【数学】四川省眉山市眉山县级学校2024-2025学年高二下学期期中联考试题（解析版）

四川省眉山市眉山县级学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.设函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，故选：B．2.《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（

）A.31钱 B.32钱 C.33钱 D.34钱【答案】D【解析】设等差数列公差为，为5人出钱数依次为，依题意，，解得，所以公士出钱数为34钱.故选：D3.已知数列满足，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故可得，又，故数列是首项为，公差为的等差数列，则，解得，则.故选：B.4.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以当时，，，…，，累加可得，因为，所以，当时，，满足上式，所以，故选：B．5.若等比数列的前项和为，，则（）A.3 B.7 C.10 D.15【答案】D【解析】因为等比数列的前项和为，，所以公比，所以，所以，所以所以故选：D6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由函数单调递减可得恒成立，因为，所以，所以，所以实数的取值范围是.故选：B7.记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，因为，设，则,所以在单调递增，所以，即，从而．故选：A．8.已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（）A. B. C.2025 D.4045【答案】A【解析】令，则的定义域为，又，所以是奇函数，因为与均在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以，则，因为，所以，所以，即.所以，.故选：A.二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列为等差数列，公差为，为其前项和，若满足且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.当且仅当n=7或8时，取得最大值.【答案】ABC【解析】依题意，，所以，所以A正确，B正确.，所以C正确.由于，所以数列的前项都为正数，从第8项开始是负数，所以当且仅当或7时，取得最大值故D错误．故选：ABC10.已知函数，则（）A.的极小值为B.有两个零点C.存在使得关于的方程有三个不同的实根D.的解集为【答案】AC【解析】函数的定义域为，，由得或；由得，有极大值，极小值，A正确；由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确；当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确；当时，，此时，D不正确．故选：AC．11.已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（）A. B.若，则C.直线上存在满足要求的点 D.直线上存在满足要求的点【答案】BD【解析】A.，则，设切点，，所以切线方程为，切线过点，所以，则，则，此时只有唯一切点，所以过点的切线只有1条，不满足条件，故A错误；B.若点，在由A可知，，整理为，设，，得或，当，得或，，得，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，所以函数的极大值是，极小值是，所以与轴有3个交点，即方程有3个实数根，即有个切点，所以过点的切线有3条，满足条件，故B正确；C.设，则，整理为，得，设，，所以单调递增，则与只有1个交点，即方程只有1个实数根，即只有1个切点，1条切线，所以直线上不存在满足要求的点，故C错误；D.设，则，整理为，得，，设，，得或，，得或，，得，或或，所以函数的增区间是和，减区间是和和如图画出函数图象，由图象可知，与存在3个交点，即方程存在3个实数根，故D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________．【答案】【解析】因为，可设，则．故答案为：13.已知数列满足，设数列的前项和为，则=________【答案】【解析】数列满足，当时，，两式相减得，因此，而满足上式，于是，显然，即数列是等差数列，所以.故答案为：14.设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是______.【答案】【解析】定义域为，，有两个极值点等价于在上有两个不等实根，，，，，；设，则，在上单调递减，，即，的最小值为.故答案为：四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.（1）求、的通项公式：（2）求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，因为，所以，即，，即，则，所以，整理可得即，解得或（舍去）.所以，则，解得或（舍去），故.所以，.（2）由（1）知，，则..16.已知函数在和处取得极值．（1）求、的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）因为，则，函数在和处取得极值．，，联立解得：，．且当，，，则，由可得，列表如下：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，合乎题意.因此，，．（2）由（1）知在单调递增，在单调递减，故当时，，要使得对任意，不等式恒成立，则需，故，即，解得或，的取值范围是．17.记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且．（1）求数列和的通项公式．（2）求数列的前项和．解：（1）设等比数列的公比为，由，可得，因为，可得，可得，即，整理得，解得或，当时，，不合题意，舍去；当，可得，所以数列的通项公式为，则.又由，且数列是公差为1的等差数列，可得，即，解得，所以故数列通项公式为．（2）由（1）知：，，可得，因为数列的前项和为，可得，则，两式相减，可得，所以．18.已知函数．（1）求曲线的对称中心；（2）证明：有三个零点；（3）设曲线与轴的交点从左到右依次为，过作直线与曲线相切，切点为（异于），证明：．解：（1）设，则.，所以是奇函数.奇函数图象关于原点对称，即曲线对称中心是.的对称中心为.（2）已知.当时，，，所以.当时，，，所以.当时，，，所以.所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减.所以是的极大值点，是的极小值点.由，，，.根据零点存在定理和函数单调性可得在区间内有一个零点，在区间内有一个零点；区间内有一个零点.综上，有三个零点.（3）已知函数与轴交于，，，根据函数零点的性质，可设.因为直线过点且斜率存在且不为，设直线的方程为.切点的坐标是直线：与曲线的公共点，所以联立方程组，消去可得.当（因为是直线与轴交点的横坐标，这里考虑的是除点外的切点情况），两边同时除以，得到.所以（记为）.因为直线与曲线相切，所以方程有两个相等的实根在方程中，设切点的横坐标为，因为两根相等都为，所以，即.点，，则中点的横坐标为.因为在轴上的射影的横坐标就是点的横坐标，所以在轴上的射影为的中点，即在的垂直平分线上.所以.19.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值；（2）若方程有两个不同的解，且，①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由；②证明：解：（1），曲线在处的切线斜率为，所以曲线在处的切线方程为．由于切线与曲线只有一个公共点，得有且只有