2.4.1函数的奇偶性（教学课件）高中数学北师大版必修第一册

第二章

函数2.4.1函数的奇偶性北师大版

必修第一册学习目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性．在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数和的图象并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征xyo12345-1123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149x…-3-2-10123…f(x)=2-|x|……-101210-1xyo12345-1123-1-2-3图象关于

y轴对称f(-1)f(1)f(-2)f(2)f(-3)f(3)===-xx(x,f(x))(-x,f(-x))f(-x)f(x)=任意一点例题巩固奇函数偶函数奇偶函数的特点[1]

具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件.[2]具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．奇偶函数的特点例题巩固例题巩固例题巩固例题巩固判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性的步骤函数图象的对称性研究函数的奇偶性的实质就是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于特殊点(原点)及特殊直线(y轴)对称的问题.那么我们能否把这种对称性加以推广呢？轴对称的定义p(x，y)是函数

y＝f(x)上的点，x＝a为对称轴，则

p点关于

x＝a的对称点

p′(x′，y′)也在

f(x)上.理解本质：p和p′的连线的横坐标x的中点为a，纵坐标y相等.中心对称的定义p(x，y)是函数

y＝f(x)上的点，A(a，b)为对称点，则

p点关于

A点的对称点

p′(x′，y′)也在

f(x)上.理解本质：p和

p′的连线的横坐标

x的中点为a，纵坐标

y中点为

b.函数图象的对称性

轴对称跟偶函数关系：若令a＝0，则x＝0为对称轴，f(x)＝f(－x)，符合偶函数定义由于

p′(x′，y′)也在

f(x)上，代入得

f(x′)＝f(2a－x)＝y′，而

y′＝y＝f(x)，所以

f(2a－x)＝f(x)，证得②.再加

x＋a替换

x得：f(2a－(x＋a))＝f(a－x)＝f(a＋x)，证得①.函数图象关于直线对称函数

y＝f(x)在定义域内恒满足的条件函数

y＝f(x)的图象的对称轴f(a＋x)＝f(a－x)直线

x＝af(x)＝f(a－x)f(a＋x)＝f(b－x)函数图象的对称性

由于

p′(x′，y′)也在

f(x)上，代入得

f(x′)＝f(2a－x)＝y′，y′＝2b－y＝2b－f(x)，整理得到

f(2a－x)＋f(x)＝2b，证得②.再加

x＋a替换

x得：f(2a－(x＋a))＋f(a＋x)＝2b，证得①.中心对称跟奇函数关系：若令

a＝0，b＝0，则点

A(0，0)为对称点，f

(－x)＋f(x)＝0，f(x)＝－f

(－x)，符合奇函数定义函数图象关于点对称函数

y＝f(x)在定义域内恒满足的条件函数

y＝f(x)的图象的对称中心f(a＋x)＋f(a－x)＝2b点(a，b)f(x)