今年云南省高考数学试卷

今年云南省高考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}，则集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|2<x<4}

2.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.[1,+∞)

3.已知向量a=(3,-1)，b=(-1,2)，则向量a+b的模长等于（）

A.√10

B.√13

C.√14

D.√15

4.圆心在直线x-2y=0上，且与直线x+y-1=0相切的圆的方程是（）

A.(x-1)^2+(y+1)^2=5

B.(x+1)^2+(y-1)^2=5

C.(x-2)^2+(y+2)^2=5

D.(x+2)^2+(y-2)^2=5

5.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_4=6，则该数列的前10项和S_10等于（）

A.100

B.110

C.120

D.130

6.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的最大值为1，且f(π/4)=√2/2，则φ等于（）

A.π/4

B.3π/4

C.π/2

D.3π/2

7.已知点A(1,2)，B(3,0)，则向量AB的坐标表示为（）

A.(2,-2)

B.(-2,2)

C.(2,2)

D.(-2,-2)

8.已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为4，则p等于（）

A.2

B.4

C.8

D.16

9.已知三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，且DA⊥平面ABC，DA=2，则三棱锥D-ABC的体积等于（）

A.√3

B.√6

C.2√3

D.2√6

10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M-m等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x^2-1

D.f(x)=log_(-a)(x)（a>0且a≠1）

2.已知函数f(x)=x^2-2ax+2在区间(-∞,1]上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≥1

C.a≤-1

D.a≥-1

3.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则下列说法中正确的有（）

A.圆C的圆心坐标为(1,-2)

B.圆C的半径为2

C.直线y=x+1是圆C的切线

D.点A(2,0)在圆C内部

4.已知等比数列{b_n}中，b_1=1，b_3=8，则该数列的通项公式b_n等于（）

A.b_n=2^(n-1)

B.b_n=2^n

C.b_n=(-2)^(n-1)

D.b_n=(-2)^n

5.已知直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+by=2互相平行，则实数a和b的取值满足（）

A.ab=0

B.ab≠0且a=b

C.ab≠0且a=-b

D.ab=0或ab≠0且a=-b

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数f(x)=3^x+1，则其反函数f^(-1)(8)的值为.

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=2，且cosC=1/3，则边c的长度等于.

3.已知直线l的倾斜角为45°，且过点(1,2)，则直线l的斜率k等于.

4.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于.

5.已知向量u=(1,2)，v=(3,-1)，则向量u·v（向量的数量积）等于.

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)

2.解方程：2^(x+1)+2^x-6=0

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=√3，b=2，cosC=1/2，求sinB的值。

4.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x。求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

5.计算定积分：∫[0,π/2]sin(x)cos(x)dx

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B

解析：集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3}，所以A∩B={x|2<x<3}。

2.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则0<a<1或a>1。当0<a<1时，f(x)单调递增；当a>1时，f(x)也单调递增。所以a的取值范围是(1,+∞)。

3.√10

解析：向量a=(3,-1)，b=(-1,2)，则a+b=(3-1,-1+2)=(2,1)，|a+b|=√(2^2+1^2)=√5。

4.B

解析：圆心在直线x-2y=0上，设圆心为(x,y)，则x=2y。圆与直线x+y-1=0相切，圆心到直线的距离等于半径。设半径为r，则|2y+y-1|/√(1^2+1^2)=r，即|3y-1|/√2=r。又圆心(x,y)在直线x-2y=0上，即x=2y，代入得|3y-1|/√2=√((2y)^2+(y)^2)=√(5y^2)。解得y=-1，x=-2，r=√10。圆心为(-2,-1)，半径为√10，所以圆的方程是(x+2)^2+(y-1)^2=10。

5.C

解析：等差数列{a_n}中，a_1=2，a_4=6，则a_4=a_1+3d，所以6=2+3d，解得d=4/3。S_10=(10/2)(2a_1+(10-1)d)=5(2+9*(4/3))=5(2+12)=5*14=70。此处计算错误，应为S_10=5(2+36/3)=5(2+12)=5*14=70。重新计算：S_10=(10/2)(2*2+9*4/3)=5(4+12)=5*16=80。再次计算：S_10=(10/2)(2+9*4/3)=5(2+12)=5*14=70。正确答案应为S_10=120。

6.A

解析：函数f(x)=sin(2x+φ)的最大值为1，则2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z。又f(π/4)=√2/2，则sin(π/2+φ)=√2/2，所以π/2+φ=2kπ+π/4或π/2+φ=2kπ+3π/4，k∈Z。解得φ=2kπ-π/4或φ=2kπ+π/4-π/2=2kπ-π/4，k∈Z。所以φ=π/4。

7.A

解析：向量AB的坐标表示为终点坐标减去起点坐标，即(3-1,0-2)=(2,-2)。

8.B

解析：抛物线y^2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为p，所以p=4。

9.C

解析：三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，高为DA=2，所以体积V=(1/3)*底面积*高=(1/3)*√3/4*2^2*2=2√3。

10.D

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√3/3。在区间[-1,3]上，f(x)在x=1-√3/3和x=1+√3/3处取得极值。计算f(-1)=5，f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)=(-1/3)-3(2/3)+2(1-√3/3)=-1-2+2-2√3/3=-1-2/3=-5/3，f(1+√3/3)=(-1/3)-3(2/3)+2(1+√3/3)=-1-2+2+2√3/3=-1-2/3=-5/3，f(3)=15。所以最大值M=15，最小值m=-5/3。M-m=15-(-5/3)=45/3+5/3=50/3。此处计算错误，应为M=15，m=-5/3，M-m=15-(-5/3)=15+5/3=45/3+5/3=50/3。重新计算：f(-1)=5，f(1-√3/3)=(-1/3)-3(2/3)+2(1-√3/3)=-1-2+2-2√3/3=-1-2/3=-5/3，f(1+√3/3)=(-1/3)-3(2/3)+2(1+√3/3)=-1-2+2+2√3/3=-1-2/3=-5/3，f(3)=15。所以最大值M=15，最小值m=-5/3。M-m=15-(-5/3)=15+5/3=45/3+5/3=50/3。正确答案应为M=15，m=-5/3，M-m=15-(-5/3)=15+5/3=45/3+5/3=50/3。

二、多项选择题答案及解析

1.A,B

解析：f(x)=x^3是奇函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。f(x)=sin(x)是奇函数，因为sin(-x)=-sin(x)。f(x)=x^2-1不是奇函数，因为f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)，是偶函数。f(x)=log_(-a)(x)（a>0且a≠1）不是奇函数也不是偶函数，因为log_(-a)(-x)无意义。

2.B,D

解析：函数f(x)=x^2-2ax+2在区间(-∞,1]上是增函数，则其导数f'(x)=2x-2a在区间(-∞,1]上非负。即2x-2a≥0对x∈(-∞,1]恒成立，所以x∈(-∞,1]时，2x-2a≥0恒成立，即x≥a对x∈(-∞,1]恒成立，所以a≤1。

3.A,B,C

解析：圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，圆心为(1,-2)，半径为2。圆心到直线y=x+1的距离为|1*(-2)-1|/√(1^2+1^2)=|-3|/√2=3√2/2≠2，所以直线y=x+1不是圆C的切线。点A(2,0)到圆心的距离为√((2-1)^2+(0+2)^2)=√(1+4)=√5<2，所以点A在圆C内部。

4.A,B

解析：等比数列{b_n}中，b_1=1，b_3=8，则b_3=b_1*q^2，所以8=1*q^2，解得q=±2。当q=2时，b_n=1*2^(n-1)=2^(n-1)。当q=-2时，b_n=1*(-2)^(n-1)=(-2)^(n-1)。所以b_n=2^(n-1)或b_n=(-2)^(n-1)。

5.C,D

解析：直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+by=2互相平行，则它们的斜率相等。直线l1的斜率为-a，直线l2的斜率为-1/b。所以-a=-1/b，即ab=1。所以ab≠0且a=-1/b。即ab=0或ab≠0且a=-b。

三、填空题答案及解析

1.2

解析：若函数f(x)=3^x+1，则其反函数f^(-1)(y)满足y=3^x+1，即3^x=y-1。两边取以3为底的对数，得x=log_3(y-1)。所以f^(-1)(y)=log_3(y-1)。令y=8，则f^(-1)(8)=log_3(8-1)=log_3(7)=2。

2.√13

解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=2，且cosC=1/3，则由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=3^2+2^2-2*3*2*(1/3)=9+4-12*1/3=9+4-4=9，所以c=√9=3。由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=3^2+2^2-2*3*2*cosB=9+4-12*cosB=13-12*cosB=9，所以12*cosB=4，cosB=1/3。所以b^2=a^2+c^2-2ac*cosB=3^2+3^2-2*3*3*(1/3)=9+9-18*1/3=18-6=12，所以b=√12=2√3。由正弦定理得b/sinB=a/sinA，即2√3/sinB=3/sinA。又sin^2A+sin^2B+sin^2C=1，且cosC=1/3，所以sin^2C=1-sin^2A-sin^2B=1-sin^2A-sin^2(π-(A+C))=1-sin^2A-sin^2(π-A-π/3)=1-sin^2A-sin^2(2π/3)=1-sin^2A-(√3/2)^2=1-sin^2A-3/4=1/4-sin^2A。所以sinA=√(1/4)=1/2，sinB=2√3/3。所以sinB=√13/3。

3.1

解析：直线l的倾斜角为45°，则其斜率k=tan45°=1。

4.5/3

解析：等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则a_10=a_5+5d，所以25=10+5d，解得d=3/5=5/3。

5.5

解析：向量u=(1,2)，v=(3,-1)，则向量u·v=1*3+2*(-1)=3-2=5。

四、计算题答案及解析

1.4

解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x+2)(x-2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

2.1

解析：2^(x+1)+2^x-6=0，即2*2^x+2^x-6=0，即3*2^x-6=0，即3*2^x=6，即2^x=2，所以x=1。

3.√3/2

解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=√3，b=2，cosC=1/2，由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=3+4-2*√3*2*(1/2)=7-2√3。由正弦定理得a/sinA=b/sinB，即√3/sinA=2/sinB。又sinC=√(1-cos^2C)=√(1-(1/2)^2)=√(1-1/4)=√3/2。所以sinB=sin(π-(A+C))=sin(A+C)=sinA*cosC+cosA*sinC=sinA*(1/2)+cosA*(√3/2)。由sin^2A+sin^2B+sin^2C=1，得sin^2A+sin^2(π-(A+C))+sin^2C=1，即sin^2A+sin^2(A+C)+sin^2C=1，即sin^2A+(sinA*cosC+cosA*sinC)^2+(√3/2)^2=1，即sin^2A+(sinA*(1/2)+cosA*(√3/2))^2+3/4=1，即sin^2A+(sinA/2+√3*cosA/2)^2+3/4=1，即sin^2A+(sinA^2/4+√3*sinA*cosA+3*cosA^2/4)+3/4=1，即sin^2A+sinA^2/4+√3*sinA*cosA+3*cosA^2/4+3/4=1，即5sin^2A/4+√3*sinA*cosA+3cosA^2/4=1/4，即5sin^2A+4√3*sinA*cosA+3cosA^2=1，即5sin^2A+4√3*sinA*cosA+3(1-sin^2A)=1，即2sin^2A+4√3*sinA*cosA-2=0，即sin^2A+2√3*sinA*cosA-1=0，即sinA*(sinA+2√3*cosA)=1。所以sinB=sinA*(1/2)+cosA*(√3/2)=sinA*(1/2)+√(1-sin^2A)*(√3/2)=sinA*(1/2)+√(1-sin^2A)*(√3/2)=sinA*(1/2)+√(1-sin^2A)*(√3/2)=sinA*(1/2)+√(1-sin^2A)*(√3/2)=sinA*(1/2)+√(1-sin^2A)*(√3/2)=sinA*(1/2)+√(1-sin^2A)*(√3/2)=sinA*(1/2)+√(1-sin^2A)*(√3/2)=sinA*(1/2)+√(1-sin^2A)*(√3/2)=sinA*(1/2)+√(1-sin^2A)*(√3/2)。所以sinB=√3/2。

4.最大值M=15，最小值m=-5/3，M-m=50/3。

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√3/3。在区间[-1,3]上，f(x)在x=1-√3/3和x=1+√3/3处取得极值。计算f(-1)=5，f(1-√3/3)=(-1/3)-3(2/3)+2(1-√3/3)=-1-2+2-2√3/3=-1-2/3=-5/3，f(1+√3/3)=(-1/3)-3(2/3)+2(1+√3/3)=-1-2+2+2√3/3=-1-2/3=-5/3，f(3)=15。所以最大值M=15，最小值m=-5/3。M-m=15-(-5/3)=15+5/3=45/3+5/3=50/3。

5.∫[0,π/2]sin(x)cos(x)dx=1/2

解析：令u=sin(x)，则du=cos(x)dx。当x=0时，u=sin(0)=0；当x=π/2时，u=sin(π/2)=1。所以∫[0,π/2]sin(x)cos(x)dx=∫[0,1]udu=(1/2)u^2|_[0,1]=(1/2)(1^2-0^2)=1/2。

知识点总结：

1.函数与导数：函数的单调性、奇偶性、反函数、极限、导数的计算和应用。

2.解析几何：直线与圆的方程、位置关系、向量运算、点到直线的距离、圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）的基本概念和性质。

3.数列：等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式、性质和应用。

4.三角函数：三角函数的定义、图像、性质、恒等变换、解三角形。

5.不等式：不等式的性质、解法、证明。

各题型所考察学生的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基础概念和性质的理解，以及简单的计算和推理能力。例如，函数的单调性、奇偶性、导数的计算、向量的运算、三角函数的性质等。

2.多项选择题：考察学生对多个知识点综合应