正方形期末考试题及答案

正方形期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.四个角都是直角B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2.已知正方形的边长为4cm，则其对角线长是（）A.8cmB.\(4\sqrt{2}\)cmC.16cmD.\(2\sqrt{2}\)cm3.正方形的面积为18cm²，则正方形对角线长为（）A.3cmB.\(3\sqrt{2}\)cmC.6cmD.\(6\sqrt{2}\)cm4.若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）A.8B.\(4\sqrt{2}\)C.\(8\sqrt{2}\)D.165.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.\(42\sqrt{2}\)D.\(3\sqrt{2}4\)6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤\(S_{\triangleCEF}=2S_{\triangleABE}\)。其中正确的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个7.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④8.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有（）A.4个B.6个C.8个D.10个9.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线ADDCCB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm²），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）10.如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同，设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）二、填空题（每题3分，共15分）11.已知正方形的周长是20cm，则它的边长是______cm，面积是______cm²。12.若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的周长是______。13.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是______。14.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为______。15.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BG⊥AE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF=______。三、解答题（共55分）16.（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连接AE、AF、EF。（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE=5，请求出EF的长。17.（9分）如图，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F。在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH。求证：∠ABH=∠CDE。18.（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG。（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG；（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；（4）当\(\frac{CE}{CB}=\frac{1}{n}\)时，请直接写出\(\frac{S_{正方形DEFG}}{S_{正方形ABCD}}\)的值。19.（14分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M。（1）求证：AE=DF；（2）求证：AM⊥DF；（3）若AB=4，E是OD的中点，求EM的长。20.（14分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c\)经过B、C两点。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上BC下方的一个动点，当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积；（3）Q是抛物线上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、C、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。答案一、选择题1.D2.B3.C4.A5.C6.C7.B8.C9.A10.A二、填空题11.5；2512.\(8\sqrt{2}\)13.1014.15°15.\(\frac{4}{3}\)三、解答题16.（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，所以∠ADF=90°，在△ABE和△ADF中，\(\begin{cases}AB=AD\\\angleB=\angleADF\\BE=DF\end{cases}\)所以△ABE≌△ADF（SAS）。（2）解：因为△ABE≌△ADF，所以AE=AF，∠BAE=∠DAF，因为∠BAE+∠EAD=90°，所以∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°，又因为AE=5，所以\(EF=\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=5\sqrt{2}\)。17.证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠DAB=∠ABG=90°，因为DE⊥AG，所以∠AED=90°，所以∠ADE+∠DAE=90°，又因为∠BAG+∠DAE=90°，所以∠ADE=∠BAG，在△DAF和△ABG中，\(\begin{cases}\angleADF=\angleBAG\\AD=AB\\\angleDAF=\angleABG=90^{\circ}\end{cases}\)所以△DAF≌△ABG（ASA），所以AF=BG，DF=AG，因为AG=DE+HG，DF=AG，所以DF=DE+HG，即DE+EF=DE+HG，所以EF=HG，在△ABH和△DAF中，\(\begin{cases}AB=AD\\\angleBAH=\angleADF\\AH=AFHF=BGHF=DGEFHF=DGHGHF=DGDF=DE\end{cases}\)所以△ABH≌△DAF（SAS），所以∠ABH=∠CDE。18.（1）证明：①因为四边形ABCD是正方形，所以DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，又因为CE=AG，所以△DCE≌△DAG（SAS），所以DE=DG。②由①知△DCE≌△DAG，所以∠CDE=∠ADG，因为∠CDE+∠ADE=90°，所以∠ADG+∠ADE=90°，即∠GDE=90°，所以DE⊥DG。（2）略（3）四边形CEFK是平行四边形。证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=CD=DA，因为CE=BK=AG，所以KB=BAKA，EC=BCBE，所以KB=EC，又因为△DCE≌△DAG，所以∠CDE=∠ADG，DE=DG，同理可得：△DAG≌△KAF，所以DG=KF，所以DE=KF，又因为∠KAF+∠BAF=90°，∠ADG+∠AGD=90°，∠KAF=∠ADG，所以∠AGD=∠BAF，因为AB∥CD，所以∠BAF=∠DCE，所以∠AGD=∠DCE，所以KF∥CE，所以四边形CEFK是平行四边形。（4）\(\frac{S_{正方形DEFG}}{S_{正方形ABCD}}=\frac{n^{2}+1}{n^{2}}\)19.（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以OA=OD，OC=OB，AC⊥BD，又因为DE=CF，所以ODDE=OCCF，即OE=OF，在△AOE和△DOF中，\(\begin{cases}OA=OD\\\angleAOE=\angleDOF=90^{\circ}\\OE=OF\end{cases}\)所以△AOE≌△DOF（SAS），所以AE=DF。（2）证明：由（1）知△AOE≌△DOF，所以∠OAE=∠ODF，因为∠AEO=∠DEM，所以∠OAE+∠AEO=∠ODF+∠DEM，因为∠OAE+∠AEO=90°，所以∠ODF+∠DEM=90°，所以∠DME=90°，即AM⊥DF。（3）解：因为AB=4，所以BD=AC=\(4\sqrt{2}\)，所以OD=OC=OA=\(2\sqrt{2}\)，因为E是OD的中点，所以OE=\(\sqrt{2}\)，在Rt△AOE中，\(AE=\sqrt{OA^{2}+OE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}\)，因为△AOE≌△DOF，所以∠OAE=∠ODF，又因为∠AEO=∠DEM，所以△AOE∽△DME，所以\(\frac{EM}{OE}=\frac{AE}{OD}\)，即\(\frac{EM}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}\)，解得\(EM=\frac{\sqrt{10}}{2}\)。20.（1）解：因为正方形OABC的边长为4，所以B（4，4），C（0，4），把B（4，4），C（0，4）代入\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c\)得：\(\begin{cases}-\frac{1}{2}\times4^{2}+4b+c=4\\c=4\end{cases}\)解得\(\begin{cases}b=2\\c=4\end{cases}\)所以抛物线的解析式为\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+2x+4\)。（2）设直线BC的解析式为\(y=kx+d\)，把B（4，4），C（0，4）代入得\(\begin{cases}4k+d=4\\d=4\end{cases}\)，解得\(k=0\)，所以直线BC的解析式为\(y=4\)，设\(P(x,-\frac{1}{2}x^{2}+2x+4)\)，则\(S_{\trianglePBC}=\frac{1}{2}\times4\times(4-(-\frac{1}{2}x^{2}+2x+4))\)\(=2\times(\frac{1}{2}x^{2}-2x)=x^{2}-4x=(x2)^{2}-4\)，当\(x=2\)时，\(S_{\trianglePBC}\)有最大值4，此时\(y=-\frac{1}{2}\times2^{2}+2\times2+4=6\)，所以点P的坐标为（2，6），△PBC的最大面积为4。（3）存在。①当CQ∥AB时，设直线CQ的解析式为\(y=4\)，令\(-\frac{1}{2}x^{2}+2x+4=4\)，即\(-\frac{1}{2}x^{2}+2x=0\)，\(-\frac{1}{2}x(x4)=0\)，解得\(x=0\)（舍去）或\(x=4\)（舍去）。②当AQ∥BC时，设直线AQ的解析式为\(y=0\)，令\(-\frac{1}{2}x^{2}+2x+4=0\)，\(x^{2}-4x8=0\)，\(x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt{3}}{2}=2\pm2\sqr