河南省安阳市文源高级中学2024−2025学年高三下学期3月检测数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页河南省安阳市文源高级中学2024−2025学年高三下学期3月检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，且，则（）A．0 B．1 C． D．2．已知，则（）A． B． C． D．3．已知两个非零向量和，若，，则（）A． B．0 C． D．4．已知的内角的对边分别是，且，，则（

）A．5 B．4 C．3 D．15．已知，，则（）A． B． C．1 D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知函数恰有一个零点，则（）A．0 B．1 C．2 D．38．设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列结论可能成立的是（

）A．， B．，C．， D．，10．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则（

）A．平面 B．平面C．三棱锥的体积为 D．与所成角的余弦值为11．已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（）A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为C．的取值范围为 D．已知点，则为定值三、填空题（本大题共3小题）12．若则的值为.13．已知函数的图像与直线相切，且与直线仅有一个交点，则．14．如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是.四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在直五棱柱中，，，，，，是的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．16．记数列的前n项和为，已知，(1)求的通项公式;(2)是否存在m和k，使得是和的等差中项?若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由.17．已知双曲线的实轴长为，直线为双曲线的一条渐近线.(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线与双曲线交于不同的两点为坐标原点，且，过作，垂足为，问是否存在点使得为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.18．已知函数，．(1)比较与的大小；(2)证明：．19．甲、乙两个不透明的袋中各有个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为，乙袋中的小球分别编号为．从甲袋中任取两个小球，编号记为，从乙袋中任取两个小球，编号记为．(1)若，设，求的分布列和数学期望．(2)设，，事件“”发生的概率记为．（ⅰ）用含的组合数表示；（ⅱ）证明：当时，．附：．

参考答案1．【答案】C【详解】，，若，则，或，解得，或，或，经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去，所以当时，；当时，，故选C.2．【答案】C【详解】因为，则，所以，故选C.3．【答案】D【详解】由已知得，即，所以，得故选D.4．【答案】A【详解】由正弦定理，，于是，结合，于是.故选A.5．【答案】C【详解】因为，所以，又，所以，，所以故选6．【答案】D【详解】

连接由椭圆对称性知故选D.7．【答案】C【详解】通过代入特殊值可得，所以必然是的唯一零点；，令，，故有两个不相等的实数根，令，根据韦达定理，可以判断出；所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，故是的极小值点；当时，，当时，，故如果恰有一个零点，必然是在极小值点取到零点，故；，此时恰有一个零点.故选C.8．【答案】A【详解】设等差数列的公差为d，由题意得，解得，，则，则，则数列的前n项和为：故选9．【答案】ABC【详解】对于选项A，当取时，考虑函数.对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，时取得最大值，所以该区间上的最大值.对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项A可能成立.

对于选项B，当取时，考虑函数.对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，时取得最大值，所以该区间上的最大值.对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项B可能成立.

对于选项C，当取时，对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，和时取得最大值，所以该区间上的最大值.对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项C可能成立.对于选项D，当时，区间和至少含有半个周期，则；当时，函数在区间上的存在使，即.故D不成立.故选ABC.10．【答案】AC【详解】对选项A：因为，平面，平面，所以平面，故A正确；对B：如图：取中点，连接，.因为，所以.又平面平面，平面平面，平面.所以平面.平面，所以.在直角中：，，所以.又，所以，又为中点，所以与不垂直.所以平面是错误的，故B错误；对C：因为，所以，故C正确；对D：取中点，连接，.因为，所以即为异面直线与所成的角.在中，，，所以.在中，，，所以，故D错误.故选AC.11．【答案】ACD【详解】解：圆转化为标准方程为，,在直角中，；对于A:若直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得，所以A正确;对于B:当时，，，，四边形的面积，所以B错误;对于C:，因为，所以，由对勾函数在上单调递增，所以，所以C正确;对于D:方法一：当时，存在与轴的交点，，，所以四点共圆，且为此圆直径，圆心为，半径为，此圆方程为：，因为是此圆与圆的相交弦，故直线方程为两圆方程作差，即，化简得：，所以直线AB经过定点,因为，所以，因为在直线AB上，所以，即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.方法二：利用圆的极点极线性质，当时，存在与轴的交点，切点所在直线AB的方程为，化简得，所以直线AB经过定点,因为，所以，因为在直线AB上，所以，即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.故选ACD.12．【答案】【详解】13．【答案】6【详解】，由题意知函数单调递增，且且存在唯一零点，∴，即，∴，，则，则，∴，∴.14．【答案】【详解】小鼠逃生路线有以下六种情况：；.概率分别为所以小老鼠逃生概率为15．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）如图，分别取的中点，连接，则．因为，，所以四边形为平行四边形，所以，．同理，，所以，，所以四边形为平行四边形，故，又，所以，又平面，平面，所以平面．（2）如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，可得，，，，，则，，．设平面的法向量为，则，令，得．设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．16．【答案】(1)(2)存在且或【详解】（1）因为，①，所以，②，①-②，得，化简，得由，，得，仍适合，所以数列是公差为d的等差数列，所以（2）假设是和的等差中项，则，即，化简得，当时，，则，显然不成立;当时，由，解得当时，，则是和的等差中项；当时，，则是和的等差中项；当时，，则，不适合题意.综上，存在且或，使得是和的等差中项.17．【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）由双曲线实轴长为，得，因为双曲线的渐近线方程为，又直线为双曲线的一条渐近线，得，则，所以双曲线的标准方程为.（2）直线，设，由，消得，则，所以，因为，又，所以，所以，得到，化简得，又，得到，所以直线l恒过定点，又，则为直角三角形，所以当点为中点时，，所以存在点，使得为定值.18．【答案】(1)见解析；(2)证明过程见解析【详解】（1）令，则，故在上单调递增，又，所以当时，;当时，;当时，;（2）由（1）知，，令得，即，令得，令得，……，令得，以上式子相加得，即，所以.19．【答案】(1)分布列见解析，2(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【详解】（1）当时，甲袋中的小球编号分别为．因为，所以的所有可能取值