2026版三维设计一轮高中总复习数学学生用-第七节　统计与概率的综合问题

第七节统计与概率的综合问题重点解读统计与概率的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.统计图表与概率的综合问题（师生共研过关）（2025·青岛一模）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3∶2∶1.（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层随机抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.解题技法统计图表与概率综合问题的求解策略（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.（2024·黄山模拟）某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150].（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；（2）从这次数学成绩位于[50，70），[70，90）的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[70，90）的人数记为X，求X的分布列及数学期望.回归分析与概率的综合问题（师生共研过关）（2025·郑州名校联盟）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x159165170176180y6771737678（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明；（2）建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）；（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求E（X）.参考数据：∑i=15xiyi＝62194，∑i=15（yi－y参考公式：样本相关系数r＝∑i经验回归方程y＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝∑i=1n（xi－解题技法回归分析与概率综合问题的解题思路（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率（范围）、均值、方差等；（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（单位：秒）5078124121137352计算得到一些统计量的值为：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中ui（1）若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y关于x的经验回归方程；（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得－1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为45，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望

独立性检验与概率的综合问题（师生共研过关）（2024·湖北七市州调研）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请列出2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E（X）和D（X）；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.10.050.01xα2.7063.8416.635解题技法独立性检验与概率综合问题的解题思路本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.（2025·临沂一模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）性别对“赶大集”的态度合计非常喜欢感觉一般男性3t100女性t合计60（1）求t的值，试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；（2）从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常