统计学练习题及答案

统计学练习题及答案一、变量类型与统计量基础1.某高校2023级新生入学调查数据包含以下指标：性别（男/女）、年龄（岁）、高考数学成绩（分）、家庭所在地（城镇/农村）、每周课外阅读时长（小时）。请判断每个指标的变量类型（定性变量/定量变量；若为定性变量，进一步区分名义型/顺序型；若为定量变量，区分离散型/连续型）。答案：-性别：定性变量（名义型，无顺序意义）-年龄（岁）：定量变量（连续型，理论上可无限细分）-高考数学成绩（分）：定量变量（离散型，实际取值为整数）-家庭所在地：定性变量（名义型，城镇与农村无顺序优劣）-每周课外阅读时长（小时）：定量变量（连续型，可精确到分钟或秒）二、描述统计量计算2.某班级10名学生的统计学考试成绩如下（单位：分）：78,85,92,65,88,72,95,80,75,85。（1）计算均值、中位数、众数；（2）计算样本方差与样本标准差；（3）判断数据分布的偏态方向（左偏/右偏/对称）。答案：（1）均值计算：均值=(78+85+92+65+88+72+95+80+75+85)/10=815/10=81.5分中位数计算：将数据从小到大排序：65,72,75,78,80,85,85,88,92,95共10个数据，中位数为第5、6个数的平均值：(80+85)/2=82.5分众数：85分（出现2次，其他数仅出现1次）（2）样本方差计算：首先计算各数据与均值的离均差平方和：(78-81.5)²=12.25；(85-81.5)²=12.25；(92-81.5)²=110.25；(65-81.5)²=272.25；(88-81.5)²=42.25；(72-81.5)²=90.25；(95-81.5)²=182.25；(80-81.5)²=2.25；(75-81.5)²=42.25；(85-81.5)²=12.25离均差平方和=12.25×3+110.25+272.25+42.25×2+90.25+182.25+2.25=885.5样本方差=离均差平方和/(n-1)=885.5/9≈98.39样本标准差=√98.39≈9.92分（3）偏态判断：均值（81.5）<中位数（82.5），说明数据左偏（负偏态），即左侧（低分端）有较长的尾巴。三、分组数据描述统计3.某城市50家超市2023年12月的销售额（单位：万元）分组如下：|销售额区间（万元）|频数（家）||-------------------|------------||[50,70)|8||[70,90)|15||[90,110)|20||[110,130]|7|（1）计算销售额的均值（用组中值近似）；（2）计算中位数所在组，并估计中位数；（3）计算众数所在组，并估计众数。答案：（1）均值计算：组中值分别为60,80,100,120（万元）均值=(60×8+80×15+100×20+120×7)/50=(480+1200+2000+840)/50=4520/50=90.4万元（2）中位数所在组：累计频数：第一组8，第二组8+15=23，第三组23+20=43，第四组43+7=50n=50，中位数位置为第25个数，落在第三组[90,110)（累计频数23<25≤43）中位数估计公式：中位数=L+[(n/2-F)/f]×i其中L=90（中位数组下限），F=23（前一组累计频数），f=20（中位数组频数），i=20（组距）中位数=90+[(25-23)/20]×20=90+2=92万元（3）众数所在组：频数最大的组是第三组[90,110)（频数20）众数估计公式（皮尔逊经验法或金氏公式，此处用金氏公式）：众数=L+[Δ₁/(Δ₁+Δ₂)]×iΔ₁=20-15=5（众数组频数与前一组频数之差），Δ₂=20-7=13（众数组频数与后一组频数之差）众数=90+[5/(5+13)]×20≈90+5.56≈95.56万元四、概率与抽样分布4.某批次电子元件的次品率为5%，从中随机抽取20个元件进行检测。（1）求恰好有2个次品的概率；（2）求至少有1个次品的概率；（3）若用正态分布近似二项分布，计算抽取20个元件中次品数不超过3个的概率（需验证近似条件）。答案：设X为次品数，X~B(n=20,p=0.05)（1）恰好2个次品的概率：P(X=2)=C(20,2)×(0.05)²×(0.95)^18C(20,2)=190，(0.05)²=0.0025，(0.95)^18≈0.400P(X=2)=190×0.0025×0.400≈0.190（2）至少1个次品的概率：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(20,0)×(0.05)^0×(0.95)^20≈1-1×1×0.358≈0.642（3）正态近似条件：np=20×0.05=1，n(1-p)=19，通常要求np≥5且n(1-p)≥5，此处np=1<5，严格来说不满足近似条件，但假设仍使用近似：μ=np=1，σ=√[np(1-p)]=√(1×0.95)≈0.9747X~N(μ=1,σ²≈0.95)求P(X≤3)，需连续性修正，计算P(X≤3.5)Z=(3.5-1)/0.9747≈2.56查标准正态分布表，Z=2.56对应概率≈0.9948因此P(X≤3)≈0.9948（注：因np<5，此近似误差较大，实际精确值为P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.358+0.377+0.189+0.059≈0.983，近似值偏高）五、假设检验（单样本Z检验）5.某品牌宣称其生产的电池平均续航时间为200小时，标准差为15小时（已知总体标准差）。质检部门随机抽取36个电池测试，测得平均续航时间为195小时。在显著性水平α=0.05下，检验该品牌电池的平均续航时间是否低于宣称值。答案：步骤1：设定假设H₀:μ=200（平均续航时间等于宣称值）H₁:μ<200（平均续航时间低于宣称值，单侧检验）步骤2：计算检验统计量Z=(x̄-μ)/(σ/√n)=(195-200)/(15/√36)=(-5)/(15/6)=-5/2.5=-2步骤3：确定临界值或p值α=0.05，单侧检验临界值Zα=-1.645（左侧检验）计算得Z=-2<-1.645，落在拒绝域内步骤4：结论拒绝原假设，在α=0.05水平下，认为该品牌电池的平均续航时间显著低于宣称的200小时。六、两样本t检验（独立样本）6.为比较两种教学方法的效果，随机将40名学生分为两组，每组20人。甲组采用传统教学，乙组采用互动式教学，期末统计学成绩如下（单位：分）：甲组：72,75,80,68,78,82,70,76,85,79,65,81,73,77,83,69,74,84,71,86乙组：85,88,92,79,90,87,83,95,81,89,78,91,84,86,93,80,82,94,77,85假设两总体方差未知但相等，在α=0.05下检验两种教学方法的平均成绩是否有显著差异。答案：步骤1：计算两组均值与样本方差甲组数据求和：72+75+…+86=1560，均值x̄₁=1560/20=78分甲组离均差平方和：计算得Σ(x₁i-x̄₁)²=(72-78)²+…+(86-78)²=36+9+…+64=672，样本方差s₁²=672/19≈35.37乙组数据求和：85+88+…+85=1740，均值x̄₂=1740/20=87分乙组离均差平方和：Σ(x₂i-x̄₂)²=(85-87)²+…+(85-87)²=4+1+…+4=440，样本方差s₂²=440/19≈23.16步骤2：计算合并方差s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=(19×35.37+19×23.16)/38=(672+440)/38=1112/38≈29.26步骤3：计算t统计量t=(x̄₁-x̄₂)/[s_p×√(1/n₁+1/n₂)]=(78-87)/[√29.26×√(1/20+1/20)]=(-9)/[5.41×√0.1]=(-9)/(5.41×0.316)≈-9/1.71≈-5.26步骤4：确定临界值与结论自由度df=n₁+n₂-2=38，α=0.05双侧检验，临界值t₀.025(38)≈2.024（近似用t₀.025(40)=2.021）计算得|t|=5.26>2.024，拒绝原假设，认为两种教学方法的平均成绩有显著差异（乙组更高）。七、卡方独立性检验7.某医院调查1000名患者的吸烟习惯与肺癌患病情况，数据如下：||患肺癌|未患肺癌|合计||------------|--------|----------|------||吸烟|120|380|500||不吸烟|30|470|500||合计|150|850|1000|在α=0.05下检验吸烟与肺癌是否独立。答案：步骤1：设定假设H₀:吸烟与肺癌独立（无关联）H₁:吸烟与肺癌不独立（有关联）步骤2：计算期望频数E_ijE_吸烟患肺癌=(500×150)/1000=75E_吸烟未患肺癌=(500×850)/1000=425E_不吸烟患肺癌=(500×150)/1000=75E_不吸烟未患肺癌=(500×850)/1000=425步骤3：计算卡方统计量χ²=Σ[(O_ij-E_ij)²/E_ij]=(120-75)²/75+(380-425)²/425+(30-75)²/75+(470-425)²/425=(2025/75)+(2025/425)+(2025/75)+(2025/425)=27+4.76+27+4.76≈63.52步骤4：确定临界值与结论自由度df=(r-1)(c-1)=(2-1)(2-1)=1，α=0.05时临界值χ²₀.05(1)=3.841计算得χ²=63.52>3.841，拒绝原假设，认为吸烟与肺癌患病情况不独立（存在关联）。八、相关与回归分析8.某地区10个城镇的人均教育支出（x，万元）与人均GDP（y，万元）数据如下：x:0.8,1.2,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5,5.0y:5.2,6.8,7.5,9.0,10.5,12.0,13.5,15.0,16.5,18.0（1）计算Pearson相关系数；（2）建立y关于x的简单线性回归方程；（3）解释回归系数的实际意义；（4）预测当人均教育支出为6.0万元时，人均GDP的估计值。答案：（1）Pearson相关系数r计算：首先计算均值：x̄=(0.8+…+5.0)/10=27/10=2.7万元；ȳ=(5.2+…+18.0)/10=103/10=10.3万元计算离均差乘积和：Σ(xi-x̄)(yi-ȳ)=(0.8-2.7)(5.2-10.3)+(1.2-2.7)(6.8-10.3)+…+(5.0-2.7)(18.0-10.3)=(-1.9)(-5.1)+(-1.5)(-3.5)+(-1.2)(-2.8)+(-0.7)(-1.3)+(-0.2)(0.2)+(0.3)(1.7)+(0.8)(3.2)+(1.3)(4.7)+(1.8)(6.2)+(2.3)(7.7)=9.69+5.25+3.36+0.91-0.04+0.51+2.56+6.11+11.16+17.71=57.21计算x的离均差平方和：Σ(xi-x̄)²=(-1.9)²+(-1.5)²+…+(2.3)²=3.61+2.25+1.44+0.49+0.04+0.09+0.64+1.69+3.24+5.29=18.78计算y的离均差平方和：Σ(yi-ȳ)²=(-5.1)²+(-3.5)²+…+(7.7)²=26.01+12.25+7.84+1.69+0.04+2.89+10.24+22.09+38.44+59.29=180.78r=57.21/√(18.78×180.78)=57.21/√(3395.5)=57.21/58.27≈0.982（高度正相关）（2）回归方程y=α+βxβ=Σ(xi-x̄)(yi-ȳ)/Σ(xi-x̄)²=57.21/18.78≈3.05α=ȳ-βx̄=10.3-3.05×2.7≈10.3-8.235≈2.065回归方程：y=2.065+3.05x（3）回归系数β=3.05表示：人均教育支出每增加1万元，人均GDP平均增加约3.05万元。（4）当x=6.0万元时，y=2.065+3.05×6=2.065+18.3=20.365万元，即人均GDP估计值约为20.37万元。九、置信区间估计9.某网站随机抽取500名用户，调查其日均使用时长（单位：分钟），样本均值为120分钟，样本标准差为30分钟。（1）计算总体均值的95%置信区间；（2）若要求置信区间宽度不超过10分钟，至少需要调查多少用户（置信水平95%）？答案：（1）总体均值的95%置信区间（大样本，用Z分布）：置信区间=x̄±Zα/2×(s/√n)Z₀.025=1.96，s=30，n=500边际误差E=1.96×(30/√500)=1.96×(30/22.36)≈1.96×1.34≈2.63置信区间=120±2.63，即(117.37,122.63)分钟（2）要求置信区间宽度≤10分钟，即2E≤10，E≤5E=Zα/2×(s/√n)≤5→√n≥Zα/2×s/E→n≥(Zα/2×s/E)²代入Z=1.96，s=30，E=5：n≥(1.96×30/5)²=(11.76)²≈138.29，故至少需要调查139名用户。十、方差分析（单因素）10.某企业研发三种新型涂料，测试其干燥时间（单位：分钟），数据如下：涂料A：45,48,50,52,47涂料B：55,58,60,56,59涂料C：65,68,70,66,67在α=0.05下检验三种涂料的平均干燥时间是否有显著差异。答案：步骤1：计算各组均值与总均值涂料A均值x̄₁=(45+48+50+52+47)/5=242/5=48.4涂料B均值x̄₂=(55+58+60+56+59)/