2018年数学（人教版选修2-3）练习阶段质量评估（二）

阶段质量评估(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,12) C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)解析：设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B；乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).答案：B2．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和eq\f(45,4)，则n、p的值分别是()A．50，eq\f(1,4) B．60，eq\f(1,4) C．50，eq\f(3,4) D．60，eq\f(3,4)解析：由二项分布X～B(n，p)的均值与方差可知E(X)＝nP＝15，D(X)＝np(1－p)＝eq\f(45,4)，解得n＝60，p＝eq\f(1,4).答案：B3．设随机变量ξ的概率分布列为：ξ123Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)则E(ξ＋2)的值为()A．eq\f(11,3) B．9 C．eq\f(13,3) D．eq\f(7,3)解析：E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,2)＝eq\f(7,3).∴E(ξ＋2)＝E(ξ)＋2＝eq\f(7,3)＋2＝eq\f(13,3).答案：C4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为()A．eq\f(32,3) B．eq\f(28,3)C．eq\f(14,3) D．eq\f(16,3)解析：由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<eq\f(2,3)，0<b<1.又eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2eq\r(\f(2b,a)\f(a,2b))＝eq\f(16,3)，当且仅当eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)时，eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为eq\f(16,3).答案：D5．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是eq\f(1,7)，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是()A.eq\f(3,7) B.eq\f(6,35)C.eq\f(1,35) D.eq\f(22,35)解析：设袋中有白球n个，则从中任取2个球都是白球的概率是eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，解得n＝3，即袋中有4个黑球，3个白球．设甲取到白球时取球的次数为X，则X可能取值为1,3,5.∴所求的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝eq\f(3,7)＋eq\f(4,7)×eq\f(3,6)×eq\f(3,5)＋eq\f(4,7)×eq\f(3,6)×eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(3,3)＝eq\f(22,35).答案：D6．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是()A．取到红球的次数 B．取到白球的次数C．2次取到的红球总数 D．取球的总次数解析：因为随机变量具有不确定性，取球的总次数是2次，具有确定性，所以取球的总次数不可作为随机变量．答案：D7．拋掷红、蓝两枚骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”．则当已知蓝色骰子点数为3或6时，A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,12)C.eq\f(5,13) D.eq\f(5,14)解析：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与(x，y)建立对应，由题意作图如图：显然：P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，P(AB)＝eq\f(5,36).法一：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(5,12).法二：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).答案：B8．正态分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e－eq\f(x－12,8)，x∈R，则其标准差为()A．1 B．2C．4 D．8解析：根据f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(x－μ2,2σ2)，对比f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e－eq\f(x－12,8)知σ＝2.答案：B9．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,6)解析：由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝eq\f(1,3)(3a)·b≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2)))2＝eq\f(1,12)，等号在3a＝b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,2)时成立．答案：C10．若随机变量η的分布列如下：η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是()A．x≤2 B．1≤x≤2C．1<x≤2 D．1<x<2解析：由离散型随机变量的概率分布列知：P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是1<x≤2.答案：C11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，则E(3X＋2)和D(3X＋2)的值分别是()A．4和4 B．4和2C．2和4 D．2和2解析：由于服从两点分布，P(X＝0)＝eq\f(1,3)，因此P(X＝1)＝eq\f(2,3).因此E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝4，D(3X＋2)＝9D(X)＝2.答案：B12．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c＝()．A．1 B．2C．3 D．4解析：解法一：∵X～N(2,9)，∴P(X>c＋1)＝P(X<3－c)．又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，∴3－c＝c－1，∴c＝2.故选B.解法二：∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图像关于x＝2对称，于是eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2.∴c＝2.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设离散型随机变量X～N(0,1)，则P(X≤0)＝________；P(－2<X<2)＝________.解析：由已知，得μ＝0，σ＝1，所以P(X≤0)＝0.5，P(－2<X<2)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.答案：0.50.954414.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．解析：由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)15．已知随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则n＝________.解析：因为ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，所以np＝6，且np(1－p)＝3.解得n＝12，p＝0.5.答案：1216．小李练习射击，每次击中目标的概率为eq\f(1,3)，用ξ表示小李射击5次击中目标的次数，则ξ的均值E(ξ)与方差D(ξ)的值分别是________________．解析：由题意知，ε～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，∴E(ε)＝5×eq\f(1,3)＝eq\f(5,3)，D(ε)＝5×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(10,9).答案：eq\f(5,3)，eq\f(10,9)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝Aeq\o\al(2,5)＝20.又μ(A)＝Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.于是P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因为μ(AB)＝Aeq\o\al(2,3)＝6，所以P(AB)＝eq\f(μAB,μΩ)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).解法二：因为μ(AB)＝6，μ(A)＝12，所以P(B|A)＝eq\f(μAB,μA)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).18．(12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的分布列分别为：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？解：由期望的定义，得E(X)＝900×0.1＋1000×0.8＋1100×0.1＝1000，E(Y)＝950×0.3＋1000×0.4＋1050×0.3＝1000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得D(X)＝(900－1000)2×0.1＋(1000－1000)2×0.8＋(1100－1000)2×0.1＝2000，D(Y)＝(950－1000)2×0.3＋(1000－1000)2×0.4＋(1050－1000)2×0.3＝1500.∵D(X)＞D(Y)，∴乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．19．(本小题满分12分)在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x、y，设O为坐标原点，点P的坐标为(x－2，x－y)，记ξ＝|Oeq\o(P,\s\up6(→))|2.(Ⅰ)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和数学期望．解：(Ⅰ)x、y可能的取值为1、2、3，∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，∴ξ＝(x－2)2＋(x－y)2≤5，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝5.因此，随机变量ξ的最大值为5，有放回摸两球的所有情况有3×3＝9种∴P(ξ＝5)＝eq\f(2,9).(Ⅱ)ξ的所有取值为0,1,2,5.ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况．ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况．∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,9)，则随机变量ξ的分布列为：ξ0125Peq\f(1,9)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(2,9)因此，数学期望E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋5×eq\f(2,9)＝2.20．(本小题满分12分)在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．(1)求蜜蜂落入第二实验区的概率；(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；(3)记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望E(X)．解：(1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B.依题意，P(A)＝eq\f(V小锥体,V圆锥体)＝eq\f(\f(1,3)·\f(1,4)·S圆锥底面·\f(1,2)h圆锥,\f(1,3)·S圆锥底面h圆锥)＝eq\f(1,8)，∴P(B)＝1－P(A)＝eq\f(7,8)，∴蜜蜂落入第二实验区的概率为eq\f(7,8).(2)记“蜜蜂被染上红色”为事件C，则事件B、C为相互独立事件，又P(C)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(7,8)，∴P(BC)＝P(B)P(C)＝eq\f(1,4)×eq\f(7,8)＝eq\f(7,32)，∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为eq\f(7,32).(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X服从二项分布，即X～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40，\f(1,8)))，∴随机变量X的数学期望E(X)＝40×eq\f(1,8)＝5.21．(本小题满分12分)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10.求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ.解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A．因为基本事件总数n＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5)＝31，事件A包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件数m＝3.所以P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,31).(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5.又P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5),31)＝eq\f(5,31)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5),31)＝eq\f(10,31)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),31)＝eq\f(10,31)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(4,5),31)＝eq\f(5,31)，P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(5,5),31)＝eq\f(1,31)，故ξ的分布列为ξ12345Peq\f(5,31)eq\f(10,31)eq\f(10,31)eq\f(5,31)eq\f(1,31)从而Eξ＝1×eq\f(5,31)＋2×eq\f(10,31)＋3×eq\f(10,31)＋4×eq\f(5,31)＋5×eq\f(1,31)＝eq\f(80,31).22．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产