专题2.6一元二次方程的应用（高效培优讲义）数学湘教版九年级上册（原卷版）

专题2.6一元二次方程的应用教学目标1.

建立方程模型：通过分析实际问题中的数量关系，经历建立一元二次方程模型的过程，深刻体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效工具，如在解决面积计算、增长率等问题时能准确建模。2.

掌握解题步骤：熟练掌握运用方程解决实际问题的一般步骤，包括审题、设未知数、列方程、解方程、检验结果的合理性以及作答，提升分析和解决问题的能力。3.

培养应用意识：增强数学应用意识，主动运用一元二次方程知识解决生活和学习中遇到的相关问题，感受数学与生活的紧密联系。教学重难点1.重点（1）解决实际问题：能够熟练运用一元二次方程解决各类实际问题，比如在几何图形面积计算、销售利润、行程等常见问题情境中，准确分析条件，列出方程并求解。（2）总结解题步骤：引导学生自主总结运用方程解决实际问题的一般步骤，使其清晰每个步骤的要点和作用，形成解决问题的系统思路，提高解题的规范性和准确性。2.难点（1）寻找等量关系：从复杂的实际问题中准确分析出数量关系，找到能列出一元二次方程的等量关系，这需要学生具备较强的阅读理解和逻辑分析能力，也是解决问题的关键和难点。（2）方程建模与求解：将实际问题转化为一元二次方程的数学模型，并正确求解方程，同时根据实际问题的背景对解进行合理取舍，确保答案符合实际意义。知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点02一元二次方程应用题的主要类型1.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.2.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x2，x+2.3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.【即学即练1】1．交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．2．某商场服装部销售一种羊毛衫，平均每天可售出40件，每件盈利60元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件每降价1元时，平均每天可多卖出2件．若商场要求该服装部销售这种羊毛衫每天盈利3000元，每件羊毛衫应降价多少元？4．阅读材料，解决下列问题：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，…．(1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______；(2)总结：前行的点数之和为______（用含的式子表示，为正整数）；(3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？题型01用一元二次方程解决数字问题【典例1】一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72．求这个两位数．【变式1】2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．【变式2】如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题．(1)若用表示最小的数，则，，（用含的式子表示）．(2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数．【变式3】综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：【进位制的认识】①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．【解决问题】(2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制）(3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．题型02用一元二次方程解决与图形有关的问题(1)求围栏的长和宽；(1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；【变式2】某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米．(1)求通道的宽是多少米？(2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？(1)的长为米（用含x的代数式表示）题型03用一元二次方程解决动态几何问题

（2）当运动时间为时，，两点的距离为多少？当运动时间为时，，两点的距离为多少？题型04用一元二次方程解决传播问题【典例1】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信．(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？【变式1】某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数．【变式2】某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病．(1)每轮平均1人会传染多少人？(2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？【变式3】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同．(1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？(2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？题型05用一元二次方程解决握手、循环问题2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场．求本次联赛共有多少支球队．10．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：(1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局；(2)求这次比赛共有多少个选手参加？11．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．(1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次；(2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次；(3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？12．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题：(1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展．数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？(2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军．小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？题型06用一元二次方程解决增长率问题(1)求该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率；(2)若2025年该企业生产一台电冰箱能耗的平均降低率与前两年相同，请计算2025年该企业生产一台电冰箱的能耗是多少？【变式1】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．实验中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费2万元，今年投入图书购置经费2.42万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率．【变式3】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同．(1)求进馆人次的周平均增长率；题型07用一元二次方程解决营销问题【典例1】列方程（组）解应用题2024年“国庆”假期期间，拉萨某景区某特产店销售，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元．(1)求类特产和类特产每件的售价各是多少元？(2)类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．则每件A类特产定价多少元时，A类特产利润能达到640元．【变式1】赓续长江文脉，共创时代华章，首届长江文化艺术季于9月14日晚在湖北省武汉市隆重开幕．某店铺购进了一批包含湖北特色美食的礼盒，进货价和销售价如下表“热干面”礼盒“武昌鱼”礼盒进货价/（元/盒）2545销售价/（元/盒）3560(1)店铺购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒共80盒，且进货总价不高于2900元．若进货后全部售出，则分别购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒多少盒，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？(2)店铺为了能尽快售完“热干面”礼盒，打算降价促销．若按照原价销售，平均每天可售出6盒，每降价1元，平均每天可多售出2盒，则将销售价定为每盒多少元时，能使“热干面”礼盒平均每天的利润为84元？【变式2】某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克．(1)若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：①每千克樱桃应降价多少元？②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？(2)在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由．【变式3】为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件，直播后，按每件70元销售，第一天卖出了80件．(1)若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率；(2)若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件，求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？一、单选题1．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（）2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（

）根小分支A． B． C． D．3．一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同（如图），矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，下面所列方程正确的是（）4．山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱．若要使顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润为1050元，则每箱小米应降价（

）A．5元 B．15元 C．20元 D．25元

二、填空题6．电影《哪吒2》于2025年1月29日在中国上映，第一天票房约4.73亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约18亿，若把增长率记作，则方程可以列为．7．若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程：．9．某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是元．三、解答题11．某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？12．甲商品的原价为每件40元，现行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率．(1)设的长为，则的长可表示为______m，的长可表示为______m．14．某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩．(1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率；(2)某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？15．排球垫球作为河南中考体育“运动健康技能类”选考项目，成为同学们选考热点，排球的销量也一直在增加．某体育用品店，销售一种排球，进价为每个16元，按照每个30元销售，平均每月能卖出200个．调查发现，在不亏本的情况下，为减少库存，售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个．(1)合合说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500个．”请你判断合合的说法是否正确，并说明理由；(2)该体育用品店期望销售该排球平均每月的销售利润为2860元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请你用方程的思想说明该采纳谁的意见．16．2025年宁波市马拉松于3月23日盛大展开．某服装厂家为本次马拉松赛事生产了一批文化衫．正常情况下，文化衫售价为每件50元时，则每天可售出40件