2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第四节　函数中的构造问题

第四节函数中的构造问题重点解读高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体的函数解析式，而是给出函数f（x）及其导数满足的条件，这就需要根据条件构造函数，利用所构造函数的单调性、奇偶性、极值、最值等性质解决问题.由导数运算构造函数（定向精析突破）考向1利用f（x）与xn构造已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（－1，0）∪（0，1）B.（－1，0）C.（0，1） D.（－1，1）解析：A构造F（x）＝f（x）x2，则F'（x）＝f'(x）·x－2f（x）x3，当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）解题技法利用f（x）与xn构造函数（1）如果题目中出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；（2）如果题目中出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f（考向2利用f（x）与ex构造〔多选〕已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A.f（2）＜e2f（0） B.f（2）＞e2f（0）C.e2f（－1）＞f（1） D.e2f（－1）＜f（1）解析：AC构造F（x）＝f（x）ex，则F'（x）＝exf'(x)-exf（x）e2x＝f'(x)-f（x）ex，又导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0，F（x）在R上是减函数，故f(-1解题技法利用f（x）与ex构造函数（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝enxf（x）；（2）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝f（考向3利用f（x）与sinx，cosx构造已知函数f（x）的定义域为（－π2，π2），其导函数是f'（x）.有f'（x）cosx＋f（x）sinx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（π3）cosx的解集为（A.（π3，π2） B.（π6C.（－π3，－π6） D.（－π2解析：A构造函数g（x）＝f（x）cosx，其中x∈（－π2，π2），则g'（x）＝f'(x）cosx＋f（x）sinxcos2x＜0，所以函数g（x）在（－π2，π2）上单调递减，因为x∈（－π2，π2），则cosx＞0，由f（x）＜2f（π3）cosx可得f（x）cosx＜f（π3）cosπ3，即g解题技法利用f（x）与sinx，cosx构造函数的常见类型（1）F（x）＝f（x）sinx，F'（x）＝f'（x）sinx＋f（x）cosx；（2）F（x）＝f（x）sinx，F'（3）F（x）＝f（x）cosx，F'（x）＝f'（x）cosx－f（x）sinx；（4）F（x）＝f（x）cosx，F'1.函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f'（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为（）A.（－1，1） B.（－1，＋∞）C.（－∞，－1） D.（－∞，＋∞）解析：B令g（x）＝f（x）－2x－4，则g'（x）＝f'（x）－2＞0，∴g（x）为R上的增函数，又∵g（－1）＝f（－1）－2×（－1）－4＝0.∴f（x）＞2x＋4等价于g（x）＞g（－1），解得x＞－1.2.设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f'（x）cosx－f（x）sinx＞0，若a＝12f（π3），b＝0，c＝－32f（5π6），则a，b，A.a＜b＜c B.b＜c＜aC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析：A根据题意，设g（x）＝f（x）cosx，则g'（x）＝f'（x）cosx＋f（x）（cosx）'＝f'（x）cosx－f（x）sinx，又由f'（x）cosx－f（x）sinx＞0，则g'（x）＞0，函数g（x）在（0，π）上单调递增，a＝12f（π3）＝cosπ3f（π3）＝g（π3），b＝0＝cosπ2·f（π2）＝g（π2），c＝－32f（5π6）＝cos5π6f（5π6）＝3.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为（3，＋∞）.解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）在R上为增函数.又f（3）＝3，则F（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.同构法构造函数（定向精析突破）考向1同结构构造函数（1）（2025·温州高三统一测试）已知x，y∈R，则“x＞y＞1”是“x－lnx＞y－lny”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：（1）设f（t）＝t－lnt，t＞0，则f'（t）＝1－1t＝t－1t，由f'（t）＞0得t＞1，由f'（t）＜0得0＜t＜1，∴f（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.∴当x＞y＞1时，f（x）＞f（y），即x－lnx＞y－lny成立，故充分性成立.但x－lnx＞y－lny成立时，可能有x＝1e，y＝1，此时x＜y，故必要性不成立.综上，“x＞y＞1”是“x－lnx＞y－lny”（2）（2024·新乡第三次模拟）设a＝ln22，b＝ln33，c＝4－ln4e2，其中e是自然对数的底数A.b＜a＜c B.a＜c＜bC.b＜c＜a D.c＜b＜a解析：（2）因为a＝ln22＝ln44，b＝ln33，c＝4－2ln2e2＝lne22e22，令函数f（x）＝lnxx，x＞e，求导得f'（x）＝1－lnxx2＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减，又3＜e22＜4，因此f解题技法根据所给代数式（等式、不等式）中数学运算的相同点或者结构形式的相同点，构造具体的函数解析式，利用导数研究该函数的性质从而解决问题.考向2指对互化构造函数（2025·烟台期末）已知函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝lnx＋x－2，若∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为－1e.解析：∵∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），∴ex1＋x1－2＝lnx2＋x2－2，即ex1＋x1＝lnx2＋x2＝elnx2＋lnx2.令h（x）＝ex＋x，x∈R，则h'（x）＝ex＋1＞0，∴函数h（x）在R上是增函数，∴x1＝lnx2，即x2＝ex1，∴x1x2＝x1·ex1.令u（x）＝xex，x∈R，则u'（x）＝（x＋1）ex，当x＜－1时，u（x）单调递减，当x＞－1时，u（x）单调递增，可得x＝－1时，函数解题技法利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.1.已知a＝23＋ln32，b＝1＋1e，c＝12＋ln2，A.c＜b＜a B.b＜c＜aC.c＜a＜b D.a＜c＜b解析：D构造函数f（x）＝1x＋lnx，因为f'（x）＝－1x2＋1x＝x－1x2（x＞0）.所以当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增.因为1＜32＜2＜e，所以f（32）＜f（2）＜f（e），即23＋ln32＜12＋ln2＜12.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜blnb，则（）A.ab＞e B.b＞eaC.ab＜e D.b＜ea解析：B由aea＜blnb，得ealnea＜blnb.设f（x）＝xlnx（x＞0），因为a＞0，则ea＞1，因为b＞0，且blnb＞aea＞0，则b＞1.当x＞1时，f'（x）＝lnx＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，ealnea＜blnb，即f（ea）＜f（b），所以ea＜b.1.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜12，则f（x）＜x2＋12的解集为A.{x｜－1＜x＜1} B.{x｜x＜－1}C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜x＞1}解析：D构造函数h（x）＝f（x）－x2－12，所以h'（x）＝f'（x）－12＜0，故h（x）在R上是减函数，且h（1）＝f（1）－12－12＝0，故h（x）＜0的解集为{x｜2.已知a＝1e2，b＝ln24，c＝ln39，A.a＜b＜c B.c＜a＜bC.b＜a＜c D.c＜b＜a解析：B设f（x）＝lnxx2，则a＝f（e），b＝f（2），c＝f（3），又f'（x）＝1－2lnxx3，于是当x∈（e，＋∞）时，f'（x）＜0，故f（x）＝lnxx2在（e，＋∞）上单调递减，注意到e＜4＝2＜e＜3，则有f（3）＜f（e）＜3.已知α，β∈［－π2，π2］，且αsinα－βsinβ＞0，则下列结论正确的是（A.α＞β B.α2＞β2C.α＜β D.α＋β＞0解析：B构造函数f（x）＝xsinx，则f'（x）＝sinx＋xcosx.当x∈［0，π2］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈［－π2，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又易知f（x）为偶函数，所以αsinα－βsinβ＞0⇔αsinα＞βsinβ⇔f（α）＞f（β）⇔f（｜α｜）＞f（｜β｜）⇔｜α｜＞｜β｜⇔α2＞β2.故选4.若对任意的x1，x2∈（1，3]，当x1＜x2时，x1－x2＞a2lnx1－a2lnx2恒成立，则实数a的取值范围是（A.[3，＋∞） B.（3，＋∞）C.[6，＋∞） D.（6，＋∞）解析：C当x1＜x2时，x1－x2＞a2lnx1－a2lnx2恒成立，即当x1＜x2时，x1－a2lnx1＞x2－a2lnx2恒成立，设f（x）＝x－a2lnx，x∈（1，3]，则f（x）单调递减，故f'（x）＝1－a2x≤0在（1，3]上恒成立，即a≥2x在（1，3]上恒成立，所以5.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＋f'（x）＞1，f（0）＝4，则不等式exf（x）＞ex＋3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.（0，＋∞）B.（－∞，0）∪（3，＋∞）C.（－∞，0）∪（0，＋∞）D.（3，＋∞）解析：A不等式f（x）＋f'（x）＞1可化为（ex）'f（x）＋exf'（x）＞ex，即[exf（x）]'－ex＞0，所以函数g（x）＝exf（x）－ex是增函数.不等式exf（x）＞ex＋3，即exf（x）－ex＞3，即g（x）＞3＝g（0），所以x＞0，故不等式exf（x）＞ex＋3的解集为（0，＋∞）.故选A.6.已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，若a＝2f（1），b＝f（2），c＝4f（12），则a，b，c的大小关系是（A.c＜b＜a B.c＜a＜bC.a＜b＜c D.b＜a＜c解析：D令g（x）＝f（x）x，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），则g'（x）＝xf'(x)-f（x）x2，∵当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴g（2）＜g（1）＜g（12），∴f（2）2＜f（1）1＜2f（12），即7.设函数f（x）的定义域为R，f'（x）是其导函数，若f（x）＋f'（x）＞0，f（1）＝1，则不等式f（x）＞e1－x的解集是（）A.（0，＋∞） B.（1，＋∞）C.（－∞，0） D.（0，1）解析：B构造函数g（x）＝f（x）·ex，则g'（x）＝[f'（x）＋f（x）]·ex＞0，故g（x）在R上是增函数，g（1）＝e，f（x）＞e1－x可化为g（x）＞e＝g（1），故原不等式的解集为（1，＋∞），故选B.8.（2024·杭州期末）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）sinx＋f'（x）cosx＞0，则（）A.f（π3）＜3f（π6） B.f（π6）＜3fC.f（π3）＞3f（π6） D.f（π6）＞3f解析：B令F（x）＝f（x）cosx，x≠π2＋kπ，k∈Z，则F'（x）＝f'(x）cosx＋f（x）sinxcos2x＞0恒成立，所以F（x）＝f（x）cosx在（－π2＋kπ，π2＋kπ），k∈Z上单调递增.所以F（π6）＜9.已知x，y为正实数，lnx＋lny＝1y－x，则（A.x＞y B.x＜yC.x＋y＞1 D.x＋y＜1解析：C由lnx＋lny＝1y－x得：lnx＋x＝－lny＋1y＝ln1y＋1y，构造函数f（x）＝lnx＋x（x＞0），则f'（x）＝1x＋1＞0，可知f（x）＝lnx＋x在（0，＋∞）上为增函数，结合lnx＋x＝ln1y＋1y，得x＝1y，即xy＝1，由基本不等式可知：x＋y≥2xy＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，所以x10.已知a，b，c∈（1e，＋∞），且ln5a＝－5lna，ln3b＝－3lnb，ln2c＝－2lnc，A.b＜c＜a B.c＜b＜aC.a＜c＜b D.a＜b＜c解析：A设函数f（x）＝xlnx（x＞0），f'（x）＝1＋lnx，当x∈（1e，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，当x∈（0，1e）时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减，由题意ln5a＝－5lna，ln3b＝－3lnb，ln2c＝－2lnc，得alna＝15ln15，blnb＝13ln13，clnc＝12ln12＝14ln14，因为15＜14＜13＜1e，所以15ln15＞14ln14＞13ln13，则alna＞clnc＞blnb，11.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f'（x）是f（x）的导函数，若对于任意的x∈（0，＋∞），都有2f（x）＋xf'（x）＞0成立，且f（2）＝12，则不等式f（x）－2x2＞0的解集为（2，＋∞解析：令g（x）＝x2f（x），可得g'（x）＝2xf（x）＋x2f'（x），因为对于任意的x∈（0，＋∞），都有2f（x）＋xf'（x）＞0成立，可得g'（x）＞0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，可得g（－x）＝（－x）2f（－x）＝－x2f（x）＝－g（x），所以g（x）是定义在R上的奇函数，可得g（x）在（－∞，0）上单调递增，因为f（x）在R上连续不断，则g（x）在R上连续不断，所以函数g（x）在R上为增函数，由不等式f（x）－2x2＞0，可化为x2f（x）－2＞0，即g（x）＞2，因为f（2）＝12，可得g（2）＝22f（2）＝2，所以g（x）＞g（2），可得x＞2，所以不等式f（x）－2x2＞0的解集为12.已知函数f（x）的定义域是（0，＋∞），其导函数为f'（x），且满足lnx·f'（x）＋1x·f（x）＞0，则f（e）＞0（填“＞”或解析：令g（x）＝f（x）·lnx，可得g'（x）＝lnx·f'（x）＋1x·f（x），因为lnx·f'（x）＋1x·f（x）＞0，可得g'（x）＞0，g（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以g（e）＞g（1），又由g（1）＝0，即f（e）·lne＞0，即f（e）＞13.已知函数f（x）＝3lnx＋ax，a∈R，若对任意两个不相等正数x1，x2，都有f（x1)-f（xA.［54，＋∞） B.（54，＋C.（98，＋∞） D.［98，＋解析：D不妨设0＜x1＜x2，由f（x1)-f（x2）x1－x2≤2，得f（x1）－2x1≥f（x2）－2x2，令g