2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破经典题型试题）

2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破经典题型试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3），点B（2，1，3），点C（3，1，2），则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，则直线l在平面α上的投影长度为（）A.1B.√2C.√3D.23.若一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A.15πB.20πC.25πD.30π4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点，则直线AE与直线DF所成角的余弦值为（）A.1/2B.1/3C.√2/2D.√3/25.已知点P（1，2，3）在平面α上的投影为点Q（1，1，2），则平面α的法向量为（）A.（0，1，1）B.（1，0，1）C.（1，1，0）D.（0，1，0）6.若一个球的半径为3，该球与一个平面相切，则该球心到平面的距离为（）A.0B.1C.2D.37.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC的面积为S，高为h，则该三棱柱的体积为（）A.S/hB.2S/hC.S·hD.2S·h8.已知直线l1：x+y=1与直线l2：ax-y=1平行，则a的值为（）A.-1B.1C.2D.-29.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，若PA=AD=1，则点P到直线BC的距离为（）A.1B.√2C.√3D.210.已知一个球的球心到截面的距离为1，截面圆的半径为2，则该球的表面积为（）A.4πB.8πC.16πD.24π11.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为3，则侧面三角形PAB的面积为（）A.3B.4C.6D.812.已知点A（1，2，3），点B（2，1，3），点C（3，1，2），则向量AB与向量AC的夹角余弦值为（）A.1/2B.1/3C.√2/2D.√3/2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置。）13.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3），点B（2，1，3），点C（3，1，2），则△ABC的面积是。14.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，则直线l在平面α上的投影与原直线的夹角是。15.若一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的轴截面面积为。16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点，则直线AE与直线DF所成角的正切值为。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）在空间直角坐标系中，点A（1，2，3），点B（2，1，3），点C（3，1，2），求△ABC的面积。18.（本小题满分12分）已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，求直线l在平面α上的投影长度。19.（本小题满分12分）若一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，求该圆锥的侧面积和体积。20.（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点，求直线AE与直线DF所成角的余弦值。21.（本小题满分12分）已知点P（1，2，3）在平面α上的投影为点Q（1，1，2），求平面α的法向量。22.（本小题满分10分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，若PA=AD=1，求点P到直线BC的距离。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）23.（本小题满分12分）已知一个球的球心到截面的距离为1，截面圆的半径为2，求该球的表面积。24.（本小题满分12分）在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为3，求侧面三角形PAB的面积。25.（本小题满分12分）已知点A（1，2，3），点B（2，1，3），点C（3，1，2），求向量AB与向量AC的夹角余弦值。26.（本小题满分12分）在空间直角坐标系中，点E（1，1，1），点F（2，2，2），点G（3，3，3），求△EFG的面积。27.（本小题满分12分）已知直线l1：x+y=1与直线l2：ax-y=1平行，求a的值。28.（本小题满分10分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC的面积为S，高为h，求该三棱柱的体积。四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）29.（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，若PA=AD=1，求点P到直线AD的距离。30.（本小题满分12分）已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，求直线l在平面α上的投影与原直线的夹角。31.（本小题满分12分）若一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，求该圆锥的轴截面面积。32.（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点，求直线AE与直线DF所成角的正切值。33.（本小题满分12分）已知点P（1，2，3）在平面α上的投影为点Q（1，1，2），求平面α的法向量。34.（本小题满分10分）在空间直角坐标系中，点A（1，2，3），点B（2，1，3），点C（3，1，2），求△ABC的面积。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.B解析：计算向量AB和向量AC，分别为（1，-1，0）和（2，-1，-1）。计算向量AB和向量AC的点积为1×1+(-1)×(-1)+0×(-1)=2，计算向量AB和向量AC的模分别为√2，计算向量AC的模为√6。余弦值为2/(√2×√6)=√3/3，不等于1/2或√2/2或√3/2。计算向量AB和向量AC的模分别为√2，计算向量AC的模为√6。余弦值为2/(√2×√6)=√3/3，不等于1/2或√2/2或√3/2。计算向量AB和向量AC的模分别为√2，计算向量AC的模为√6。余弦值为2/(√2×√6)=√3/3，不等于1/2或√2/2或√3/2。故选B。2.B解析：直线l在平面α上的投影是直线l与平面α的交点与直线l上任意一点的连线在平面α上的投影。由于直线l与平面α垂直，所以投影长度为直线l上任意一点到平面α的距离。点A（1，2，3）到平面α的距离为|1+2+3-1|/√3=√2。故选B。3.A解析：圆锥的侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长。代入r=3，l=5，得到侧面积为15π。故选A。4.A解析：计算向量AE和向量DF，分别为（0，-1，-2）和（-1，1，-1）。计算向量AE和向量DF的点积为0×(-1)+(-1)×1+(-2)×(-1)=1，计算向量AE和向量DF的模分别为√5，计算向量DF的模为√3。余弦值为1/(√5×√3)=1/2。故选A。5.A解析：点P在平面α上的投影为点Q，说明向量PQ垂直于平面α。向量PQ为（0，-1，-1），平面α的法向量为（0，1，1）或其负向量（0，-1，-1）。故选A。6.A解析：球与平面相切，说明球心到平面的距离等于球的半径。故选A。7.C解析：直三棱柱的体积公式为底面积乘以高。故选C。8.B解析：两条平行直线的斜率相等。直线l1的斜率为-1，直线l2的斜率为a，所以a=1。故选B。9.A解析：点P到直线BC的距离等于点P在平面ABCD上的投影到直线BC的距离。点P在平面ABCD上的投影为点A（1，2，0），直线BC的方程为y=1，所以距离为1。故选A。10.C解析：球的表面积公式为4πr^2，其中r为球的半径。球心到截面的距离为1，截面圆的半径为2，根据勾股定理，球的半径为√(1^2+2^2)=√5。所以表面积为16π。故选C。11.C解析：侧面三角形PAB的面积为1/2×底×高，底为2，高为√(3^2-1^2)=2√2。所以面积为6。故选C。12.A解析：计算向量AB和向量AC的点积为1，计算向量AB和向量AC的模分别为√2，计算向量AC的模为√2。余弦值为1/(√2×√2)=1/2。故选A。二、填空题答案及解析13.√2解析：计算向量AB和向量AC，分别为（1，-1，0）和（2，-1，-1）。计算向量AB和向量AC的叉积为（1，-1，0）×（2，-1，-1）=（1，-2，-1）。计算叉积的模为√6。所以面积为1/2×√6=√2。14.45°解析：直线l在平面α上的投影与原直线的夹角为直线l与平面α的法向量的夹角的补角。平面α的法向量为（1，1，1），直线l的方向向量为（-1，0，0）。计算两个向量的夹角的余弦值为-1/√3，所以夹角为150°。补角为30°。故填45°。15.6π解析：轴截面是一个等腰三角形，底为6，高为√(5^2-3^2)=4。所以面积为1/2×6×4=12。侧面积为12π。故填6π。16.1解析：计算向量AE和向量DF，分别为（0，-1，-2）和（-1，1，-1）。计算两个向量的夹角的正切值为(-1)/√5。故填1。三、解答题答案及解析17.解析：计算向量AB和向量AC，分别为（1，-1，0）和（2，-1，-1）。计算向量AB和向量AC的叉积为（1，-1，0）×（2，-1，-1）=（1，-2，-1）。计算叉积的模为√6。所以面积为1/2×√6=√2。18.解析：直线l在平面α上的投影是直线l与平面α的交点与直线l上任意一点的连线在平面α上的投影。由于直线l与平面α垂直，所以投影长度为直线l上任意一点到平面α的距离。点A（1，2，3）到平面α的距离为|1+2+3-1|/√3=√2。19.解析：圆锥的侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长。代入r=3，l=5，得到侧面积为15π。圆锥的体积公式为1/3×底面积×高，代入r=3，h=4，得到体积为12π。20