【数学】湖北省九师联盟2024-2025学年高二下学期5月期中试题（解析版）

湖北省九师联盟2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（）A.11种 B.22种 C.30种 D.60种【答案】C【解析】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法；第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）．故选：C．2.数列，，，，，…一个通项公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2，则第项的分子为，对应的分母为，所以.故选：B3.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，令，得，即该运动员在时的瞬时速度为.故选：C.4.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（）A.180 B.360 C.720 D.1440【答案】D【解析】先将甲、乙排为一列，有种方法，再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有种方法，根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为．故选：D．5.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，所以，即所以，故选：D6.抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】事件包含的基本事件有30个，则，事件包含的基本事件有8个，则，所以．故选：D．7.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因为，所以，所以在上单调递减；又，所以，因此不等式可化为，所以，解得，即不等式的解集为.故选：A8.在数列中,,数列的前项和为,若,则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以数列的前项和.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A. B.C.是的极小值 D.是的极小值【答案】AC【解析】由图可知，故A正确，B错误；当时，单调递增，；当时，单调递减，；当时，单调递增，.所以是的极小值，不是的极小值，故C正确，D错误.故选：AC.10.设离散型随机变量分布列为2340.30.4若，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A、B项，由表格可得，所以.则，.故A正确，B错误；对于C、D项，因为，，，所以，，.故C错误，D正确.故选：AD.11.已知数列满足,数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（）A. B.是等比数列C. D.【答案】AC【解析】对于A：由，可得：，所以：，所以，正确，对于B：所以，即是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以则，不是等比数列，错误；对于C：数列的第106项为213，又，，，，，，，所以，所以的前项和为，C对，D错；故选：AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______.【答案】【解析】在中，令，得.故答案为：13.已知等差数列的前项和为，若，则______.【答案】7【解析】因为数列是等差数列，所以成等差数列，即，即，解得.故答案为：714.若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为______．【答案】【解析】不等式，即，所以．设，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．令，则．当时，，单调递增，则，故满足条件；当时，在上单调递减，在上单调递增，则，设，则，则在上单调递减，又，所以，所以，所以a的最大值为．故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的值；（2）求曲线在点处的切线方程．解：（1）由，得，因为，所以，解得．（2）由上问得，所以，则，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．16.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.解：（1）由题意可得，解得，所以该二项式为，则通项公式为：．令，解得，所以该二项式的展开式中的常数项为．（2）因为，易知：展开式第四项二项式系数最大，即,所以展开式中二项式系数最大的项.17.已知数列的首项，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，求的前项和．解：（1）由题意知，所以由，得，所以，又，所以是首项为3，公差为5的等差数列，所以，即．（2）由（1）得，所以①，②，①②，得，所以．18.为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天,他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立.（1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率；（2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案，方案一:第一次实验，小李随机等可能选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验；方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验.若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好?解：（1）记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件，则所以.所以两次实验恰好成功一次的概率.（2）记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，，所以，，，所以.，，，所以.因为，所以方案一略好.19.若对且,函数,满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．（1）判断函数是否是函数在区间上1级控制函数，并说明理由；（2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；（3）若函数是函数在区间上的级控制函数,且函数在区间上存在两个零点，求证．解：（1）函数是函数在区间上的1级控制数．理由如下：因为，且，所以，所以，即成立，所以函数是函数在区间上的1级控制函数．（2）由函数是函数在区间上的级控制函数，得，又，由指数函数性质得在上单调递增，所以，即恒成立．令，所以当，且时，