2025年统计学期末考试题库：统计学计算题库：非线性回归分析与计算试卷

2025年统计学期末考试题库：统计学计算题库：非线性回归分析与计算试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.在非线性回归分析中，选择合适模型的首要步骤是（）。A.直接进行多项式回归B.观察散点图，初步判断变量间的关系形态C.使用所有可能的自变量，进行全模型回归D.依据经验，随意选择一个模型2.若非线性回归模型中的变量关系呈现S型曲线，最适合的模型形式是（）。A.\(y=a+bx\)B.\(y=a+b\ln(x)\)C.\(y=a+b/x\)D.\(y=a\cdote^{bx}\)3.在非线性回归分析中，残差分析的主要目的是（）。A.检验模型的整体拟合优度B.评估自变量对因变量的影响程度C.发现并修正模型中的异方差问题D.判断是否存在多重共线性4.当非线性回归模型中的自变量存在多重共线性时，可能导致（）。A.回归系数的标准误增大B.模型预测精度显著提高C.残差平方和显著减小D.模型解释力完全失效5.在Logistic回归模型中，因变量的取值范围通常在（）。A.\(-\infty,+\infty\)B.\([0,1]\)C.\([0,+\infty]\)D.\((0,1)\)6.对于非线性回归模型中的参数估计，常用的方法是（）。A.最小二乘法B.最大似然估计C.线性回归法D.矩估计法7.当非线性回归模型中的自变量为时间变量时，常采用的模型形式是（）。A.\(y=a+b\sin(x)\)B.\(y=a+b\ln(x)\)C.\(y=a\cdote^{bx}\)D.\(y=a+bx^2\)8.在非线性回归分析中，若发现残差存在系统性模式，可能意味着（）。A.模型形式选择不当B.存在遗漏变量C.模型中存在异常值D.自变量之间存在高度相关性9.对于非线性回归模型的预测精度，常用的评估指标是（）。A.决定系数（R²）B.标准误差C.AIC或BIC值D.以上都是10.在实际应用中，选择非线性回归模型时，需要考虑的因素包括（）。A.模型的解释能力B.模型的预测精度C.模型的计算复杂度D.以上都是二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填写在题中的横线上。）1.非线性回归模型中，若自变量与因变量之间存在指数关系，模型形式通常为\(y=a\cdote^{bx}\)，其中\(a\)和\(b\)是需要估计的参数。2.在Logistic回归模型中，因变量通常表示为二元变量，常用的是0和1，代表两种不同的类别。3.非线性回归分析中，残差平方和（RSS）是衡量模型拟合优度的重要指标，计算公式为\(RSS=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2\)。4.当非线性回归模型中的自变量存在多重共线性时，回归系数的估计值会变得非常不稳定，标准误会显著增大。5.在Logistic回归模型中，常用的是最大似然估计（MLE）方法来估计模型参数，因为模型本身是非线性的。6.对于非线性回归模型中的预测精度，常用的评估指标包括决定系数（R²）、均方根误差（RMSE）等。7.在实际应用中，选择非线性回归模型时，需要考虑模型的解释能力、预测精度和计算复杂度等因素。8.非线性回归分析中，若发现残差存在系统性模式，可能意味着模型形式选择不当，需要重新选择模型。9.在Logistic回归模型中，因变量的取值范围通常在\([0,1]\)之间，代表概率值。10.非线性回归模型中的参数估计，常用的方法包括最小二乘法、最大似然估计等，具体选择方法需要根据实际情况而定。（接下来的题目请继续按照此格式编写，确保题型多样，涵盖丰富的知识点，并符合考试要求。）三、简答题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案写在题后的横线上或按题目要求作答。）1.简述非线性回归分析与线性回归分析的主要区别。在我们讲解统计学的时候啊，很多同学一开始都会觉得线性回归和非线性回归好像差不多，但实际上它们之间有着本质的区别。比如说，在线性回归中，我们假设自变量和因变量之间存在线性关系，模型形式是\(y=a+bx\)，这种关系可以通过散点图直观地看出是一条直线。但是呢，在现实生活中，很多现象之间的关系都不是简单的线性关系，比如人口增长、经济增长等等，这些现象往往呈现指数增长或者S型曲线。这时候，如果我们还是用线性回归去分析，就会导致模型拟合效果很差，预测结果也不准确。所以，非线性回归分析应运而生。非线性回归分析允许自变量和因变量之间存在更复杂的关系，比如指数关系、对数关系、S型曲线等等，模型形式也更加复杂，比如\(y=a\cdote^{bx}\)或者\(y=a+b\ln(x)\)。但是，非线性回归分析的难点也在于模型选择和参数估计，需要更多的统计知识和经验。2.解释什么是残差分析，并说明其在非线性回归分析中的作用。残差分析啊，其实是我们检查模型拟合好坏的一个重要手段。简单来说，残差就是实际观测值和模型预测值之间的差值，用\(e_i=y_i-\hat{y}_i\)来表示。在线性回归中，我们希望残差随机分布在0附近，没有明显的模式，这样才能说明模型拟合得比较好。但是，在非线性回归中，由于模型形式更加复杂，残差分析就变得更加重要了。因为如果残差存在系统性模式，比如呈现出某种曲线或者周期性变化，那就说明模型形式选择不当，需要重新选择模型。比如说，如果我们用指数模型去拟合一个S型曲线的数据，残差就会呈现出S型曲线的模式，这时候我们就需要考虑使用Logistic回归或者其他更合适的非线性模型。所以，残差分析可以帮助我们发现问题，改进模型，提高预测精度。3.在Logistic回归模型中，解释参数\(b\)的经济含义。在我们讲解Logistic回归的时候啊，经常会用到参数\(b\)来描述自变量对因变量概率的影响。具体来说，参数\(b\)的经济含义是：当自变量\(x\)增加1个单位时，因变量\(y\)取值为1的概率变化的倍数。但是呢，这个说法需要稍微解释一下，因为Logistic回归的因变量是概率，而不是取值为1或0的二元变量。Logistic回归的模型形式是\(\ln(\frac{p}{1-p})=a+bx\)，其中\(p\)是因变量取值为1的概率。参数\(b\)的含义是：当自变量\(x\)增加1个单位时，\(\ln(\frac{p}{1-p})\)变化的量。这个量有时候也被称为“机会比”（OddsRatio），即\(\exp(b)\)，表示自变量增加1个单位时，因变量取值为1的机会变化的倍数。比如说，如果\(b=0.5\)，那么当自变量\(x\)增加1个单位时，因变量取值为1的机会就会翻倍。所以，参数\(b\)的经济含义是衡量自变量对因变量概率影响的强度和方向。4.简述选择非线性回归模型时需要考虑的因素。在实际应用中，选择非线性回归模型是一个需要综合考虑多个因素的过程。首先，我们需要考虑的是模型的解释能力，也就是模型是否能够很好地解释现实世界中的现象。比如说，如果我们用指数模型去拟合人口增长数据，虽然模型拟合效果可能很好，但是指数增长模型并不能很好地解释人口增长为什么会逐渐趋于饱和，这时候我们就需要考虑使用Logistic回归或者其他更合适的模型。其次，我们需要考虑的是模型的预测精度，也就是模型对未来数据的预测能力。有时候，一个模型的解释能力很强，但是预测精度却很差，这样的模型在实际应用中就没什么价值。所以，我们需要通过残差分析、交叉验证等方法来评估模型的预测精度。最后，我们还需要考虑的是模型的选择复杂度和计算效率，因为有些非线性模型的计算复杂度非常高，需要花费大量的时间和计算资源。比如说，非线性最小二乘法就比线性回归的计算复杂度高得多，需要用到迭代算法来估计参数。所以，在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的模型，权衡模型的解释能力、预测精度和计算效率。5.解释什么是多重共线性，并说明其对非线性回归分析的影响。多重共线性啊，其实是一个挺常见的问题，不仅在线性回归中会出现，在非线性回归中也会出现。简单来说，多重共线性就是指模型中的自变量之间存在高度相关性，比如说，两个自变量都是某个变量的不同函数，或者两个自变量之间存在线性关系。比如说，如果我们同时把\(x\)和\(x^2\)作为自变量放入模型中，就存在多重共线性，因为\(x^2\)可以表示为\(x\)的函数。多重共线性对非线性回归分析的影响主要体现在两个方面：一是回归系数的估计值会变得非常不稳定，标准误会显著增大，这会导致我们难以准确判断每个自变量对因变量的影响程度；二是模型的预测精度可能会下降，因为模型会过于拟合训练数据中的噪声。所以，在实际应用中，我们需要检测模型是否存在多重共线性，如果存在，就需要采取一些措施来处理，比如删除一个自变量、使用岭回归或者Lasso回归等方法来降低多重共线性的影响。四、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分。请将答案写在题后的横线上或按题目要求作答。）1.假设我们收集了一组关于广告投入\(x\)和销售额\(y\)的数据，并拟合了一个Logistic回归模型，模型形式为\(\ln(\frac{p}{1-p})=-2+0.5x\)，其中\(p\)是销售额超过10000元的概率。若某次广告投入为2000元，求销售额超过10000元的概率。在我们讲解这个题目的时候啊，首先需要明确Logistic回归模型的计算方法。题目中给出了模型形式\(\ln(\frac{p}{1-p})=-2+0.5x\)，其中\(p\)是销售额超过10000元的概率，\(x\)是广告投入。所以，我们可以直接将\(x=2000\)代入模型中，计算出\(\ln(\frac{p}{1-p})\)的值，然后再求出\(p\)的值。具体计算步骤如下：首先，将\(x=2000\)代入模型中，得到：\[\ln(\frac{p}{1-p})=-2+0.5\times2000=998\]然后，对上式两边取指数，得到：\[\frac{p}{1-p}=e^{998}\]接着，将上式变形，解出\(p\)：\[p=\frac{e^{998}}{1+e^{998}}\]由于\(e^{998}\)的值非常大，可以近似认为\(p=1\)。所以，当广告投入为2000元时，销售额超过10000元的概率约为1，或者说几乎可以肯定销售额会超过10000元。2.假设我们收集了一组关于时间\(t\)和产品销量\(y\)的数据，并拟合了一个非线性回归模型，模型形式为\(y=50\cdote^{-0.1t}\)，其中\(t\)是时间（以年为单位），\(y\)是产品销量（以件为单位）。求第5年的产品销量。在我们讲解这个题目的时候啊，首先需要明确非线性回归模型的应用方法。题目中给出了模型形式\(y=50\cdote^{-0.1t}\)，其中\(t\)是时间（以年为单位），\(y\)是产品销量（以件为单位）。所以，我们可以直接将\(t=5\)代入模型中，计算出第5年的产品销量。具体计算步骤如下：首先，将\(t=5\)代入模型中，得到：\[y=50\cdote^{-0.1\times5}=50\cdote^{-0.5}\]然后，计算\(e^{-0.5}\)的值，得到：\[e^{-0.5}\approx0.6065\]接着，将上式变形，解出\(y\)：\[y\approx50\cdot0.6065=30.325\]所以，第5年的产品销量约为30.33件。3.假设我们收集了一组关于温度\(T\)和化学反应速率\(R\)的数据，并拟合了一个非线性回归模型，模型形式为\(R=0.5\cdotT^2\cdote^{-0.1T}\)，其中\(T\)是温度（以摄氏度为单位），\(R\)是化学反应速率（以摩尔/秒为单位）。求温度为30摄氏度时的化学反应速率。在我们讲解这个题目的时候啊，首先需要明确非线性回归模型的应用方法。题目中给出了模型形式\(R=0.5\cdotT^2\cdote^{-0.1T}\)，其中\(T\)是温度（以摄氏度为单位），\(R\)是化学反应速率（以摩尔/秒为单位）。所以，我们可以直接将\(T=30\)代入模型中，计算出温度为30摄氏度时的化学反应速率。具体计算步骤如下：首先，将\(T=30\)代入模型中，得到：\[R=0.5\cdot30^2\cdote^{-0.1\times30}=0.5\cdot900\cdote^{-3}\]然后，计算\(e^{-3}\)的值，得到：\[e^{-3}\approx0.0498\]接着，将上式变形，解出\(R\)：\[R\approx0.5\cdot900\cdot0.0498=22.42\]所以，温度为30摄氏度时的化学反应速率约为22.42摩尔/秒。五、论述题（本大题共1小题，共20分。请将答案写在题后的横线上或按题目要求作答。）1.结合实际案例，论述非线性回归分析在实际应用中的重要性，并分析可能遇到的问题及解决方法。在我们讲解统计学的时候啊，经常会提到非线性回归分析在实际应用中的重要性。非线性回归分析是一种强大的数据分析工具，可以用来描述和预测现实世界中各种复杂的现象。比如说，在经济学中，我们可以用非线性回归模型来研究经济增长与人口增长之间的关系；在生物学中，我们可以用非线性回归模型来研究药物剂量与药物疗效之间的关系；在工程学中，我们可以用非线性回归模型来研究材料性能与加工参数之间的关系。这些现象之间的关系都不是简单的线性关系，需要用非线性回归模型来描述和预测。非线性回归分析在实际应用中的重要性主要体现在以下几个方面：首先，非线性回归模型可以更准确地描述现实世界中的现象，因为现实世界中的现象之间的关系往往是复杂的，非线性回归模型可以更好地拟合这些复杂的关系。其次，非线性回归模型可以提高预测精度，因为非线性回归模型可以更好地捕捉数据中的非线性关系，从而提高对未来数据的预测精度。最后，非线性回归模型可以帮助我们更好地理解现实世界中的现象，因为非线性回归模型可以揭示自变量和因变量之间的复杂关系，从而帮助我们更好地理解这些现象。当然，非线性回归分析在实际应用中也可能遇到一些问题，比如模型选择问题、参数估计问题、残差分析问题等等。模型选择问题是指如何选择合适的非线性回归模型，因为非线性回归模型有很多种，每种模型都有其适用范围和优缺点。参数估计问题是指如何准确地估计模型参数，因为非线性回归模型的参数估计通常需要用到迭代算法，计算复杂度比较高。残差分析问题是指如何分析模型的残差，因为残差分析可以帮助我们判断模型是否拟合得比较好，以及模型中是否存在一些潜在的问题。针对这些可能遇到的问题，我们可以采取一些措施来解决。对于模型选择问题，我们可以根据实际问题的特点和数据的特点来选择合适的非线性回归模型，比如根据散点图来初步判断变量间的关系形态，或者根据专业知识来选择合适的模型。对于参数估计问题，我们可以使用一些数值优化算法来估计模型参数，比如非线性最小二乘法、梯度下降法等等。对于残差分析问题，我们可以使用一些统计方法来分析模型的残差，比如残差图、Q-Q图等等，从而判断模型是否拟合得比较好，以及模型中是否存在一些潜在的问题。此外，我们还可以使用一些模型诊断方法来检测模型是否存在多重共线性、异常值等问题，并采取相应的措施来处理这些问题。总而言之，非线性回归分析在实际应用中具有重要的意义，可以帮助我们更好地描述和预测现实世界中的复杂现象。但是，非线性回归分析也面临一些挑战，需要我们具备一定的统计知识和经验来解决这些问题。通过不断学习和实践，我们可以更好地掌握非线性回归分析的方法，并将其应用于实际问题的解决中。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.B解析：选择合适模型的首要步骤是观察散点图，初步判断变量间的关系形态。因为只有了解了数据的基本形态，才能选择合适的模型进行拟合。直接进行多项式回归（A）可能不适用于所有情况，随意选择模型（D）更是不可取的。使用所有可能的自变量进行全模型回归（C）虽然可以，但计算量大且可能导致过拟合。2.B解析：S型曲线通常用Logistic回归模型来拟合，其数学形式为\(y=a+b\ln(x)\)。指数关系（A）通常呈指数增长或衰减，不适合S型曲线。\(y=a+b/x\)（C）是双曲线形式，也不适合S型曲线。\(y=a\cdote^{bx}\)（D）是指数增长形式，同样不适合S型曲线。3.C解析：残差分析的主要目的是发现并修正模型中的异方差问题。虽然残差分析也可以帮助我们检验模型的整体拟合优度（A），评估自变量对因变量的影响程度（B），以及判断是否存在多重共线性（D），但其最核心的作用是检测残差是否存在系统性模式，从而识别模型中的异方差问题。4.A解析：当非线性回归模型中的自变量存在多重共线性时，回归系数的估计值会变得非常不稳定，标准误会显著增大。这是因为多重共线性导致矩阵不可逆，参数估计变得非常敏感，小的数据变化就会导致参数估计值的大幅波动。5.B解析：在Logistic回归模型中，因变量的取值范围通常在\([0,1]\)之间，代表概率值。这是因为Logistic回归用于预测二元结果的发生概率，概率值自然在0到1之间。6.B解析：对于非线性回归模型中的参数估计，常用的方法是最大似然估计。虽然最小二乘法（A）在线性回归中常用，但在非线性回归中通常不适用。线性回归法（C）和矩估计法（D）也不是非线性回归的主要方法。7.C解析：当非线性回归模型中的自变量为时间变量时，常采用的模型形式是\(y=a\cdote^{bx}\)。这是因为时间序列数据oftenexhibitexponentialgrowthordecaypatterns。\(y=a+b\sin(x)\)（A）适用于周期性数据。\(y=a+b\ln(x)\)（B）适用于对数增长关系。\(y=a+bx^2\)（D）是二次多项式形式，适用于抛物线关系。8.A解析：在非线性回归分析中，若发现残差存在系统性模式，可能意味着模型形式选择不当。这是因为残差应该随机分布在0附近，没有明显的模式。如果残差存在系统性模式，说明模型不能很好地拟合数据，需要重新选择模型。9.D解析：对于非线性回归模型的预测精度，常用的评估指标包括决定系数（R²）、均方根误差（RMSE）等。虽然决定系数（R²）和标准误差（B）都是评估模型拟合优度的指标，但AIC或BIC值（C）主要用于模型选择，而不是预测精度评估。因此，以上都是（D）是正确答案。10.D解析：在实际应用中，选择非线性回归模型时，需要考虑的因素包括模型的解释能力、预测精度和模型的计算复杂度。这是因为我们需要综合考虑模型的各个方面，才能选择最合适的模型。模型的解释能力（A）决定了模型是否能够很好地解释现实世界中的现象。预测精度（B）决定了模型对未来数据的预测能力。计算复杂度（C）决定了模型的计算效率。因此，以上都是（D）是正确答案。二、填空题答案及解析1.\(y=a\cdote^{bx}\)解析：在非线性回归模型中，若自变量与因变量之间存在指数关系，模型形式通常为\(y=a\cdote^{bx}\)，其中\(a\)和\(b\)是需要估计的参数。这是因为指数函数可以很好地描述指数增长或衰减的现象。2.0和1解析：在Logistic回归模型中，因变量通常表示为二元变量，常用的是0和1，代表两种不同的类别。例如，0可以代表“未发生”，1可以代表“发生”。3.\(RSS=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2\)解析：残差平方和（RSS）是衡量模型拟合优度的重要指标，计算公式为\(RSS=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2\)。残差平方和越小，说明模型的拟合优度越好。4.回归系数的标准误增大解析：当非线性回归模型中的自变量存在多重共线性时，回归系数的估计值会变得非常不稳定，标准误会显著增大。这是因为多重共线性导致矩阵不可逆，参数估计变得非常敏感。5.最大似然估计（MLE）解析：在Logistic回归模型中，常用的是最大似然估计（MLE）方法来估计模型参数，因为模型本身是非线性的。最大似然估计是一种常用的参数估计方法，可以用于估计非线性模型的参数。6.决定系数（R²）、均方根误差（RMSE）解析：对于非线性回归模型中的预测精度，常用的评估指标包括决定系数（R²）、均方根误差（RMSE）等。决定系数（R²）衡量模型对数据的拟合程度，均方根误差（RMSE）衡量模型的预测误差。7.模型的解释能力、预测精度和计算效率解析：在实际应用中，选择非线性回归模型时，需要考虑模型的解释能力、预测精度和计算效率等因素。模型的解释能力决定了模型是否能够很好地解释现实世界中的现象。预测精度决定了模型对未来数据的预测能力。计算效率决定了模型的计算速度和资源消耗。8.模型形式选择不当解析：在非线性回归分析中，若发现残差存在系统性模式，可能意味着模型形式选择不当。这是因为残差应该随机分布在0附近，没有明显的模式。如果残差存在系统性模式，说明模型不能很好地拟合数据，需要重新选择模型。9.\([0,1]\)解析：在Logistic回归模型中，因变量的取值范围通常在\([0,1]\)之间，代表概率值。这是因为Logistic回归用于预测二元结果的发生概率，概率值自然在0到1之间。10.以上都是解析：在实际应用中，选择非线性回归模型时，需要考虑的因素包括模型的解释能力、预测精度和模型的计算复杂度。这是因为我们需要综合考虑模型的各个方面，才能选择最合适的模型。模型的解释能力决定了模型是否能够很好地解释现实世界中的现象。预测精度决定了模型对未来数据的预测能力。计算效率决定了模型的计算速度和资源消耗。因此，以上都是是正确答案。三、简答题答案及解析1.简述非线性回归分析与线性回归分析的主要区别。解析：非线性回归分析与线性回归分析的主要区别在于模型形式和假设条件。线性回归分析假设自变量和因变量之间存在线性关系，模型形式为\(y=a+bx\)。非线性回归分析则允许自变量和因变量之间存在更复杂的关系，模型形式更加复杂，如\(y=a\cdote^{bx}\)或\(y=a+b\ln(x)\)。非线性回归分析的难点在于模型选择和参数估计，需要更多的统计知识和经验。2.解释什么是残差分析，并说明其在非线性回归分析中的作用。解析：残差分析是检查模型拟合好坏的一个重要手段。残差就是实际观测值和模型预测值之间的差值，用\(e_i=y_i-\hat{y}_i\)表示。在非线性回归中，我们希望残差随机分布在0附近，没有明显的模式，这样才能说明模型拟合得比较好。如果残差存在系统性模式，说明模型形式选择不当，需要重新选择模型。残差分析可以帮助我们发现问题，改进模型，提高预测精度。3.在Logistic回归模型中，解释参数\(b\)的经济含义。解析：在Logistic回归模型中，参数\(b\)的经济含义是：当自变量\(x\)增加1个单位时，因变量\(y\)取值为1的概率变化的倍数。具体来说，参数\(b\)的含义是：当自变量\(x\)增加1个单位时，\(\ln(\frac{p}{1-p})\)变化的量。这个量有时候也被称为“机会比”（OddsRatio），即\(\exp(b)\)，表示自变量增加1个单位时，因变量取值为1的机会变化的倍数。4.简述选择非线性回归模型时需要考虑的因素。解析：选择非线性回归模型时需要考虑模型的解释能力、预测精度和计算效率。模型的解释能力决定了模型是否能够很好地解释现实世界中的现象。预测精度决定了模型对未来数据的预测能力。计算效率决定了模型的计算速度和资源消耗。此外，还需要考虑模型的选择复杂度和计算复杂度，因为有些非线性模型的计算复杂度非常高，需要花费大量的时间和计算资源。5.解释什么是多重共线性，并说明其对非线性回归分析的影响。解析：多重共线性是指模型中的自变量之间存在高度相关性，例如，两个自变量都是某个变量的不同函数，或者两个自变量之间存在线性关系。多重共线性对非线性回归分析的影响主要体现在两个方面：一是回归系数的估计值会变得非常不稳定，标准误会显著增大，这会导致我们难以准确判断每个自变量对因变量的影响程度；二是模型的预测精度可能会下降，因为模型会过于拟合训练数据中的噪声。在实际应用中，我们需要检测模型是否存在多重共线性，如果存在，就需要采取一些措施来处理，比如删除一个自变量、使用岭回归或者Lasso回归等方法来降低多重共线性的影响。四、计算题答案及解析1.假设我们收集了一组关于广告投入\(x\)和销售额\(y\)的数据，并拟合了一个Logistic回归模型，模型形式为\(\ln(\frac{p}{1-p})=-2+0.5x\)，其中\(p\)是销售额超过10000元的概率。若某次广告投入为2000元，求销售额超过10000元的概率。解析：首先，将\(x=2000\)代入模型中，得到：\[\ln(\frac{p}{1-p})=-2+0.5\times2000=998\]然后，对上式两边取指数，得到：\[\frac{p}{1-p}=e^{998}\]接着，将上式变形，解出\(p\)：\[p=\frac{e^{998}}{1+e^{998}}\]由于\(e^{998}\)的值非常大，可以近似认为\(p=1\)。所以，当广告投入为2000元时，销售额超过10000元的概率约为1，或者说几乎可以肯定销售额会超过10000元。2.假设我们收集了一组关于时间\(t\)和产品销量\(y\)的数据，并拟合了一个非线性回归模型，模型形式为\(y=50\cdote^{-0.1t}\)，其中\(t\)是时间（以年为单位），\(y\)是产品销量（以件为单位）。求第5年的产品销量。解析：首先，将\(t=5\)代入模型中，得到：\[y=50\cdote^{-0.1\times5}=50\cdote^{-0.5}\]然后，计算\(e^{-0.5}\)的值，得到：\[e^{-0.5}\approx0.6065\]接着，将上式变形，解出\(y\)：\[y\approx50\cdot0.6065=30.325\]所以，第5年的产品销量约为30.33件。3.假设我们收集了一组关于温度\(T\)和化学反应速率\(R\)的数据，并拟合了一个非线性回归模型，模型形式为\(R=0.5\cdotT^2\cdote^{-0.1T}\)，其中\(T\)是温度（以摄氏度为单位），\(R\)是化学反应速率（以摩尔/秒为单位）。求温度为30摄氏度时的化学反应速率。解析：首先，将\(T=30\)代入模型中，得到：\[R=0.5\cdot30^2\cdote^{-0.1\times30}=0.5\cdot900\cdot