB的延长线于点G．(1)若∠BAE=45°，求∠D的度数；(2)求证：BD=2AF．【考点5等边三角形的判定】【例5】（24-25八年级·广东深圳·期末）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（

）A．∠A=∠B=∠C B．AB=AC,∠B=60°C．∠A=60°,∠B=60° D．AB=AC，且∠B=∠C【变式5-1】（24-25八年级·江苏连云港·期末）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，则△CEB是三角形．

【变式5-2】（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2，PE⊥OB．OE的长是，若点M、N分别在射线OA、OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有个．【变式5-3】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，

(1)求证：∠BDF=∠A；(2)若∠A=60°，DF平分∠BDE，求出△ABC的形状．【考点6等边三角形的判定与性质】【例6】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架AB与CD交于点O，OD=OB．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面MN与地面水平线l平行，BD=2AC，∠CAO=60°，折叠后椅子比完全打开时高（

A．42 B．213−21 C．213【变式6-1】（24-25八年级·河南新乡·期末）如图，等边△ABC纸片的边长为12，E，F是边BC的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（

）A．6 B．9 C．12 D．15【变式6-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，以BC为边作等边△BCD，E，F分别为AB，AC延长线上的点，且DE⊥AB、DF⊥AC、CF=kBE，则ABAC=（用含【变式6-3】（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD=BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB=2∠BAC．(1)求∠BDE的度数；(2)点F在AB上，连接DF,DF=BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由．【考点7含30度角的直角三角形】【例7】（24-25八年级·重庆九龙坡·期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，CD=16，∠BDC=60°，CE=AC，∠A=∠BCD，过点E作EF⊥CD于点F，若DG:AD=8:5A．89 B．135 C．329【变式7-1】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，△ABC是等边三角形，AB=5，点D在边AB上，AD=3.6，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则CF的长是（）A．2.2 B．2 C．1.8 D．1.6【变式7-2】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=52cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，那么两机箱之间的距离CD为【变式7-3】（24-25八年级·山西吕梁·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠C=20°，AB=2，BC=5，AD⊥AB于点A．(1)求∠CAD与∠ADB的度数．(2)求CD的长．【考点8直角三角形全等的判定】【例8】（24-25八年级·山西运城·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列各角中，与∠B一定相等的是（

）

A．∠BAD B．∠CAD C．∠BCA D．∠BDE【变式8-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CD折叠，使得点B落在边AC上的点E处，若∠A=∠ADE，则∠BDC的度数为．【变式8-2】（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC=50°，∠ACB=80°，求∠BOC的度数．【变式8-3】（24-25八年级·江西赣州·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的12，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC如图，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），∠ACB=90°．(1)求∠A, (2)若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD，△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？【考点9直角三角形的性质】【例9】（24-25八年级·安徽宣城·期末）已知，如图，在△ABC中，点P在BC边上，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，且AM=AN，PQ∥AB交AC于点Q，下列结论：①PM=PN，②∠BPM+∠CPN=∠PQC，③PQ=PB其中正确的是（A．①② B．②③ C．① D．①②③【变式9-1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，∠C=90°，AC=20，BC=10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP=时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．

【变式9-2】（24-25八年级·四川达州·期末）图，已知CD=BE，DG⊥BC于点G，EF⊥BC于点F，且DG=EF．(1)求证：△DGC≌(2)OB=OC吗？请说明理由；(3)若∠B=30°，△ADO是什么三角形？【变式9-3】（24-25八年级·云南昆明·期末）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，请判断△ABC的形状，并说明理由．

甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了△ABC是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程．甲同学说：“学习了《勾股定理》，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．”解：△ABC是直角三角形，理由如下：在网格中由勾股定理可以算出：AB=5，AC=5，∵AB2+A∴______．∴______=90°．∴△ABC是角三角形．乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明△ABC是直角三角形.．”解：△ABC是直角三角形，理由如下：如图2，由网格可知：CD=AE=2，∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC=5在Rt△ADC和Rt∵∴Rt∴∠CAD=______．又∵在Rt△AEB中，∠ABE+∠BAE=90°∴∠CAD+______=90°，∴∠CAB=180°−∠CAD+∠BAE∴△ABC是直角三角形．【考点10勾股定理】【例10】（24-25八年级·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则△ABC中BC边上的高是（

）A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3【变式10-1】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5(1)AC的长；(2)四边形ABCD的面积．【变式10-2】（24-25八年级·上海松江·期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB．点D、E在线段AB

(1)如图1，如果CD=CE，求证：AD=BE．(2)如图2，如果∠DCE=45°，求证：DE【变式10-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，Rt△ABC，∠A=90°，将△ABC沿DE翻折，使得点C与点B重合．若AB=6，AC=8，则折痕DE的长为（

A．4 B．154 C．5 D．【考点11勾股定理的逆定理】【例11】（24-25八年级·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．(1)求CD的长；(2)求AB的长；(3)判断△ABC的形状．【变式11-1】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．(1)填空：AC=_______，AB=_____，BC=_____；(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．【变式11-2】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）某小区计划对临街直角转弯处进行改造，如图所示设计一片绿化地（四边形ABCD），D点处放置一雕像，已知AB=3m，BC=4m，CD=13m【变式11-3】（24-25八年级·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且x2+y(3,4,5)；(5,12,13)；(7,24,25)；(9,40,41)；…(1)根据以上规律，写出x=11时，基本勾股数组中y，z之值；(2)若(x,y,z)为基本勾股数组，当y=8时，求x与z的值；(3)请你猜想基本勾股数组(x,y,z)中x，y，z的规律，并证明你的猜想．【考点12勾股数（树）】【例12】（24-25八年级·江苏南京·期中）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=3:4:5 B．a=1，b=2，c=C．∠C=∠A−∠B D．b+c【变式12-1】（24-25八年级·吉林·期末）下列各组数中，是勾股数的为（

）A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13【变式12-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为．【变式12-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2，S3，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则【考点13勾股定理的应用】【例13】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A【变式13-1】（24-25八年级·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C，C到公路AB的距离CD为80米，AC为100米，BC为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．【变式13-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为_____cm．【变式13-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道MA、MB通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路MD的距离；(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过BC区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．【考点14四种命题及其关系】【例14】（24-25八年级·河北沧州·期末）下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②等腰直角三角形一定是轴对称图形；③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．其中正确的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式14-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）在用反证法证明命题：“已知△ABC,AB=AC，求证：∠B<90°”时，第一步应先假设（

）A．∠B>90° B．∠B≥90° C．∠B=90° D．AB≠AC【变式14-2】（24-25八年级·浙江宁波·期中）等腰三角形两底角相等的逆命题是．【变式14-3】（24-25八年级·福建泉州·期末）阅读正文并解答下列问题：如图，已知在△ABC中，AB>AC，求证：∠ACB>∠ABC．证明：假设∠ACB≤∠ABC，①若∠ACB<∠ABC，则在BC上取点D，连接AD，使∠ADB=∠B．∵∠ADB=∠B，∴AD=AB；在AC上取点E，使AE=AD，则AC=AE+CE=AD+CE>AD，即：AC>AD，∴AC>AB．这与已知AC<AB相矛盾，∴假设不成立；②若∠ACB=∠ABC，…综上，∠ACB>∠ABC．(1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）；A．直接证明法；

B．反证法．(2)请你补充②中所缺失的部分．【考点15线段的垂直平分线】【例15】（24-25八年级·山东聊城·期末）如图，等腰△ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．10.5 C．13.5 D．16.5【变式15-1】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，直线l是线段AB的垂直平分线，交BC于点D，则∠CADA．26° B．32° C．36° D．58°【变式15-2】（24-25八年级·青海海东·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，分别以点A、C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ，分别交BC、AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为【变式15-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，E是线段CB上任一点（不与C重合），作EM⊥BC交AB于M，D是CA延长线上一点，连结DE交AB于F，AD=BE(1)求证：DF=EF；(2)过F作GF⊥DE，若CG=GF，①证明：∠D=30°；②求EB的长（结果不化简）．【考点16角平分线】【例16】（24-25八年级·广东广州·期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+12∠C；②若OD=a，AB+BC+CA=b，则S△ABC=ab；③当∠C=60°A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【变式16-1】（24-25八年级·广西河池·期末）如图，已知ΔABC中，点O是∠CAB、∠ACB角平分线的交点，点O到边AB的距离为3，且ΔABC的面积为6，则ΔABC的周长为()A．6 B．4 C．3 D．无法确定【变式16-2】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺的一边恰好在射线OA上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在直线OB上，一边与射线A交于点M，连接OP，若∠BOP=30°，ME=2，则OE的长为．【变式16-3】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，延长BC至点D，使得BD=AB，E是边AB上一点，DE交AC于点(1)在AC上求作点G，使得点G到AB的距离等于CG；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若AF=AE，BG交DE于点P，求证：P是EF中点．【考点17不等式的基本性质】【例17】（24-25八年级·河南周口·期末）设a，b，c，d都是整数，且a<2b，b<3c，c<4d，d<10，则a的最大值是（）A．207 B．208 C．209 D．239【变式17-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）设a>b，则下列不等式中错误的是（

）A．a+2>b+2 B．a−3>b−3C．−4b>−4a D．a【变式17-2】（24-25八年级·广东深圳·期末）若不等式(m−3)y−1>0（m为常数，且m≠3）的解集为y<1m−3，则m的取值范围是【变式17-3】（24-25八年级·湖南长沙·期末）我们定义x表示不小于实数x的最小整数，例如：3.7=4①−3.14=−3；②若x=