第12章全等三角形（知识清单）数学华东师大版2024八年级上册

第12章全等三角形12.1命题、定义、定理与证明命题：数学中的命题是能判断真假的陈述句。一般形式为“如果...那么...”。定义：对某个概念进行明确说明，用以区分其他概念。定理：经过逻辑推理证明为真的命题。证明：通过一系列逻辑推理步骤确认某一命题的真实性。12.2三角形全等的判定全等三角形的判定条件：两个三角形全等表示它们可以完全重合。边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。斜边直角边（HL）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。12.3等腰三角形等腰三角形的性质：两腰相等。底角相等。顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。等腰三角形的判定：如果一个三角形有两条边相等，则这个三角形是等腰三角形。如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。12.4逆命题和逆定理互逆命题和互逆定理：原命题与其逆命题的关系应明确。线段垂直平分线：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等。一、命题部分易错点：1学生可能难以区分命题与非命题，例如，他们可能会错误地认为描述性语言或疑问句是命题。2在理解真命题与假命题时，学生可能会混淆条件与结论，导致判断错误。二、定义、定理与证明部分易错点：1学生可能对定理和定义的理解不够深入，导致在证明过程中无法准确应用。2在证明过程中，学生可能会忽略某些已知条件或中间步骤，导致证明不完整或错误。三、全等三角形的判定条件易错点：1学生可能会混淆不同的判定条件，例如将边角边与角边角混淆。2在应用判定条件时，学生可能会忽略某些细节，如对应边或对应角必须完全相等。四、边角边、角边角、边边边、斜边直角边判定易错点：1在使用边角边判定时，学生可能会错误地认为只要两边及夹角相等，两个三角形就一定全等，而忽略了这两边必须是对应边。2在使用角边角判定时，学生可能会忽略角必须是两边的夹角这一条件。3边边边判定相对简单，但学生可能会在应用时忽略所有三边必须对应相等。4斜边直角边判定专用于直角三角形，学生可能会在非直角三角形中错误地应用此判定。五、等腰三角形的性质易错点：1学生可能会混淆等腰三角形的底角和顶角，导致在应用性质时出错。2学生可能会忽略等腰三角形的对称性，导致在解决问题时无法准确利用这一性质。六、等腰三角形的判定易错点：1在使用等腰三角形的判定定理时，学生可能会忽略条件中的“在同一个三角形中”这一前提。2学生可能会混淆等腰三角形的判定与性质，导致在证明过程中无法准确应用。七、互逆命题和互逆定理易错点：1学生可能会难以理解互逆命题的概念，即原命题的条件与结论互换后形成的命题。2在判断逆命题的真假时，学生可能会忽略对原命题的深入理解和分析。八、线段垂直平分线、角平分线易错点：1学生可能会混淆线段垂直平分线和角平分线的性质和应用场景。2在应用这些性质时，学生可能会忽略某些细节，如垂直平分线必须平分线段且垂直于该线段等。题型01真、假、逆命题1.下列命题是假命题的是（

）A．同位角相等，两直线平行C．经过同一平面内三点中的任意两点一定能画三条直线D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数【答案】C【分析】本题考查了命题与定理之真假命题，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．根据平行线的性质可判断A，根据有理数的加法可判断B，利用举反例的方法可判断C，根据实数与数轴的关系可判断D，进而可得答案．【详解】A．同位角相等，两直线平行，是平行线的判定方法之一，正确，是真命题．C．若三点共线，则经过任意两点只能画一条直线，而非三条，因此命题不成立，是假命题．D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数，正确，是真命题．故选C．2.下列命题是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角【答案】B【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角的概念、线段中点的概念、平方根的概念逐一判断．【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如，两直线平行时的同位角相等，但并非对顶角，故A为假命题；故选：B．3.把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可．【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【答案】真【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，先写出命题的逆命题，再判断即可.逆命题是真命题；故答案为：真5.已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”．(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．【答案】(1)真命题，证明见解析(2)逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，此命题是假命题；举例见解析【分析】本题主要考查命题真假的判断和逆命题的知识，解题的关键是熟知课本中有关的定义和性质定理；（1）判断命题，需要分析由题设是否能推出结论，若为真，然后证明即可；（2）先写出逆命题，再按照由题设是否能推出结论进行判断，在举出反例即可．【详解】（1）解：真命题，证明如下：故命题为真命题；（2）解：逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，此命题是假命题；故逆命题为假命题．题型02全等三角形的性质

A． B． C． D．【答案】C故选：C．A．24 B．23 C．22 D．26【答案】A故选：A．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的性质．直接根据全等三角形的性质作答即可．故答案为：．【答案】2故答案为：2．(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．【答案】(1)96【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．题型03全等三角形的判定——边角边1.如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（

）【答案】A故选：A．2.要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案：方案Ⅰ①如图1，选定点O；③连接，测量的长度即可．方案Ⅱ①如图2，选定点O；③连接，测量的长度即可．对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（

）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行.故选：D．

【答案】9∵是、的中点，故答案为：9．【答案】38m即测出的长即为雕塑底座两端A、B间的距离．题型04全等三角形的判定——边角边A．18 B．24 C．36 D．48【答案】A故选A．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质．故选：B．【答案】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．故答案为：．【答案】故答案为：．【答案】(1)见解析(3)【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．【详解】（1）证明：∵，分别是边，边上的高，点是的中点题型05全等三角形的判定——角边角与角角边①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以的长为半径画弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P；④作射线；

下列结论不一定正确的是（

）【答案】C故选：C.A．30 B．28 C．24 D．20【答案】A故选：A．【答案】【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】解：连接，故答案为：．【答案】15或30【详解】解：∵点关于的对称点为点，故答案为：15或30．5.阅读下列材料，完成相应的任务全等四边形任务：【答案】(1)见解析(2)不能【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，全等四边形的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．题型06全等三角形的判定——斜边直角边【答案】A故选：A．【答案】D故选：D．【答案】25故答案为：25．【答案】故答案为：【答案】见解析题型07等腰与等边三角形的性质与判定A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故选：B．【答案】B∵对顶角相等，故选：B．【答案】或或故答案为：或或．【答案】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．故答案为：．【答案】(1)(2)见详解(3)4则点A到的距离与点N到的距离之和4．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉倍长中线和半角求解的常见做法．题型08角平分线与线段垂直平分线结合

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】解：如图，连接，，

故选：A．【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．A．32 B．34 C．22 D．16【答案】A【详解】解：如图，连接，故选：A．【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练使用各性质定理．【答案】∵是的垂直平分线，故答案为：．【答案】【详解】解：如图，连接、，是的垂直平分线，故答案为：．5.如图，ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G．(1)求证：BG＝CF；(2)若AB＝18，AC＝6，求AF的长度．(3)直接写出∠ADB、∠ADC、∠ADG之间的数量关系．【答案】(1)证明见解析(2)AF=6【分析】（1）连接BD、CD，然后结合垂直平分线定理得到BD=CD，角平分线定理得到DG=DF，进而得证DBGDCF，最后得到BG=CF；（2）结合全等三角形的性质得到BG=CF，然后证明DGADFA得到AG=AF，进而利用已知条件求出AF的长；【详解】（1）证明：连接BD、CD，∵ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，∴BD=CD，DG=DF，∠DGB=∠DFC=90°，∴RtDBGRtDCF（HL），∴BG=CF．（2）解：∵AD平分∠BAF，∴∠DAG=∠DAF，∵DF⊥CA，DG⊥AB，∴∠DGA=∠DFA=90°，DG=DF，∴DGADFA（AAS），∴AG=AF，∵BG=ABAG，CF=AF+AC，CF=BG，∴ABAF=AF+AC，∵AC=6，AB=18，∴18AF=AF+6，∴AF=6．（3）解：∵DBGDCF，∵DGADFA，【点睛】本题考查了垂直平分线的性质定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是连接BD、CD构造全等三角形．题型09全等模型（一线三等角，手拉手，倍长中线等）

【答案】B可判断A正确；故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义和性质，平角的定义等知识点．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D所以①正确，所以②正确，所以③正确，所以④正确，故选：D．【详解】解：连接，如图所示：作点A关于直线的对称点M，连接交于点，连接，∵为定值，∵两点之间线段最短，【答案】①②③④综上所述，正确的有①②③④；故答案为：①②③④．(2)见解析∵是边上的中线，∵是边上的中线，（3）解：如（2）图，【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线法证明三角形全等是解题的关键．题型10全等与等腰三角形动点求t【答案】D故选D．A．3.2 B．10 C．3.2或6 D．3.2或10【答案】D∴点为边的中点，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、等边三角形的性质以及解直角三角形，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【答案】2，6，8故答案为：2，6，8．【答案】2或或12【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【详解】解：①如图1，点在上，点在上时，②如图2，当点与点重合时，③如图3，当点与重合时，故答案为：2或或12．(3)cm【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，几何动点问题，解题的关键是：（1）根据路程=速度×时间即可求解；（2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解；（3）分两种情况