2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-教考衔接8⇒破解解析几何问题常见的技巧

教考衔接8破解解析几何问题常见的技巧真题展示【例】（2023·全国乙卷11题）设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（A.（1，1） B.（－1，2）C.（1，3） D.（－1，－4）解析：D由双曲线方程x2－y29＝1知a＝1，b＝3，则其渐近线方程为y＝±3x.观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点A，B分别在双曲线的两支上，∴－3＜kAB＜3.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12－y129=1，x22－y229=1，作差得（x12－x22）－y12－y229＝0，则kAB＝y1－y2x1－x2＝9（x1＋x2）y1＋y2.对于A，x1＋x2=2，y1＋y2=2，则kAB＝9，∵kAB＝9＞3，∴A不满足题意.对于B，x1＋x2＝－2，y1＋y2=4，则kAB＝－92，∵kAB＝－92＜－3，∴B不满足题意.对于C，x1＋x2=2，y1解法分析解析几何是用代数方法研究几何问题中中学数学的重要分支，解题的第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问题；第二步再对代数式进行转化、化简与求值.因其条件复杂，运算量大，一直是学生的“痛点”.如何在求解解析几何问题时简化运算步骤，减少运算量，提升解题效率，下面就从常见的五种技巧入手，予以例析.破解解析几何问题常见的技巧技巧1回归定义，化繁为简回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法.圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点.对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果.【例1】如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（A.2 B.3C.32 D.解析：D由已知，得F1（－3，0），F2（3，0），设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得｜AF1｜＋｜AF2｜=4，｜AF2|-|AF反思感悟本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立｜AF1｜，｜AF2｜的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量.技巧2设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，在涉及求中点弦所在直线的方程或弦的中点的轨迹方程等问题时，常用“点差法”求解.【例2】已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为（1，－1），A.x245＋y236＝1 B.xC.x227＋y218＝1 D.x解析：D设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，x12a2＋y12b2=1，①x22a2＋y22b2=1，②①－②得（x1＋x2)(x1－x2）a2＋（y1＋y2)(y1－y2）b2＝0反思感悟本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题.技巧3巧用“根与系数的关系”化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系.后者往往计算量小，解题过程简捷.【例3】已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.解：（1）直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝－2，x2＝－65，所以M－（2）设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k（x＋2），联立方程y化简得（1＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－4＝0.则xA＋xM＝－16k21+4k2，则xM＝－xA－16k21+4k2＝2同理，可得xN＝2k由（1）知若存在定点，则此点必为P－6证明如下：因为kMP＝yMxM＋6同理可计算得kPN＝5k所以直线MN过x轴上的一定点P－6反思感悟本例在第（2）问中可应用根与系数的关系求出xM＝2－8k21+4k2，这体现了整体思想.这是解决解析几何问题时常用的方法技巧4巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化.变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题.【例4】已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－3，0），F2（3，0），过点F2的直线l与椭圆交于不同两点M，N.当直线l的斜率为－1时（1）求椭圆E的标准方程；（2）求△F1MN的内切圆半径r最大时，直线l的方程.解：（1）由题意知c＝3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x12a2＋y1x22a2＋y2①－②得（x1＋x2)(x当y1－y2x1－x2＝－1时，x1＋x2＝8代入③，化简得a2＝4b2，又a2＝b2＋c2，c＝3，所以b2＝1，a2＝4，所以椭圆E的标准方程为x24＋y2（2）依题意知△F1MN的周长为｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜NF1｜＋｜NF2｜＝4a＝8，所以S△F1MN＝12×8×r＝4r，所以△F1MN内切圆半径r最大，即S△F设直线l的方程为x＝my＋3（m≠0），由x＝my＋3，x24＋y2=1，得（m2＋4）y2＋则y1＋y2＝－23mm2+4，y所以S△F1MN＝12｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝3·（y1令t＝m2+1（t＞1），则m2＝t2－所以S△F1MN＝43tt2+3＝43t＋3t≤4323此时m＝±2，直线l的方程为x±2y－3＝0.反思感悟破解此类问题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±cx＋d（a，b，c，d均为常数，且ac≠0）的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，技巧5妙借向量，更换思路平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介.妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果.【例5】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠答案：6解析：把y＝b2代入椭圆x2a2＋y2b2＝1，可得x＝±32a，则B－32a，b2，C32