2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第2课时　简单的三角恒等变换

第2课时简单的三角恒等变换三角函数式的化简（师生共研过关）（1）化简：2tan（45°－（2）已知α∈（0，π），化简：（1+sin解：（1）原式＝tan（90°－2α）·12sin2αcos2α＝sin（90°－（2）因为α∈（0，π），所以α2∈（0，π2），所以原式＝2cos＝2cosα2cosα2cos解题技法三角函数式的化简要遵循“三看”原则1.化简sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－3cos（θ＋15°）＝0.解析：令θ＋15°＝α，原式＝sin（α＋60°）＋cos（α＋30°）－3cosα＝sinαcos60°＋cosαsin60°＋cosαcos30°－sinαsin30°－3cosα＝12sinα＋32cosα＋32cosα－12sinα－3cos2.已知3π2＜α＜2π，化简12＋121解析：∵3π2＜α＜2π，∴3π4＜α2＜π，∴cosα＞0，cosα2＜0，则12＋1212三角函数式求值（定向精析突破）考向1给角求值（1）求值：cos20°cos35°1－sin20A.1 B.2C.2 D.3解析：（1）原式＝cos20＝cos2＝2（2＝2cos35°cos35（2）求值：3tan12°－3sin12°（解析：（2）原式＝3＝3＝2＝43sin（12解题技法给角求值问题的求解策略观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍、半角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：（1）特殊角的三角函数值；（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.考向2给值（式）求值（1）（2024·九省联考）已知θ∈（3π4，π），tan2θ＝－4tan（θ＋π4），则1+sin2θ2coA.14 B.C.1 D.3解析：（1）因为θ∈（3π4，π），所以tanθ∈（－1，0）.由tan2θ＝－4tan（θ＋π4）得2tanθ1－tan2θ＝－41+tanθ1－tanθ，化简整理得2tan2θ＋5tanθ＋2＝0，解得tanθ＝－2（舍去）或tanθ＝－1（2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，则sin（α＋β）＝－223解析：（2）法一由题意得tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝41-(2+1）＝－22，因为α∈（2kπ，2kπ＋π2），β∈（2mπ＋π，2mπ＋3π2），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－22＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋3π2，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则sin（α＋β）cos（α＋法二由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－22），则r＝｜OP｜＝1+8＝3，所以sin（α＋β）＝－22法三易得tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝41－2－1＝－22.又tanα＋tanβ＝sinαcosα＋sinβcosβ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＝4，所以sin（α＋β）＝4cosαcosβ.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cosα＞0，cosβ＜0，所以sin（α＋β）＝4cosαcosβ＜0.由tan（用结论万能公式（1）sinα＝2tanα21+tan2α2；（（3）tanα＝2tanα上述三个公式统称为万能公式.已知α，β∈（0，π），tanα2＝12，sin（α－β）＝513，则cosβ＝56解析：∵tanα2＝12，∴sinα＝2tanα21+tan2α2＝2×121+（12）2＝45，cosα＝1－tan2α21+tan2α2＝1－（12）21+（12）2＝35，∵α，β∈（0，π），cosα＞0，∴α∈（0，π2），∴α－β∈（－π，π2），∵sin（α－β）＝513＞0，∴α－β∈（0，π2），∴cos（α解题技法给值求值问题的求解思路（1）化简所求式子或已知条件；（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；（3）将已知条件代入所求式子，化简求值.考向3给值求角（2025·九江二模）已知α，β∈（0，π2），cos（α－β）＝56，tanαtanβ＝14，则α＋β＝（A.π3 B.C.π6 D.解析：A因为cos（α－β）＝56，tanαtanβ＝14，所以cos所以cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝12，又α，β∈（0，π2），所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝解题技法“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围为－1.（2025·石家庄质量检测三）已知角α，β满足tanα＝13，2sinβ＝cos（α＋β）sinα，则tanβ＝（A.13 B.C.17 D.解析：C因为2sinβ＝cos（α＋β）sinα，即2sin[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）sinα，所以2sin（α＋β）cosα－2cos（α＋β）sinα＝cos（α＋β）sinα，整理得2sin（α＋β）cosα＝3cos（α＋β）sinα，变形得tan（α＋β）＝32tanα＝12，所以tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝tan（α＋β2.（2024·江西阶段练习）已知sinα＋cosα＝13，则2cosA.－23 B.C.89 D.－解析：D因为sinα＋cosα＝13，则（sinα＋cosα）2＝1＋sin2α＝19，可得sin2α＝－89，所以2cos2（α－π4）三角恒等变换的综合应用（师生共研过关）已知3sinα＝2sin2α2－1.（1）求sin2α＋cos2α的值；（2）已知α∈（0，π），β∈（π2，π），2tan2β－tanβ－1＝0，求α＋β的值解：（1）因为3sinα＝2sin2α2－1所以3sinα＝－cosα，所以tanα＝－13所以sin2α＋cos2α＝2sinαcosα＋cos2（2）因为β∈（π2，π），所以tanβ＜0因为2tan2β－tanβ－1＝（2tanβ＋1）（tanβ－1）＝0，所以tanβ＝－12又因为α∈（0，π），tanα＝－13，所以π2＜α＜所以tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1由π2＜β＜π，π2＜α＜π，得π＜解题技法进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用.已知0＜α＜π2，0＜β＜π2，cosα＝35，cos（β＋α（1）求sinβ的值；（2）求sin2αco解：（1）由0＜α＜π2，0＜β＜π2，cosα＝35，cos（β＋α得sinα＝45，sin（β＋α）＝12所以sinβ＝sin[（β＋α）－α]＝sin（β＋α）cosα－cos（β＋α）sinα＝1213×35－513×4（2）因为cosα＝35，sinα＝4所以sin2αcos2α＋cos21.cos70°cos20°A.34 B.C.12 D.解析：Ccos70°cos20°1－2sin2252.已知α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），则tanα2＝（A.3B.12 C.2D.12解析：A∵α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），∴sinα＝35，cosα＝－45，∴tanα2＝sinα2cosα2＝2sinα23.已知α为锐角，且cosα（1＋3·tan10°）＝1，则α的值为（）A.20° B.40°C.50° D.70°解析：B由cosα（1＋3tan10°）＝1可得cosα·3sin10°＋cos10°cos10°＝1，所以cosα·2sin40°cos10°＝1，所以cosα＝cos10°2sin40°＝sin80°2sin40°＝2sin40°4.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为5－12≈0.618，这个值被称为黄金比例.若t＝5－12A.5+14 BC.12 D.解析：D依题意，得t＝sin36°sin72°＝sin144°sin72°＝2cos72°，则1－2sin25.已知α，β∈（0，π2），2tanα＝sin2βsinβ＋sin2β，则tan（2A.－3 B.－3C.33 D.解析：B∵2tanα＝sin2βsinβ＋sin2β，∴2sinαcosα＝2sinβcosβsinβ＋sin2β＝2cosβ1+sinβ，∴sinα＋sinαsinβ＝cosαcosβ，∴sinα＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos（α＋β），∵α，β∈（0，π2），∴α6.〔多选〕已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sin2α＝45，cos（α＋β）＝－210A.cosα＝－1010 B.sinα－cosα＝C.β－α＝3π4 D.cosαcosβ解析：BC因为π4≤α≤π，所以π2≤2α≤2π，又sin2α＝45＞0，故有π2≤2α≤π，π4≤α≤π2，解出cos2α＝－35＝2cos2α－1⇒cos2α＝15⇒cosα＝55，故A错误；（sinα－cosα）2＝1－sin2α＝15，又π4≤α≤π2，所以sinα≥cosα，所以sinα－cosα＝55，故B正确；因为π4≤α≤π2，π≤β≤3π2，所以5π4≤α＋β≤2π，又cos（α＋β）＝－210＜0，所以5π4≤α＋β≤3π2，解得sin（α＋β）＝－7210，所以cos（β－α）＝cos[（α＋β）－2α]＝－210×－35＋－7210×45＝－22，又因为5π4≤α＋β≤3π2，－π≤－2α≤－π2，所以π4≤β－α≤π，有β－α＝3π4，故C正确；由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－27.写出一个使等式sinαsin（α＋π6）＋cosαcos（α解析：由sinαsin（α＋πsinαcos（α＋π6）＋cosαsin（α＋π6）sin（α＋π6）cos（α＋π6）＝2，所以sin（2α＋π6）＝sin（2α＋π3），所以（2α＋8.（2024·泰安阶段练习）已知0＜β＜α＜π2，cos（α－β）＝45，cosαcosβ＝12，则1tanα－1tan解析：由题意可知cos（α－β）＝45＝cosαcosβ＋sinαsinβ，所以sinαsinβ＝310，即tanαtanβ＝sinαsinβcosαcosβ＝35，又0＜β＜α＜π2，所以π2＞α－β＞0，sin（α－β）＝1－cos2（α－β）＝35，则tan（α－β）＝34＝tan9.已知sin（α－β）＝12，sin（α＋β）＝1（1）证明：tanα＋5tanβ＝0；（2）计算tan（α解：（1）证明：法一由条件sin（α－β）＝12，sin（α＋β）＝13，得2sin（α－β）＝3sin（α＋即2sinαcosβ－2cosαsinβ＝3sinαcosβ＋3cosαsinβ，整理得sinαcosβ＝－5cosαsinβ，即tanα＝－5tanβ，tanα＋5tanβ＝0得证.法二由条件sin（α－β）＝12，sin（α＋β）＝1即sinαcosβ－cosαsinβ＝12， sinαcosβ＋cosαsinβ＝13， 由①②，得sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝－1从而可得tanα＝－5tanβ，tanα＋5tanβ＝0得证.（2）由于tan（α－β）＝tanα－tanβ1+tanαtanβ⇒tanα－tanβ＝tan（α－β）（1所以tan＝tan＝－＝－tanβtanα10.在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的大小如图所示，则sin2θ2coA.－2 B.2C.52 D.解析：B由题图及正切函数的定义可知，tan（θ＋π4）＝153＝5，即tanθ+11－tanθ＝5，解得tanθ＝23.所以sin2θ2co11.若α，β∈（π2，π），且（1－cos2α）（1＋sinβ）＝sin2αcosβ，则下列结论正确的是（A.2α＋β＝5π2 B.2α－βC.α＋β＝7π4 D.α－β解析：A∵α，β∈（π2，π），∴sinα≠0，∵（1－cos2α）（1＋sinβ）＝sin2αcosβ，∴2sin2α（1＋sinβ）＝2sinαcosαcosβ，即sinα（1＋sinβ）＝cosαcosβ.∴sinα＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos（α＋β），∴cos（α＋β）＝cos（π2－α），∵α，β∈（π2，π），∴π＜α＋β＜2π，且－π2＜π2－α＜0，∴α＋β＝π2－α＋2π，解得212.已知tan（α＋15°）＝7tan（α－15°），则sin（α－15°）·cos（α＋15°）＝（）A.23 B.C.13 D.解析：D由tan（α＋15°）＝7tan（α－15°）⇒sin（α+15°）cos（α+15°）＝7·sin（α－15°）cos（α－15°）⇒sin（α＋15°）cos（α－15°）＝7sin（α－15°）cos（α＋15°），设A＝sin（α＋15°）cos（α－15°），B＝cos（α＋15°）sin（α－15°），则A＝7B①，又A－B＝sin30°＝12②，联立①②13.设a，x，y都是实数，x，y∈［－π4，π4］，满足x3＋sinx＝2a，4y3＋sinycosy＝－a，则3sin（π＋x2＋y）解析：因为4y3＋sinycosy＝－a，所以8y3＋2sinycosy＝－2a，即（－2y）3＋sin（－2y）＝2a，则2a＝x3＋sinx＝（－2y）3＋sin（－2y）.构造函数f（x）＝x3＋sinx，所以f（x）＝f（－2y）.又因为f（x）在［－π4，π4］上单调递增，所以x＝－2y，则3sin（π＋x2＋y）＝3sin（π2＋x2＋y）＝3cos（x2＋y14.已知sinα＝4sin2α2－2（1）求sinα（（2）已知α∈（0，π），β∈（0，π2），tan2β＋6tanβ－1＝0，求α＋2β的值解：（1）∵sinα＝4sin2α2－2＝4×1－cosα2－2＝－2cosα，∴tan∴sinα（＝sinα（sinα－cosα）＝sin＝tan2α（2）由（1）知tanα＝－2.∵tan2β＋6tanβ－1＝0，∴tan2β＝2tanβ1－ta∴tan（α＋2β）＝tanα＋tan2β1∵α∈（0，π），β∈（0，π2），由tanα＝－2，得α∈（π2，π由tan2β＝13，得2β∈（0，π2∴α＋2β∈（π2，3π由tan（α＋2β）＝－1，得α＋2β＝3π15.（推理论