2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-考教衔接　基本不等式链的探究与应用

考教衔接基本不等式链的探究与应用一、基本不等式链的几何解释与证明几何解释由人A必修一P45探究可知.如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O于C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于E，连接OE，CD，再过点D作OE的垂线，垂足为F.则OC＝OE＝a＋b2（算术平均数），CD＝OC2＋O由△FED∽△DEO可得，DE＝ab（几何平均数），EF＝21a＋由图形易知EF＜DE＜OE＝OC＜CD，故21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22（a＞0代数证明证明：若实数a＞0，b＞0.（1）由21a＋1b＝2aba＋b，所以即证2aba＋b≤ab，即证2aba＋b≤1，即证2ab≤a＋b，即证（2）由基本不等式得，ab≤a＋b2成立（当且仅当a＝（3）要证a＋b2≤a2＋b22，即证（a＋b2）2≤a2＋b22，即证a2+2ab＋b24≤a2＋b22，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证（a－b）2≥0，显然上式成立.所以a＋b2≤a2＋二、基本不等式链的应用利用基本不等式链求最值（1）〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（ACD）A.ab有最大值1B.1a+2b＋C.a2＋b2有最小值1D.a＋b有最大值2解析：（1）对于A，由基本不等式可得ab≤a＋b2＝12，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，A正确；对于B，由21a+2b＋12a＋b≤（a+2b）＋（2a＋b）2＝3（a＋b）2＝32，得1a+2b＋12a＋b≥43，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝12时等号成立，B错误；对于C，由a2＋b22≥a＋b2（2）函数y＝2x－1＋5－2x解析：（2）函数的定义域为x∈［12，52］，由a＋b2≤a2＋b22，得a＋b≤2a2＋b22，则y＝2x－1＋5利用基本不等式链判断（证明）〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（）A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1解析：BC因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤（x＋y）24，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－34（x＋y）2＝14（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤x2＋y22得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－x2＋y22，即x2＋y2≤2，基本不等式链应用中的创新问题〔多选〕设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A（a，b）＝a＋b2，几何平均数为G（a，b）＝ab.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp（a，b）＝ap＋bpap－A.L0.5（a，b）≤L1（a，b） B.L0（a，b）≤G（a，b）C.L2（a，b）≤A（a，b） D.Ln＋1（a，b）≤Ln（a，b）解析：AB对于A，L0.5（a，b）＝a＋b1a＋1b＝ab≤L1（a，b）＝a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确；对于B，L0（a，b）＝21a＋1b＝2aba＋b≤2ab2ab＝ab＝G（a，b），当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确；对于C，L2（a，b）＝a2＋b2a＋b＝a2＋b2＋a2＋b22（a＋b）≥a2＋b2+2ab2（a＋b）＝（a＋b）☞高考还可以这样考1.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值为（）A.36 B.4C.16 D.9解析：D由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以（1＋x）（1＋2y）≤［（1+x）＋（1+2y）2］2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y2.若a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A.2aba＋b＜a＋b2＜ab C.a＋b2＞ab＞2aba＋b 解析：Ca＞b＞0，a＋b2＞ab，2aba＋b＜2ab2ab＝ab.3.已知x＞0，