偶函数题目及答案

偶函数题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中是偶函数的是（）A.$y=x$B.$y=x^3$C.$y=x^2$D.$y=2x$2.若函数$f(x)$是偶函数，且$f(2)=3$，则$f(-2)$等于（）A.-3B.3C.0D.63.函数$f(x)=x^2+1$是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数4.偶函数的图象关于（）对称A.原点B.$x$轴C.$y$轴D.直线$y=x$5.已知函数$f(x)$为偶函数，当$x\gt0$时，$f(x)=x-1$，则当$x\lt0$时，$f(x)$等于（）A.$x+1$B.$-x-1$C.$-x+1$D.$x-1$6.函数$y=\frac{1}{x^2}$是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数7.若$f(x)$是偶函数，其定义域为$R$，且在$[0,+\infty)$上单调递增，则$f(-1)$与$f(3)$的大小关系是（）A.$f(-1)\ltf(3)$B.$f(-1)\gtf(3)$C.$f(-1)=f(3)$D.无法确定8.下列函数中，是偶函数且在$(0,+\infty)$上单调递减的是（）A.$y=x^2$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=-x^2$D.$y=x$9.已知函数$f(x)$是偶函数，$f(x)$在$[0,+\infty)$上的表达式为$f(x)=2x-1$，则$f(-1)$的值为（）A.-3B.1C.-1D.310.函数$f(x)=|x|$是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下函数中是偶函数的有（）A.$y=x^4$B.$y=\cosx$C.$y=3$D.$y=x^2+2x$2.关于偶函数的性质，正确的有（）A.$f(x)=f(-x)$B.图象关于$y$轴对称C.若在$[a,b]$上单调递增，则在$[-b,-a]$上单调递减D.定义域关于原点对称3.若函数$f(x)$是偶函数，且满足$f(x+2)=f(x)$，则以下说法正确的是（）A.$f(1)=f(-1)$B.函数周期为2C.图象关于直线$x=1$对称D.$f(3)=f(1)$4.下列函数中，既是偶函数又在区间$(0,+\infty)$上单调递增的有（）A.$y=x^2+1$B.$y=\ln|x|$C.$y=2^{|x|}$D.$y=\sqrt{x^2}$5.对于偶函数$f(x)$，若$f(2-x)=f(x)$，则（）A.函数图象关于直线$x=1$对称B.$f(3)=f(1)$C.函数可能是周期函数D.函数在$[1,+\infty)$上单调递增6.已知函数$f(x)$是偶函数，其定义域为$[-2,2]$，且在$[0,2]$上单调递减，则满足$f(1-m)\leqf(m)$的$m$的取值范围是（）A.$[-1,\frac{1}{2}]$B.$[\frac{1}{2},1]$C.$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$D.$[0,\frac{1}{2}]$7.下列函数中，具有偶函数性质的是（）A.$y=x^2+\cosx$B.$y=\frac{1}{x^2+1}$C.$y=\sinx+x^2$D.$y=|x|+1$8.若函数$f(x)$为偶函数，且$f(x)$在$(-\infty,0)$上有最小值，则（）A.$f(x)$在$(0,+\infty)$上有最小值B.$f(x)$在$(0,+\infty)$上有最大值C.函数最小值在$x=0$处取得D.若$f(0)=a$，则$f(x)\geqa$9.关于偶函数$f(x)$的图象，下列说法正确的是（）A.与$x$轴可能有无数个交点B.一定与$y$轴相交C.可能关于直线$x=2$对称D.若$f(0)=0$，则图象过原点10.若函数$f(x)$是偶函数，且$f(x)$在$[0,+\infty)$上可导，$f^\prime(x)$为其导函数，则（）A.$f^\prime(0)=0$B.$f^\prime(-x)=-f^\prime(x)$C.$f^\prime(x)$是奇函数D.$f^\prime(x)$在$(-\infty,0)$与$(0,+\infty)$上的单调性相反三、判断题（每题2分，共10题）1.若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，则$f(x)$一定是偶函数。（）2.偶函数的定义域一定关于原点对称。（）3.函数$y=x+1$是偶函数。（）4.若$f(x)$是偶函数，且$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，则在$(-\infty,0]$上单调递减。（）5.函数$y=\sinx$是偶函数。（）6.一个函数既是奇函数又是偶函数，这个函数只能是$f(x)=0$。（）7.若$f(x)$是偶函数，且$f(3)=5$，则$f(-3)=5$。（）8.偶函数的图象与$x$轴一定有交点。（）9.函数$y=x^2+2$是偶函数。（）10.若函数$f(x)$的定义域不关于原点对称，则$f(x)$不是偶函数。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述偶函数的定义。答案：对于定义域内的任意$x$，都有$f(x)=f(-x)$，则函数$f(x)$是偶函数。2.已知函数$f(x)$是偶函数，当$x\gt0$时，$f(x)=x^2-2x$，求$x\lt0$时$f(x)$的表达式。答案：当$x\lt0$时，$-x\gt0$，$f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x$，因为$f(x)$是偶函数，所以$f(x)=f(-x)=x^2+2x$。3.请举例说明一个既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递减的函数，并说明理由。答案：如$y=-x^2$，对于任意$x$，$f(-x)=-(-x)^2=-x^2=f(x)$，是偶函数。在$(0,+\infty)$上，二次项系数为负，开口向下，所以单调递减。4.若函数$f(x)$是偶函数，且在$[0,+\infty)$上单调递增，比较$f(-2)$与$f(3)$的大小。答案：因为$f(x)$是偶函数，所以$f(-2)=f(2)$，又因为在$[0,+\infty)$上单调递增，且$2\lt3$，所以$f(2)\ltf(3)$，即$f(-2)\ltf(3)$。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论偶函数在对称区间上的单调性有什么特点，并举例说明。答案：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。例如$y=x^2$，在$[0,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,0]$上单调递减。因为对于$y=x^2$，$f(-x)=f(x)$，图象关于$y$轴对称，所以单调性相反。2.探讨判断一个函数是否为偶函数的方法和步骤。答案：首先看函数定义域是否关于原点对称，若不对称则不是偶函数。若对称，再验证对于定义域内任意$x$，是否有$f(x)=f(-x)$。若满足则是偶函数，不满足则不是。如判断$y=x^2+1$，定义域为$R$关于原点对称，且$f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)$，所以是偶函数。3.已知函数$f(x)$是偶函数，且$f(x)$在$[0,+\infty)$上的图象已知，如何画出其在$(-\infty,0)$上的图象？答案：因为偶函数图象关于$y$轴对称，所以对于$[0,+\infty)$上图象上的点$(x,y)$，在$(-\infty,0)$上对应点为$(-x,y)$。将$[0,+\infty)$上图象沿$y$轴翻折，就可得到其在$(-\infty,0)$上的图象。比如已知$y=x^2$在$[0,+\infty)$图象，沿$y$轴翻折就得到$(-\infty,0)$上图象。4.讨论偶函数与奇函数的区别与联系。答案：区别：偶函数满足$f(x)=f(-x)$，图象关于$y$轴对称；奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，图象关于原点对称。联系：定义域都关于原点对称，若一个函数既是奇函数又是偶函数，那么函数值恒为0。比如$y=x^2$是偶函数，$y=x$是奇函数。答案一、单项选择题1.C2.B3.B4.C5.