今年忻州高考数学试卷

今年忻州高考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是（）。

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-∞,1)∪(1,+∞)

2.若集合A={x|x²-5x+6=0},B={x|ax=1},且A∩B={2},则实数a的值为（）。

A.1/2

B.-1/2

C.1/4

D.-1/4

3.已知向量a=(3,k),b=(1,2),若a⊥b,则k的值为（）。

A.2/3

B.3/2

C.-2/3

D.-3/2

4.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）。

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

5.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为5的概率是（）。

A.1/36

B.1/12

C.5/36

D.1/6

6.已知等差数列{aₙ}的首项为2,公差为3,则其第10项的值为（）。

A.29

B.30

C.31

D.32

7.不等式|2x-1|<3的解集是（）。

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-4,1)

8.已知圆O的方程为x²+y²-4x+6y-3=0,则该圆的半径为（）。

A.2

B.√3

C.√7

D.3

9.若直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交于两点，则k的取值范围是（）。

A.(-2,2)

B.(-√2,√2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-√3,√3)

10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=2,则f(-1)+f(0)的值为（）。

A.0

B.2

C.-2

D.4

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）。

A.y=x³

B.y=sin(x)

C.y=x⁻¹

D.y=logₓ(x)

2.在等比数列{aₙ}中，若a₃=12,a₅=96,则该数列的公比为（）。

A.2

B.-2

C.3

D.-3

3.已知点A(1,2)和B(3,0),则下列说法正确的有（）。

A.线段AB的长度为√8

B.线段AB的中点坐标为(2,1)

C.过点A且与直线AB垂直的直线方程为x-y+1=0

D.过点B且与直线AB平行的直线方程为x-3y-3=0

4.下列不等式中，解集为R的有（）。

A.x²+1>0

B.|x|≥0

C.2x-1>x-1

D.sin(x)≤1

5.已知函数f(x)=x²-mx+2在区间[1,3]上的最小值为1,则实数m的取值集合为（）。

A.{3}

B.{4}

C.{5}

D.{6}

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=√(x-1),则其定义域为____________。

2.若集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥2},则A∪B=____________。

3.已知向量a=(1,2),b=(-3,4),则向量a与向量b的夹角余弦值为____________。

4.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于____________对称。

5.在等差数列{aₙ}中，若a₁=5,d=-2,则该数列的前10项和S₁₀=____________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解方程：2x²-7x+3=0。

2.已知函数f(x)=x³-3x+1,求f'(x)，并判断x=1是否为f(x)的极值点。

3.计算：lim(x→2)(x²-4)/(x-2)。

4.在直角坐标系中，点A(1,3)，点B(4,1)，求过点A且与直线AB垂直的直线方程。

5.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，公比为q(q≠1)，且S₃=6,S₆=42，求公比q的值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.C

解析：函数f(x)=log₃(x-1)有意义，则x-1>0，解得x>1，所以定义域为(1,+∞)。

2.A

解析：集合A={2,3}，因为A∩B={2}，所以2∈B，即2a=1，解得a=1/2。

3.D

解析：向量a⊥b，则a·b=0，即3×1+k×2=0，解得k=-3/2。

4.A

解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.B

解析：两个骰子点数之和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4种，概率为4/36=1/9。这里原参考答案为1/12，实际计算为1/9，可能是选项设置问题，按标准计算选B。

6.C

解析：aₙ=a₁+(n-1)d=2+(10-1)×3=2+27=29。

7.C

解析：|2x-1|<3，则-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2。

8.C

解析：圆的标准方程为(x-2)²+(y+3)²=16，圆心为(2,-3)，半径r=√16=4。原方程配方：(x²-4x+4)+(y²+6y+9)=3+4+9，即(x-2)²+(y+3)²=16，半径为4。这里原参考答案为√7，计算错误，正确半径为4。可能是题目或选项设置问题，按标准计算应选半径为4的选项，但题目要求选择√7，需注意题目可能存在偏差。

9.B

解析：直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交，将直线方程代入圆方程：x²+(kx+1)²=4，即(1+k²)x²+2kx+1-4=0，即(1+k²)x²+2kx-3=0。判别式Δ=(2k)²-4(1+k²)(-3)=4k²+12+12k²=16k²+12>0恒成立。又因为直线不过圆心(0,0)，即k*0+1≠0，所以k≠0。因此k的取值范围是(-√2,√2)。

10.A

解析：f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)。所以f(-1)=-f(1)=-2，f(0)=0（奇函数关于原点对称，必过原点(0,0)，所以f(0)=0）。因此f(-1)+f(0)=-2+0=-2。这里原参考答案为0，计算错误。

二、多项选择题答案及解析

1.ABC

解析：y=x³是奇函数(x⁻¹=1/x也是奇函数)，y=sin(x)是奇函数，y=x⁻¹是奇函数。y=logₓ(x)的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，不是奇函数（也不是偶函数，除非x=1，但定义域限制）。

2.AB

解析：a₅=a₃q²，96=12q²，q²=8，q=±√8=±2√2。所以公比为2或-2。原参考答案只选A，遗漏了-2的情况。

3.ABC

解析：|AB|=√[(3-1)²+(0-2)²]=√(4+4)=√8。中点坐标为((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1。垂直于AB的直线的斜率为1。过A(1,2)的垂线方程为y-2=1(x-1)，即y=x+1，整理为x-y+1=0。过B(3,0)且平行于AB的直线斜率也是-1，方程为y-0=-1(x-3)，即y=-x+3，整理为x+y-3=0。原参考答案D的方程x-3y-3=0，整理为x-3y=3，斜率为1/3，与AB平行，但过点(3,0)，不是过B(3,0)的平行线。所以D错误。正确答案为ABC。

4.AB

解析：x²+1>0，对任意实数x恒成立。|x|≥0，对任意实数x恒成立。2x-1>x-1，化简得x>-2，解集不是R。sin(x)≤1，对任意实数x恒成立。所以解集为R的有AB。

5.A

解析：f(x)=x²-mx+2，对称轴x=m/2。函数在[1,3]上的最小值为1。最小值可能在端点取得，也可能在对称轴上取得（需判断端点是否包含在内）。当m/2≤1，即m≤2时，最小值在x=1处取得，f(1)=1-m+2=3-m=1，解得m=2。当m/2≥3，即m≥6时，最小值在x=3处取得，f(3)=9-3m+2=11-3m=1，解得m=10/3。但m=10/3<6，与m≥6矛盾，舍去。当1<m/2<3，即2<m<6时，最小值在对称轴x=m/2处取得，f(m/2)=(m/2)²-m(m/2)+2=m²/4-m²/2+2=-m²/4+2=1，解得m²/4=1，m²=4，m=±2。但需满足2<m<6，所以只有m=2符合。综上，m=2。原参考答案包含A和B，但根据详细计算，只有m=2满足条件。可能是原参考答案有误。

三、填空题答案及解析

1.(1,+∞)

解析：f(x)=√(x-1)有意义，则x-1≥0，解得x≥1。

2.(-1,3]

解析：A∪B={x|-1<x<3}∪{x|x≥2}={x|-1<x<3或x≥2}=(-1,3]。

3.-11/5

解析：cosθ=a·b/(|a||b|)=(1×(-3)+2×4)/(√(1²+2²)×√((-3)²+4²))=(-3+8)/(√5×√25)=5/(5√5)=1/√5=√5/5。这里原参考答案为-11/5，计算错误。

4.(π/4,π/4)

解析：函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于直线x=π/4对称。因为y=tan(π/4-x)=tan(-(x-π/4))=-tan(x-π/4)，图像关于x=π/4对称。

5.-50

解析：S₁₀=(n/2)*(a₁+a₁₀)=5*(5+a₁₀)。a₁₀=a₁+9d=5+9(-2)=5-18=-13。所以S₁₀=5*(5-13)=5*(-8)=-40。这里原参考答案为-50，计算错误，S₁₀应为-40。

四、计算题答案及解析

1.解：方程2x²-7x+3=0。

因式分解：(x-3)(2x-1)=0。

解得：x-3=0或2x-1=0。

x₁=3，x₂=1/2。

答：x=3或x=1/2。

2.解：f(x)=x³-3x+1。

f'(x)=3x²-3。

令f'(x)=0，得3x²-3=0，即x²=1，解得x₁=1,x₂=-1。

f''(x)=6x。

当x=1时，f''(1)=6>0，所以x=1是极小值点。

当x=-1时，f''(-1)=-6<0，所以x=-1是极大值点。

因此x=1不是f(x)的极值点。

答：f'(x)=3x²-3；x=1不是极值点。

3.解：lim(x→2)(x²-4)/(x-2)。

原式=lim(x→2)[(x+2)(x-2)]/(x-2)。

因为x→2时，x≠2，所以可以约分。

原式=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

答：4。

4.解：点A(1,3)，点B(4,1)。

直线AB的斜率k_AB=(1-3)/(4-1)=-2/3。

过点A(1,3)且与直线AB垂直的直线的斜率为k=-1/k_AB=-1/(-2/3)=3/2。

根据点斜式方程，直线方程为y-3=(3/2)(x-1)。

化为一般式：2(y-3)=3(x-1)，即2y-6=3x-3，整理得3x-2y+3=0。

答：3x-2y+3=0。

5.解：等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，公比为q(q≠1)。

S₃=a₁(1-q³)/(1-q)=6，①

S₆=a₁(1-q⁶)/(1-q)=42，②

将①式两边除以②式两边：(a₁(1-q³)/(1-q))/(a₁(1-q⁶)/(1-q))=6/42。

化简得：(1-q³)/(1-q⁶)=1/7。

因为q≠1，约分得：(1+q+q²)/(1+q³)=1/7。

交叉相乘得：7(1+q+q²)=1+q³。

展开得：7+7q+7q²=1+q³。

整理得：q³-7q²-7q-6=0。

试根，q=-1是方程的根（-1³-7(-1)²-7(-1)-6=-1-7+7-6=-7+7-6=0）。

所以(q+1)是因式：(q³-7q²-7q-6)=(q+1)(q²-8q-6)。

解q²-8q-6=0，得q=(8±√(64+24))/2=(8±√88)/2=(8±2√22)/2=4±√22。

所以q的可能值为-1,4+√22,4-√22。

答：q=-1或q=4+√22或q=4-√22。

知识点总结：

本试卷主要考察了高中数学的基础知识，包括函数、集合、向量、三角函数、数列、不等式、解析几何和极限等部分。

1.函数部分：考察了函数的定义域、奇偶性、周期性、求导、极值点判断、图像对称性等。

2.集合部分：考察了集合的运算（并集