高中数学北师大版必修三学案第三章概率2.1古典概型的特征和概率计算公式

2．1古典概型的特征和概率计算公式[学习目标]1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．知识点一基本事件1．基本事件的定义试验的每一个可能结果称为基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件．一次试验中只能出现一个基本事件．如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个结果，这就是这一随机试验的6个基本事件．2．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成．思考“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？答不是．“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件．知识点二古典概型1．古典概型的定义(1)试验的所有可能结果只有有限个每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典模型(古典的概率模型)．2．古典概型的特点(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的．3．古典概型的概率公式对于任何事件A，P(A)＝eq\f(事件A包含的可能结果数,试验的所有可能结果数).思考若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？答不是，还必须满足每一个试验结果出现的可能性相等．题型一基本事件的定义及特点例1一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个基本事件？(2)2个都是白球包含几个基本事件？解方法一(1)采用列举法．分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件．方法二(1)采用列表法．设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：abcdea(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取2个球，因此每次所得的2个球不相同，而事件(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．(2)“2个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(c，a)三个基本事件．反思与感悟1.求基本事件的基本方法是列举法．基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生．2．当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解．跟踪训练1做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”．解(1)这个试验的基本事件共有36个，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．题型二利用古典概型公式求概率例2从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件A＝{三个数字中不含1和5}；(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．解这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n＝10.(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，所以事件A包含的事件数m＝1.所以P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(1,10).(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B包含的基本事件数m＝9.所以P(B)＝eq\f(m,n)＝eq\f(9,10).反思与感悟1.古典概型概率求法步骤：(1)确定等可能基本事件总数n；(2)确定所求事件包含基本事件数m；(3)P(A)＝eq\f(m,n).2．使用古典概型概率公式应注意：(1)首先确定是否为古典概型；(2)事件A是什么，包含的基本事件有哪些．跟踪训练2抛掷两枚骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．解如图，基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．所以P(A)＝eq\f(1,4).(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)＝eq\f(5,9).题型三较复杂的古典概型的概率计算例3有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．解将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).跟踪训练3用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．(1)求3个矩形颜色都相同的概率；(2)求3个矩形颜色都不相同的概率；(3)求3个矩形颜色不都相同的概率．解设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果如图所示．由图知基本事件共有27个．(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图，知事件A的基本事件有3个，故P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).(2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B，由图，知事件B的基本事件有6个，故P(B)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).(3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C.方法一由图，知事件C的基本事件有24个，故P(C)＝eq\f(24,27)＝eq\f(8,9).方法二事件C与事件A互为对立事件，故P(C)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).古典概型的应用例4(12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率．审题指导(1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解．(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件．规范解答(1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示．………1分从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：共9种．…………………3分从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，………………5分所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝eq\f(4,9).……6分(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：共15种．…………………8分从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，……10分1．抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事件个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析因为抛掷一枚骰子出现数字的基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数的基本事件是3个．2．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案B解析用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有：(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，则这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(7,10)答案B解析可看作分成两次抽取，第一次任取一张有5种方法，第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法，因为(B，C)与(C，B)是一样的，故试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是按字母顺序相邻的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率为P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).4．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8) C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)答案C解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为eq\f(1,15)，故选C.5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．答案0.2解析两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有：(1,2)，(1