【数学】浙江省G5联盟2024-2025学年高二下学期期中考试试题（解析版）

浙江省G5联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4、考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，所以，故选：D.2.在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（）个平面A56 B.70 C.210 D.336【答案】A【解析】由题意不可能出现3点共线的情况，所以一共可以作个平面.故选：A3.已知函数在处有极值，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，则，由题有，解得，所以，令，得到或，当时，，当时，，所以是的极大值点，即满足题意，故选：C.4.已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由题设，则，又为等差数列，则其公差，所以，故，所以，而不等式恒成立，所以，即实数的最小值为.故选：B5.的展开式中的系数为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】可先求展开式通项公式，.当中与展开式相乘时，令，，，系数为.当中与展开式相乘时，令，，，系数为.将两项系数相加，.所以展开式中的系数为12.故选：C.6.盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】第一次抽取总共有个球，抽取任意一种颜色球的概率都不为0，不妨先抽取黑球，其概率为，第二次抽取时，因为第一次抽取黑球后放回并放入1个黑球，此时球总数变为个，黑球有个，白球还是2个，红球为1个，若第二次抽取白球，其概率为，第三次抽取时，由于第二次抽取白球后放回并放入1个白球，此时球的总数变为个，黑球有个，白球有个，红球为1个，若第三次抽取红球，其概率为，而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取红球只是其中一种顺序，三次抽取不同颜色球的顺序还有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取红球；第一次抽取黑球、第二次抽取红球、第三次抽取白球；第一次抽取红球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球；第一次抽取白球、第二次抽取红球、第三次抽取黑球；第一次抽取红球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球这5种情况.每种情况的概率都是，所以3次颜色均不相同的概率为.故选：A7.已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，其定义域为，对求导，可得：令，即，则，解得．当或时，，，单调递减；当时，，，单调递增．所以在处取得极小值，也是最小值，．

令，则．函数恰有个不同的零点，即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，，且其中一个根为，另一个根．

则，解得

.实数的取值范围是．故选：B．8.对于数列，称数列为它的“和数列”.若存在，使得对任意,有,则称为“有界数列”.已知,,,，，则在数列，，及其它们的和数列这6个数列中，有界数列的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】对于前面的三个数列，可以考虑用蛛网图法来进行求解，以数列为例，，于是作函数，，所以从A点出发作与相交于B，再作交于点C，由此可以看出，重复上述操作可以发现（其中为的较小零点），所以是收敛的数列，同理数列的图像如下，所以，所以，（如果不是有界数列，两条曲线是不会有交点的，具体图像可以利用函数求导大致画出是否有零点），对于和函数，所以数列和函数发散，易知，由不等式得，则，故单调递减，单调递减趋于，的和数列发散（类似于调和级数），无界.因单调递减趋于0，故单调递减趋于0，即有界，且的和数列收敛（类似于），有界.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若的展开式的各二项式系数之和为32，则（）A. B.展开式中所有项的系数和为32C.展开式中常数项为32 D.展开式中x的奇次项的系数和为121【答案】ACD【解析】由题设，则展开式通项为，，令，则展开式中所有项的系数和为，A对，B错；令，则常数项为，C对；若，由B分析，令，则，故x的奇次项的系数和为，D对.故选：ACD10.现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）A.共有种不同的放法B.恰有两个盒子不放球，共有360种放法C.每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种D.将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种【答案】BC【解析】A：由题意，每个球都有5种放法，故共有种不同的放法，错；B：恰有两个盒子不放球，则任选3个盒子放球有种，将4个球分成3组有种，最后把3组球放进所选的3个盒子中有种，故共有种，对；C：从四个编号中选2个放同编号的球有种，若另2个盒子放余下2个球有1种放法，若余下2球一个放在5号盒子有2种放法，所以，共有种，对；D：4个相同的球放到5个不同的盒子，恰有一个空盒有种放法，错.故选：BC11.已知函数，，则以下结论不正确的是（）A.B.C.若，且，则D.若，且，则【答案】ACD【解析】选项A：因，故，故A结论错误；选项B：因，故，故B结论正确；选项C：，故由得，得，整理得，即，故当时，或，故C结论错误；选项D：由得，由得，得，由选项C可知D选项结论错误，故选：ACD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现有4位同学站成一排照相，其中甲，乙两位同学相邻的排法种数为__________种.【答案】【解析】先把甲乙捆绑看出一个元素，进行全排列，再对甲乙元素全排列，则甲，乙两位同学相邻的排法种数为种不同的排法.故答案为：.13.甲，乙，丙，丁，戊5名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为，则__________.【答案】【解析】由题意，，，当时，第次传球在乙手中概率为，故第次传球不在乙手中的概率为，所以，则，而，所以是首项为，公比为的等比数列，则，所以，故.故答案为：14.设是集合，且m，n，中所有的数都是从大到小排列成的数列，已知，则__________.【答案】【解析】设，且m，n，，将写成的形式为，令，可将分成如下三个子集：，这里，，下面求这三个集合中元素的个数：，其元素个数为，，其元素个数为，，其元素个数为，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）由题设，则，故，而，所以曲线在点处的切线方程，所以切线为；（2）由题设，恒成立，令且，则，若，当，，即在上单调递减，当，，即在上单调递增，所以，只需恒成立，令且，则，所以在上单调递减，且，故时，所以.16.数列的首项，且，.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的最大项.解：（1）因为，所以，又，所以，则，所以，又，所以，则，所以是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可得，所以，令，则，解得，又，所以当且时，当且时，又，所以，所以的最大项为.17.在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.（1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.（ⅰ）求小王答对第一组题的概率；（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率.（2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下,答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：题号第1题第2题第3题得分2分4分6分若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功概率.解：（1）（i）已知，则.在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率.根据全概率公式，将上述概率值代入可得：.（ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率根据贝叶斯公式.由前面计算可知，，，代入可得：.（2）设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）.已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为.则；；.因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况：答对第、题，答错第题，其概率为.答对第、题，答错第题，其概率为.答对第、、题，其概率为.因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为：.18.设函数.（1）求函数的单调区间及极值；（2）证明：当时，；（3）证明：当时，有.解：（1）的定义域为，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故有极小值.综上有的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为0，无极大值.（2）要证，即证，即证.令，则，因为，故，故在上单调递增.故，即得证.（3）由（2）可得当时，令，且，则，即故，.又，故，即.则.故，即得证.19.设集合为实数集，其中，对U的非空子集A，若满足：①若，则，；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”.（1）若，，直接写出，的所有“平衡子集”；（2）若，（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；（ⅱ）用表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，，，用表示U的元素个数为n的子集个数，求的值，并说明理由.解：（1）由题可得的平衡子集为：；由题可得的平衡子集为：；（2）（ⅰ）由题可得，U中所有元素之和的算术平均数为：，又注意到，而这样的相加为的组合，U中有组，注意到这些组合的算术平均数及这些组合相