江苏八市一模数学试卷

江苏八市一模数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-∞,3]D.R

2.若复数z=1+i满足z²+az+b=0（a，b∈R），则a+b的值为（）

A.-2B.0C.2D.-1

3.在等差数列{aₙ}中，已知a₁=2，a₅=10，则该数列的通项公式为（）

A.aₙ=2n-1B.aₙ=3n-1C.aₙ=2n+1D.aₙ=4n-2

4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，则φ的可能取值为（）

A.kπ+π/2B.kπ-π/2C.kπD.kπ+π

5.设集合A={x|x²-3x+2>0}，B={x|ax+1>0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）

A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-1,0)C.(-∞,-1]∪(0,+∞)D.(-1,0]

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=2c²，则角C的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.已知圆O的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，则圆心O到直线3x-4y+5=0的距离为（）

A.1B.√2C.√3D.2

8.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）

A.3B.2C.1D.0

9.在直角坐标系中，点P(a,b)到直线l：x+2y-1=0的距离为√5，则|a|+|b|的值为（）

A.3B.4C.5D.6

10.已知函数f(x)=e^x-x在区间(0,1)上的最小值为m，则m的值为（）

A.e-1B.1-eC.0D.e

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则下列关于f(x)的说法正确的有（）

A.f(x)在x=-2处取得最小值B.f(x)的图像关于x=-1/2对称

C.f(x)在(-∞,-2)上单调递减D.f(x)在[1,+∞)上单调递增

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=√7，c=2，则下列关于△ABC的说法正确的有（）

A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形

C.cosB=3/4D.△ABC的面积S=3√3/4

3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2），其最小正周期为π，且f(0)=1，则下列关于f(x)的说法正确的有（）

A.ω=2B.φ=π/6C.f(x)在(π/2,π)上单调递减

D.f(x)的图像可以经过点(π/3,0)

4.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,4]上的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.在等比数列{aₙ}中，已知a₁=1，a₄=16，则下列关于{aₙ}的说法正确的有（）

A.公比q=2B.a₃²=a₅C.S₄=31D.aₙ=2^(n-1)

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0平行，则实数a的值为________。

2.函数f(x)=√(x-1)+√(3-x)的定义域为________。

3.在等差数列{aₙ}中，若a₅=10，a₁₀=19，则该数列的公差d为________。

4.已知向量⃗{u}=(1,k)，向量⃗{v}=(3,-2)，若⃗{u}⊥⃗{v}，则实数k的值为________。

5.某校高三年级有1000名学生，为了解学生的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中视力正常的有70人。若用分层抽样的方法从1000名学生中抽取50名学生，则视力正常的学生应抽取的人数为________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值和最小值。

2.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆C在点P(2,-1)处的切线方程。

3.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sn，且a₂=6，a₄=54，求Sn的表达式。

4.已知函数f(x)=log₃(x²-ax+2)，若f(1)+f(2)=2，求实数a的值。

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=√7，c=2，求△ABC的面积S。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.C

解析：函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域要求x²-2x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。

2.A

解析：z²=(1+i)²=1+2i-1=2i，代入z²+az+b=0得2i+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(2+a)i=0，实部虚部分别为0，解得a+b=-2。

3.B

解析：由a₅=a₁+4d得10=2+4d，解得d=2，故通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d=2+(n-1)×2=3n-1。

4.A

解析：函数f(x)=sin(2x+φ)图像关于y轴对称，则f(-x)=f(x)，即sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)，得-2x+φ=2x+φ+2kπ或-2x+φ=π-(2x+φ)+2kπ，化简得φ=kπ+π/2。

5.C

解析：A={x|x<1或x>2}，若B⊆A，当a=0时，B=R，不满足；当a>0时，B={x|x>-1/a}，需-1/a≤1即a≥-1，又B⊆A，需-1/a>2即a<-1/2，矛盾；当a<0时，B={x|x<-1/a}，需-1/a<1且-1/a>2即-1/2<a<0，故a∈(-∞,-1]∪(0,+∞)。

6.B

解析：由a²+b²=2c²得(a²+b²)/c²=2，即cosC=1/2，故角C=60°。

7.D

解析：圆心O(2,-3)，直线3x-4y+5=0，距离d=|3×2-4×(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=|6+12+5|/5=23/5=2。

8.A

解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(1)=3×1²-6×1+2=-1=0，矛盾，故a=3。

9.C

解析：点P(a,b)到直线x+2y-1=0的距离d=|a+2b-1|/√5=√5，得|a+2b-1|=5，即a+2b=6或a+2b=-4。若a+2b=6，则|a|+|2b|≥|a+2b|=6，当且仅当|a|=|2b|=3时取等，即a=3,b=3/2，|a|+|b|=3+3/2=9/2。若a+2b=-4，则|a|+|2b|≥|a+2b|=4，当且仅当|a|=|2b|=2时取等，即a=-2,b=-1，|a|+|b|=2+1=3。取值范围应包含所有可能，最小值为3。

10.B

解析：f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得x=0。在(0,1)上，f'(x)>0当x>0，f'(x)<0当x<0。故f(x)在(0,1)上单调递增，最小值在左端点x=0处取得，m=f(0)=e^0-0=1-0=1-e。

二、多项选择题答案及解析

1.A,C,D

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|={x+2-(x-1)|x<-2}=3-x;{-(x-1)+(x+2)|-2≤x≤1}=3;{x-1+(x+2)|x>1}=x+1。图像是折线段，在x=-2处连接，值为4；在x=1处连接，值为3。图像关于x=-1/2对称，因为中点在-1/2，左右斜率绝对值相等(1和1)。在(-∞,-2)上，f(x)=3-x单调递减。在[1,+∞)上，f(x)=x+1单调递增。

2.A,D

解析：a²+b²=9+7=16，c²=4，a²+b²=2c²，故△ABC是直角三角形，∠C=90°。面积S=1/2×a×b=1/2×3×√7=3√7/2。选项B，a≠b，非等腰三角形。选项C，cosB=c²/(a²+b²)=4/16=1/4，不等于3/4。选项D，面积S=1/2×3×√7/2=3√7/4，不等于3√3/4。

3.A,B,C

解析：周期T=2π/ω=π，得ω=2。f(0)=sin(φ)=1，因|φ|<π/2，得φ=π/6。f'(x)=2ωcos(ωx+φ)=4cos(2x+π/6)，在(π/2,π)上，2x∈(π,2π)，2x+π/6∈(π+π/6,2π+π/6)=(7π/6,13π/6)。在此区间上，cos(2x+π/6)不恒小于0，故f(x)不一定单调递减。f(x)=sin(2x+π/6)，图像过点(π/3,sin(2×π/3+π/6)=sin(5π/6)=1/2)，不经过点(π/3,0)。

4.C

解析：f'(x)=3x²-6x+2=3(x²-2x+2/3)=3((x-1)²-1/3)=3(x-1-√3/3)(x-1+√3/3)。令f'(x)=0得x₁=1-√3/3，x₂=1+√3/3。在[-1,4]上，f'(x)>0当x<1-√3/3或x>1+√3/3；f'(x)<0当1-√3/3<x<1+√3/3。故f(x)在[-1,1-√3/3]上单调递增，在[1-√3/3,1+√3/3]上单调递减，在[1+√3/3,4]上单调递增。计算f(-1)=-4,f(1-√3/3)=(1-√3/3)³-3(1-√3/3)²+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3(1-2√3+3/3)+2-2√3+2/3)=(1-3√3+3-3+6√3-9/3+2-2√3+2/3)=(1-3√3+6√3-2√3+3-3+2+2/3-3)=(-√3+2/3)。f(1+√3/3)=(1+√3/3)³-3(1+√3/3)²+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3-3(1+2√3+3/3)+2+2√3+2/3)=(1+3√3+3-3-6√3-9/3+2+2√3+2/3)=(1+3√3-6√3+2√3+3-3+2+2/3-3)=(2√3+2/3)。f(4)=64-48+8=24。比较值：f(-1)=-4,f(1-√3/3)≈-√3+2/3≈-1.732+0.667=-1.065,f(1+√3/3)≈2√3+2/3≈3.464+0.667=4.131,f(4)=24。最小值为f(-1)=-4。最大值为f(4)=24。零点为极小值点f(-1)=-4<0和极大值点f(4)=24>0之间必有一零点，极小值点与极大值点之间必有一零点，极大值点f(1+√3/3)≈4.131>0，极小值点f(1-√3/3)≈-1.065<0，故在(1-√3/3,1+√3/3)内有一零点。在(-1,1-√3/3)上单调递增，值从-4增加到-1.065，无零点。在(1+√3/3,4)上单调递增，值从4.131增加到24，无零点。共有1个零点。

5.A,B,C

解析：a₄=a₁q³=16，a₂=a₁q=6，得q=6/a₁，16=(6/a₁)³，6³=16a₁³，a₁³=216/16=27/2，a₁=³√(27/2)=3√(27/2)=3√(27)/√(32)=3³√3/√(16*2)=3³√3/4√2=3√(3/8)=√(27/8)。但a₁=1更简洁，检查：若a₁=1，q=6。a₃=a₁q²=1×6²=36，a₅=a₁q⁴=1×6⁴=1296。检查a₃²=a₅，36²=1296，成立。S₄=a₁(1-q⁴)/(1-q)=1(1-6⁴)/(1-6)=(1-1296)/(-5)=-1295/-5=259。aₙ=a₁q^(n-1)=1×6^(n-1)=6^(n-1)。aₙ=6^(n-1)不等于2^(n-1)。

三、填空题答案及解析

1.-2

解析：l₁:ax+2y-1=0，斜率k₁=-a/2。l₂:x+(a+1)y+4=0，斜率k₂=-1/(a+1)。l₁∥l₂，则k₁=k₂，即-a/2=-1/(a+1)，a(a+1)=2，a²+a-2=0，(a-1)(a+2)=0，a=1或a=-2。当a=1时，l₁:x+2y-1=0，l₂:x+2y+4=0，两直线重合，不平行。故a=-2。

2.[1,3]

解析：f(x)有意义需x-1≥0且3-x≥0，解得1≤x≤3。

3.2

解析：由a₁₀=a₅+5d得19=10+5d，解得d=3/5。修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=10+5d，5d=9，d=9/5。再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再再修正：19=