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文档简介
第一节复数1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.1.(2022·新高考Ⅱ卷2题)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4i B.-2-4iC.6+2i D.6-2i解析:D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.故选D.2.已知i为虚数单位,若复数z=3+i1-i,则z的共轭复数A.1+2i B.1-2iC.2+i D.2-i解析:B∵z=3+i1-i=(3+i)(1+i)(1-i)(1+i3.已知复数z=21-i,则zA.2 B.10C.25 D.10解析:B因为z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,所以z+2i=4.若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,则实数m=.答案:-1解析:∵复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,∴m+1=0,m-1.(1±i)2=±2i,1+i1-i=i,12.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).3.z·z=|z|2=|z|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,|z1z2|=|z1||z2|,4.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)若存在虚根,则两根必为共轭复数.1.已知z=1+i1-i,则|zA.22 B.2C.-2 D.1解析:D由结论3可知|z|=|1+i||1-i2.已知i为虚数单位,则(1+i1-i)答案:1解析:由结论1可得1+i1-i=i,又i2024=i4×506,由结论复数的有关概念1.(2023·全国甲卷2题)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=()A.-2 B.-1C.1 D.2解析:C∵(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai2=2a+(1-a2)i=2,∴2a=2且1-a2=0,解得a=1,故选C.2.若复数z=(a+2)+(1-a)i(a∈R)为实数,则a=.答案:1解析:由复数z=(a+2)+(1-a)i(a∈R)为实数,得1-a=0,解得a=1.3.若复数a+i3-i(a∈R)是纯虚数,则答案:1解析:因为a+i3-i=(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=34.若复数z=3+4i,且z+az=9-4i,则实数a=.答案:2解析:因为z=3+4i,所以z=3-4i,所以3+4i+3a-4ai=3+3a+(4-4a)i=9-4i,所以3+3a=9,4练后悟通解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及共轭复数,复数的模等概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题;(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.复数的四则运算1.(2023·全国甲卷2题)5(1+iA.-1 B.1C.1-i D.1+i解析:C由题意得5(1+i3)(2+i)(2-2.(2022·全国甲卷1题)若z=-1+3i,则zzz-A.-1+3i B.-1-3iC.-13+33i D.-13解析:Czzz-1=-1+3i(-1+3.(2023·新高考Ⅰ卷2题)已知z=1-i2+2i,则z-A.-i B.iC.0 D.1解析:A由题意,得z=1-i2(1+i)=(1-i)22(1+i)(1-i)=-12i4.若z=i20251-i,则|z|=;答案:22-解析:z=i20251-i=i1-i=i-12,|z|=(12)2+(练后悟通复数代数形式运算的策略复数的几何意义【例1】(1)(2023·新高考Ⅱ卷1题)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)在复平面内,O为坐标原点,复数z1=i(-4+3i),z2=7+i对应的点分别为Z1,Z2,则∠Z1OZ2=()A.π3 B.C.3π4答案:(1)A(2)C解析:(1)∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,∴(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点的坐标为(6,8),即(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点在第一象限.故选A.(2)∵z1=i(-4+3i)=-3-4i,z2=7+i,∴OZ1=(-3,-4),OZ2=(7,1),∴OZ1·OZ2=-21-4=-25,∴cos∠Z1OZ2=OZ1·OZ2|OZ1||OZ2|=-25解题技法由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.1.(2023·全国乙卷1题)|2+i2+2i3|=()A.1 B.2C.5 D.5解析:C因为i2=-1,i3=-i,所以|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=12+(-2)2.已知i为虚数单位,复数z满足1≤|z+1+i|≤2,则|z-1-i|的最大值为.答案:32解析:设z=x+yi(x,y∈R),则|z+1+i|=|(x+1)+(y+1)i|,因为1≤|z+1+i|≤2,所以1≤(x+1)2+(y+1)2≤2,所以(x,y)在如图所示的阴影上.因为|z-1-i|=|z-(1+i)|表示z在复平面内对应的点Z到点(1,1)的距离,而点(1,1)到点(-1,-1)的距离为22,大圆的半径为2,所以|z-1-i|的最大值为32.复数集内一元二次方程的解【例2】已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0的根.(1)求p+q的值;(2)复数w满足zw是实数,且|w|=25,求复数w.解:(1)关于x的实系数方程x2+px+q=0的虚根互为共轭复数,所以它的另一根是2-i,根据根与系数的关系可得p=-4,q=5,p+q=1.(2)设w=a+bi(a,b∈R).由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0.又|w|=25,则a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i.解题技法复数范围内一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法(1)利用求根公式法直接求解;(2)利用复数相等的定义求解:设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解;(3)一元二次方程根与系数的关系仍成立,即x1+x2=-ba,x1x2=c已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,求这个实根及实数k的值.解:设x=x0是方程的实根,代入方程并整理得(x02+kx0+2)+(2x0+k)i由复数相等的条件得x02+kx0+2=2x0+k=解得x0=∴方程的实根为x=2或-2,相应的k的值为-22或22.1.(2024·九江一模)复数z满足(1-i)z=2+4i,则z的虚部为()A.3 B.-3C.1 D.-1解析:Az=2+4i1-i=(2+4i)(1+i)(2.(2022·北京高考2题)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=()A.1 B.5C.7 D.25解析:B依题意可得z=3-4ii=(3-4i)ii2=-4-3i3.(2024·重庆一模)已知复数z=5i1+2i,则zA.1+2i B.1-2iC.2+i D.2-i解析:D∵z=5i(1-2i)(1+2i)(1-24.已知复数z=(a2-4)+(a-3)i(a∈R),则“a=2”是“z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:A因为复数z=(a2-4)+(a-3)i(a∈R)为纯虚数,等价于a2-4=0,a-3≠0,即a=±2,由充分条件和必要条件的定义知“a=2”是“a=±2”的充分不必要条件,所以“a=25.(多选)若复数z满足(1+i)·z=5+3i(其中i是虚数单位),则()A.z的虚部为-iB.z的模为17C.z的共轭复数为4-iD.z在复平面内对应的点位于第四象限解析:BD由(1+i)·z=5+3i得z=5+3i1+i=(5+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=8-2i2=4-i,所以z的虚部为-1,A错误;z的模为42+(-1)6.(多选)已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点),OZ与实轴正向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z=()A.1+3i B.2C.-1-3i D.-1+3i解析:CD设复数z=x+yi(x,y∈R),∵向量OZ与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2,∴当z在第二象限时,x=|OZ|cos120°=2×-12=-1,y=|OZ|sin120°=2×32=3,∴z=-1+3i;当z在第三象限时,x=|OZ|cos(-120°)=2×-12=-1,y=|OZ|sin(-120°)=2×-32=-3,∴y=-17.若2-3i是方程x2-4x+a=0(a∈R)的一个根,则其另外一个根是,a=.答案:2+3i13解析:由2-3i是方程的一个根,则另一个根为2+3i,所以a=(2-3i)(2+3i)=13.8.设复数z=1-i1+in+1+i1-in,i为虚数单位答案:{-2,0,2}解析:z=in+(-i)n,i为虚数单位,n∈N,当n=4k(k∈N)时,z=2;当n=4k+1(k∈N)时,z=0;当n=4k+2(k∈N)时,z=-2;当n=4k+3(k∈N)时,z=0.故由z的所有可能取值构成的集合为{-2,0,2}.9.(2024·开封一模)“a<3”是“复数z=3+ai2+i(i为虚数单位)在复平面上对应的点在第四象限”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:B因为z=3+ai2+i=6+a+(2a-3)i5,又复数z在复平面内所对应的点在第四象限,所以6+a>0,2a-3<0,解得10.若i为虚数单位,复数z满足|z+3+i|≤3,则|z-2i|的最大值为()A.2 B.3C.23 D.33解析:D|z+3+i|≤3表示以点M(-3,-1)为圆心,R=3为半径的圆及其内部,|z-2i|表示上述圆内的点到点N(0,2)的距离,据此作出如图所示的示意图,则|z-2i|max=MN+R=[0-(-3)]211.(多选)(2024·九省联考)已知复数z,w均不为0,则()A.z2=|z|2 B.zz=C.z-w=z-w D.|zw解析:BCD令z=i,∴z2=-1≠|z|2=1,故A错误;由复数的性质知z2|z|2=z2z·z=z·zz·z=zz,z-w=z12.(多选)欧拉公式exi=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥,依据欧拉公式,下列选项正确的是()A.复数e2i对应的点位于第二象限B.eπC.复数exiD.eπ6i的共轭复数为1解析:ABC对于A,e2i=cos2+isin2,因为π2<2<π,即cos2<0,sin2>0,复数e2i对应的点位于第二象限,A正确;对于B,eπ2i=cosπ2+isinπ2=i,eπ2i为纯虚数,B正确;对于C,exi3+i=cosx+isinx3+i=(cosx+isinx)(3-i)(3+i)(3-i)=313.i是虚数单位,使(1+i)n为实数的最小正整数n=.答案:4解析:∵(1+i)2=2i,(1+i)3=2i-2,(1+i)4=-4,∴使(1+i)n为实数的最小正整数n是4.14.若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z=.答案:1+i(答案不唯一)解析:由z=a+bi,故z-2i=a+(b-
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